數(shù)學(xué)應(yīng)用題常見問(wèn)題及方法抽屜問(wèn)題

1、 赫抽萊屜原家理迪最里先是 91 世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué) )telhcir問(wèn)iD題( 的 運(yùn)用于解決數(shù)學(xué) ,所以又稱赫萊原理, 也有 兩.抽述為稱單鴿地巢敘原理的.這個(gè)原理可以簡(jiǎn) 把01 個(gè)蘋或果,任有意兩分個(gè)放屜在里9含個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽 果的個(gè)明以顯上非的常蘋 的.問(wèn)這有題個(gè)趣道許理多是解決可以 ,但應(yīng)用它卻結(jié)果異的人驚些令到一 ,并且常常得. 各級(jí)屜原理是國(guó)際國(guó) 其應(yīng)用知識(shí)及的有關(guān),本講就來(lái)學(xué)習(xí)它 式抽屜原理的基本 定理,1 如果把1+n個(gè)元素分成 n 個(gè)集合,那么不管怎么分,都元存素在一個(gè)集合,其中至少有兩個(gè) .合素的集證兩明(個(gè): 元用反證法)若不存在至少有 多,則每個(gè)集合至1 個(gè)元有

2、素,從而 n 個(gè)集合至多 n 個(gè)元素,此與共有1+n個(gè)元素矛盾,故命題成立. 在定理 1 的敘述中,可以把元素改為物件, 把集合此得改名成抽屜, 抽屜原理正是由 .同樣,可以把元素改成鴿子, 把分成 n 個(gè)集合改成飛進(jìn) n 個(gè)鴿籠中. 鴿籠原理由此得名. 鍵：解答抽屜原理的 有中假個(gè)設(shè)抽有屜然3 個(gè)有蘋一果放入 2 個(gè)抽屜中述，為則：必可以表般模型 2 個(gè)蘋果，她的一把（第一抽有屜（原理中：入至少1+個(gè)nm抽屜）必個(gè)有物一體放 n 個(gè)抽屜中，其中1+m ）個(gè)物體。模型她的一空著，個(gè)若抽把屜然3 個(gè)有蘋一果放入 4 個(gè)抽屜中，則必 （第二抽屜有原（理：中入至多n個(gè)m 抽屜1）必個(gè)有物一體放 n

3、個(gè)抽屜中，其中m1）個(gè)物體。 抽屜原理一個(gè)蘋果放進(jìn)把兩有4里只至蘋少果個(gè)放抽到屜3必個(gè)有抽一屜何里放去，共 4 種放法，不論如蘋果。進(jìn)兩個(gè)至少同放樣抽，屜把里有5 只一蘋個(gè)果放到 4 個(gè)抽屜里去，必 ：把更進(jìn)一步，我們能夠進(jìn)得出這至樣少放抽屜里 個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié) n1 只蘋果放到 n 個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè) 兩，通證可以說(shuō)利用抽屜原理， 學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去“抽屜”么，看制作造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什 找“抽屜”，把什么看作“蘋果”。 抽屜原理二原理的這里我們講抽屜 只或更多的鴿子。道放子要 一只籠31 只鴿子放進(jìn) 6 只鴿籠里，那么至少有 3哪2論只放鴿入子鴿，子6無(wú)只鴿籠共放21 只鴿子。剩下的

4、一只 2。 只原鴿下面的，就只是鴿學(xué)籠思里想，現(xiàn)總的有數(shù)子所體 3 只鴿子。這個(gè)例于少抽屜原件理數(shù)不2到：物將品多的于屜中m的n一件個(gè)的抽物至品少任有意放 n 個(gè)抽屜中，那么1+m。定不難的到說(shuō)（明這品一都原不理內(nèi)是的物個(gè)抽屜 n 個(gè)抽屜中，每一 不物品都屜里的m1）件，即每個(gè)抽 過(guò) 會(huì)超就不多于的總m 物件數(shù)品，這樣， n 個(gè)抽屜中可放于一開m說(shuō)明n 件盾。這相這與矛多mn 件物品的假設(shè) m1。 。所始的假定不能成 以說(shuō)也明可 從最不利（原則少于 物品中不的2。為了使抽屜 是 況就的情 m1）件，最不利 n 個(gè)抽屜中每 m個(gè)都放入 m少件于物（品抽，屜共不放有入一（個(gè)mn）件抽物屜品，都此至

5、時(shí)少再放入 1 件物品，無(wú)論放入哪個(gè) 原說(shuō)明了1）件物品。這就 2。當(dāng)不難看出理，m1 時(shí)理，抽屜原2 就轉(zhuǎn)化為抽理屜原1。即抽屜原 2 是抽屜原理 1 的推廣。樣一有我抽們屜很中容有易一理個(gè)解，肯定抽屜中 3 只蘋果放到兩個(gè)語(yǔ)用數(shù)學(xué)2 只或 2 只以上的蘋果。 元素（言以表上達(dá)的這或一兩事個(gè)實(shí)有，兩就個(gè)是：將1+n ，因提此出，來(lái)稱雷之明這為確就狄是里抽克屜數(shù)原學(xué)理家，由也）德稱巢國(guó)為（“籠鴿 里克雷原理。 個(gè)元素放入 n 個(gè)集合內(nèi)，則一定有一個(gè)集合內(nèi)”原理。這一原理最先是 n 為正整數(shù)。） 狄的常抽屜原理還有另 抽屜原理有2：把 里m 個(gè)至元少素個(gè)任集意合定放有入一n (n m) 個(gè)集合里

6、，則一 k 個(gè)元素，其中：里有限個(gè)素放入抽屜原理 3：把無(wú)窮多個(gè)元 原則抽屜原理又叫重 西。抽屜兩原件則入東屜：里把1有+n一個(gè)件抽東至西少任有意放 n 只抽屜里，那么少有抽屜屜原里則至一：個(gè)把抽至m 件少東有西放入 n 個(gè)抽屜里，那么 n/m件東西。 有把它們東西抽，屜原則：如果有無(wú)窮件 時(shí)，利用抽屜原則解 “抽屜” 基礎(chǔ)班.1 證明：從 1，3是，5，的和兩，9個(gè)9 數(shù)中任選62 個(gè)數(shù)，其中必有 001。客如種有水有果.2一 都某只旅乘帶游客車上一個(gè)人帶蘋果，74 名乘客，每位_ 么乘人帶蘋果。（A）64（B）42（C）32（D）1里放，在一 .3一些蘋果和梨混 兩合并堆，把這兩堆水 堆。

7、（A）3（B）4（C）5（D）65 只（不分左，右才能使拿看出顏的不色手許） 色手、套藍(lán) .4有黑色、白至色少，要拿手出） 只（拿的時(shí)候 同顏套中一定有兩雙 （A）4（B）5（C）6（D）7點(diǎn)，可入以幾保個(gè).5至少在放邊長(zhǎng)為 2 厘米的正方形中 不大于5.0平方厘米。.1解為析：將這05 個(gè)奇數(shù)按照和 001 ，（放進(jìn)：屜52抽個(gè)1，（99，）3，（79，）5，59， ）001 （ ， 9抽4 據(jù)，1。5 根）。 屜，那一個(gè)抽來(lái)屜自原同理兩，個(gè)從數(shù)中選 62 個(gè)數(shù)，則必定有 帶蘋果有 .2解析：由題意，不 以帶蘋果的就 64 人。 兩堆合.3解析：要求把其中 須蘋根以果所， ）偶，相偶同（。，

8、對(duì)）于奇每，一偶（ ， ）偶， （奇， ）奇，奇（ ：4 種知最少分5=了1+4 筐。拿情況，.4解析：考不慮論最壞一只，再多拿，但是3 只顏、一雙1 只同白色和 1 只藍(lán)色，則只有 6 只。會(huì)有什么顏色，則一 積分不成超四形的面.個(gè)5 三角解存析在：一將要大使正得方形正方形。 1 厘米為邊長(zhǎng)的小5.0平方厘米，只 在小要保證存在三個(gè) 個(gè)點(diǎn)。為 例.1 已知在邊長(zhǎng)1 的等邊三角形內(nèi)(包括邊界于)有任意離五不個(gè)大點(diǎn)間的(圖.距)1證明:至少有兩個(gè)點(diǎn)之 的 任意 分析5: 個(gè)點(diǎn)的分布是.如果要證明內(nèi)在邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形 (包括邊界)有 5 個(gè)距點(diǎn),那么這 5 個(gè)點(diǎn)中一定有 中點(diǎn)離不形大三于邊

9、的兩點(diǎn), 則順次連接三角 ,即三角形為 角的形三條中位線形,可以邊分三原角等的邊小三等 形中(包括邊界,) 其距離便不大于. 4 個(gè)全等的邊長(zhǎng)為角,則 等5個(gè)邊點(diǎn)三中必有 2 點(diǎn)位于同一個(gè)小 以上結(jié)論要由大定邊長(zhǎng)于三其角最形離內(nèi)不(大包括邊界)任意兩點(diǎn)間的距 定理 明這個(gè)來(lái)保證,下面我們就來(lái)證 .如圖,2 設(shè)CB 是CBA的最大M邊,P, 是CBA 內(nèi)(包括邊界)任意兩點(diǎn),連接,MP 過(guò)P 分別CB作,BA那么 邊的平行線,過(guò)M 作 AC為 邊的平行線,設(shè)各平行線交點(diǎn),N,Q,P =NQP,C =PNQA因?yàn)镃B ,BA 所以A,C 則PNQ.MP 顯然CB ,QP 故CB .MP ,NQP內(nèi)

10、而角PM鄰Q 的不相PN大Q 于外(N角QP 三角形的,) 所以QP ,等分正方形 抽屜.例如任取1+n個(gè)正數(shù),ia 滿足,n0 由抽屜了原則,結(jié)論就是必然目的 .同給的n題以具體值,就可以構(gòu)造出不 .例 2 中的題n 目取值是,05 還可以編制相反 ,如:要最少?gòu)那暗?3 個(gè)方自式任然意數(shù)而中以數(shù)是較小的數(shù)的(不看這些數(shù) 個(gè)數(shù)到兩能找數(shù))中取出出的幾個(gè)數(shù),才能保證取 ,其中較大的 數(shù)定結(jié)論都)2( 如下兩個(gè)問(wèn)題的 n( 均為正整數(shù))想一想,為什么 ,4,從3,21+n2,中任取1倍+n個(gè)的數(shù)整,數(shù)是另否一必個(gè)有兩個(gè)數(shù),它們中的一個(gè)是 ,3,從2,11+n2,中任取1倍+n個(gè)的數(shù)整,數(shù)是另否一

11、必個(gè)有兩個(gè)數(shù),它們中的一個(gè)是 的論都是題你的能結(jié)舉出反例,證明上述兩個(gè)問(wèn) 的)取3( 如果將)2(中兩個(gè)問(wèn)題中任 斷證明嗎 1+n個(gè)數(shù)增加定1的個(gè),還都是改否成肯任定取2的+n 個(gè)數(shù),則它們的結(jié)論是 你能判出取例.3 從前52 個(gè)自然數(shù)中任數(shù)意 有兩7 個(gè)個(gè)數(shù),證明:取的出小的數(shù)中不一超定過(guò) ,這兩個(gè)數(shù)中大數(shù) 5.1倍.面證明:把前52 個(gè)自然數(shù)分成下 6 組:;1;3,2;6,5,4;01,9,8,71,41,31,21,112,02,91,81,71出取 因?yàn)閺那?2 個(gè)自然上數(shù)面中第任數(shù)意取自 7 個(gè)數(shù),所以至少有兩個(gè) 組到第組中的某同一組,這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就 的不超過(guò)小數(shù) 5.1倍. 述

12、如下說(shuō)明):1( 本題可以改變敘出取:在前52 個(gè)自然數(shù)中任個(gè)意數(shù)7 個(gè)數(shù),求證其在中內(nèi)存在兩 ,它們相互的比值 .前把顯然,必須找出一種成能 52 個(gè)自然數(shù))6=分1-7(6 條件 個(gè)個(gè)限集制合的方法,不過(guò)分類時(shí)有個(gè)一 :同一集合中任兩 數(shù):遞推分類法: 過(guò)大值差不素的的數(shù)比值在內(nèi),故同一集合中元類法 殊的分一種特 .這樣,我們可以用如上 從 1 開為始,顯然 1 只能單獨(dú)作 條件1 個(gè)集;合1 否則不滿足限制 .的數(shù)只 能與 2 同屬于一個(gè)集合,3 于3是,2為一集合. 種花有證1一才副能撲?？藦埮婆朴?，少抽幾。問(wèn)最意抽牌 花色的？ 31 張，現(xiàn)在從中任4 張牌是同一種A21 B31 C5

13、1 D61【一解張析，】色按根一此據(jù)樣類抽推屜，原當(dāng)理取，出當(dāng)每次取出 4 張牌時(shí)，則至少可以保障每種花 21 張牌，時(shí)4 張牌是同一種花種花則至少可以保有障 色，選 B。 31 張牌時(shí)，無(wú)論是什么花色，都可以至少保障 個(gè)數(shù)定，包括其中一以2保從證1、個(gè)2、，3就、任可4選幾、21 這21 個(gè)自然數(shù)中，至少 7？A7 B01 C9 D8這是【是解差析】在 21 個(gè)自然數(shù)下中， 7 的自然樹有以 5：對(duì)21 ，5 11 ，4 01 ，3 9，2，外8另，。1 7 個(gè)抽屜。只要有 還有了2造個(gè)不能，配共對(duì)構(gòu)的數(shù) 那么6可它構(gòu)。抽7造屜抽，屜同原一理個(gè)是取自兩個(gè)數(shù) 于們的差就等7。這 7 個(gè)抽屜可以

14、表示為個(gè)數(shù)，則一定可 例 1 某有幼各現(xiàn)兒種班否玩有會(huì)是具有40小名朋小友朋得友到， 件以上的玩具？ 21 ，5 11 ，4 01 ，3 9，2 8，1 6顯然，7從 7，所以選擇 D。 這些把12玩2具件全，部分給小朋友， 7 個(gè)抽屜中取 8使有4 件或4分析與解：將40 名小朋有友玩今看具成40 個(gè)抽屜。 1223件，122= 4用0抽應(yīng)2屜。原理2，取n40，m3，4 件或 4 件以上有至一個(gè)抽屜中立放即有知道： 少會(huì)至有一個(gè)小就朋是也友說(shuō)得，到4 件或 4 件以上的玩具。 的玩具。 碼 例 2 一個(gè)布袋中有 40 塊相同的木塊，其中編上號(hào)才能保證其中至少有 3 塊號(hào)碼相同的木塊？ 1，

15、2，3，4 的各有 10 塊。問(wèn)：一次至少要取出多少木塊，分析與解：將 1，2，3，4 四種號(hào)碼看成 4 個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有 3 件物品，根據(jù)抽屜原理 2，至少要有 4291= （件）物品。所以一次至少要取出 9 塊木塊，才能保證其中有 3 塊號(hào)碼相同的木塊。 丙三種乙雜、志中例的3一六種年、他級(jí)們有都10訂0 閱名甲學(xué)、生， 的雜志種類相同？ 分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙 3 種情況； 訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲 3 種情況； 訂三種雜志有：訂甲乙丙 1 種情況。 閱總共有 3訂37閱1方= 法（。種我）們將

16、這7 種訂法看成是 7 個(gè)“抽屜”，把 100 名學(xué)生看作 100 件物品。因?yàn)?1001472。根據(jù)抽屜原理 2，至少有 14115（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。 例 4 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有 81 個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的？ 分析與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個(gè)水果是相同的有 4 種，兩個(gè)水、果梨不和同果有蘋：6 種 蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共 將4這。610（種） 搭配作為 10 個(gè)“抽屜”。 88110= 。）個(gè)1（ 根據(jù)抽屜原理 2，至少有 819（個(gè)）小

17、朋友拿的水果相同。 例 5 學(xué)校開辦了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加） 10 種 少名學(xué)生，才能保證有不少于 5 名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？要首弄清參加學(xué)分習(xí)析班與有解多：少種不同情況。 參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語(yǔ)文和數(shù)學(xué)、語(yǔ)文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美參加只一個(gè)學(xué)1習(xí)種班情有況，3 種情，況3 種情況。共有 1337（種）情況。將這 7 種情況作為 7 個(gè)“抽屜根”據(jù)，抽要屜有原學(xué)理生 要2保，證不少于。1）2名9（ 5 名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，7（1 5- ）：說(shuō)人有“13 個(gè)人中至少有兩個(gè)人出生在相同月：份說(shuō)又”；“某校一定個(gè)存一年在級(jí)兩的名40學(xué)0 名學(xué)生

18、中，生他們?cè)谕惶爝^(guò)生認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？你能說(shuō)明為什么對(duì)或?yàn)槭裁床粚?duì)嗎？ 例 1. 在 1，4，7，10，100 中任選 20 個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩對(duì)數(shù)，其和等于 104。 分析：解這道題，可以考慮先將 4 與 100，7 與 97，49 與 55，這些和等于 104 的兩個(gè)數(shù)組成一組，構(gòu)成 16剩下個(gè)抽屜，1 和 52 這再樣構(gòu)，成即2使個(gè)抽屜，20 個(gè)數(shù)中取到了 1 和 剩52下，的 1如04果；取不到18 個(gè)數(shù)還必須至少有兩個(gè)1 和 52，或1 和 52 不全從而有不數(shù)同取的自兩前組面數(shù)1，6 個(gè)抽屜中的兩個(gè)抽屜， 取到，那么和等于 104 的數(shù)組將多于兩組。解：1，4，7，10，1

19、00有 34 個(gè)數(shù)，將其分成4 ，100，7 ，97，49，55，1 ，52共 18個(gè)抽屜，從這 18 個(gè)抽屜中任取 20 個(gè)數(shù)，若取到 1 和 52，則剩下的 18 個(gè)數(shù)取自前 16 個(gè)抽屜，至少有 4 個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中，結(jié)論成立；若不全取 1 和 52，則有多于 18 個(gè)數(shù)取自前 16 個(gè)抽屜，結(jié)論亦成立。試一試：從 2，5，8，11，101 中任取 20 個(gè)數(shù)，其中必有兩對(duì)數(shù)，它們的和為 106。 （例 1）提示構(gòu)造抽屜5 ，101，8 ，98，50，56，2 ，53共 18 個(gè)抽屜。例 2. 任意 5 個(gè)自然數(shù)中，必可找出 3 個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和能被 3 整除。 分析：解這個(gè)問(wèn)題

20、，注意到一個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)只有 0，1，2 三個(gè)，可以用余數(shù)來(lái)構(gòu)造抽屜。 以一個(gè)解數(shù)：被若每3個(gè)除抽的屜余內(nèi)共數(shù)有0、1、2 構(gòu)造抽屜任，意五個(gè)3 數(shù)個(gè)放抽入屜這。三個(gè)抽屜中，均5 個(gè)數(shù)中必則那各么抽屜有取數(shù)一，個(gè)數(shù)， 若至少有一個(gè)結(jié)抽論屜成內(nèi)立3 沒(méi)；的有倍數(shù)，有三個(gè)數(shù)在同一抽屜內(nèi)，這三個(gè)數(shù)的和是 3 的倍數(shù)，結(jié)論亦成立。 例 3. 在邊長(zhǎng)為 1 的正方形內(nèi)，任意放入 9 個(gè)點(diǎn)，證明在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不超.過(guò)8/1 正方形別，連分結(jié)正解方：形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)， 4 1/。把這四個(gè)小正方形看作 4 個(gè)抽屜，將 9 個(gè)點(diǎn)隨意放入 4 個(gè)抽屜中，據(jù)抽屜原理，至少有一

21、個(gè)小正方形中有。點(diǎn)3 個(gè)顯然，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過(guò)8 1/ 。 邊長(zhǎng)將為 反思：1 的正方形分成 4 而個(gè)構(gòu)從面造積出均為41我/的小正方形，解決是本題的4關(guān)個(gè)鍵抽。屜，們4 個(gè)全等的直角三決正方將形分成知面道積。可均連如為結(jié)兩條對(duì)角線將正4方1/形分的成圖形的方法不只一種， 何構(gòu)如造抽角屜可形是見，利，這用4抽個(gè)屜圖原形理的解面積也都是4這1/樣但構(gòu)，造抽屜不能問(wèn)題的關(guān)鍵。 試一試：在邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形中有 10 個(gè)點(diǎn)，證明其中必有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于3 1/例把3等）邊三角形分成每邊個(gè)長(zhǎng)小為三角形中的，9 任個(gè)意小兩等點(diǎn)邊之三間角的形距，離都不大于 結(jié)論。 。這 ，

22、 樣構(gòu)造成 9 個(gè)抽屜。由抽屜原理可知，肯定有兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜中，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于。意例 4. 有一個(gè)圓，經(jīng)有過(guò)圓心 99從3 上條直徑，上它分們別與填圓共1986 個(gè)交點(diǎn)，在每個(gè)交點(diǎn)1 到 496到兩條直徑，中它的們一兩個(gè)端整的數(shù)數(shù)（的可和以相重等復(fù)。） 分析：由于結(jié)果與直徑兩端的和有關(guān)，因 這 991 種情況而作它直為們徑9的9兩1兩端個(gè)端的抽和屜共，有定存一在兩條直徑，由抽99屜3 原個(gè)理數(shù)， 的和相等。 1 1+49 到6496+的 991 種情況，可以將數(shù)因?yàn)橹睆阶C兩明端：的和從2 到 992 共有 991 種不同的結(jié)果，993 條直徑兩端的和共由有抽99屜3 原個(gè)理數(shù)，可

23、知，一定存在兩條直徑，它們的兩端數(shù)的和相等。 圓桌周圍現(xiàn)均沒(méi)發(fā)勻邊有地上桌一放個(gè)了有人1對(duì)0 個(gè)著座自位己客，人當(dāng)隨意入座后1，0 位客人的名字。 名字，試證明，可以轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌，使得至少有兩位客人同時(shí)對(duì)著自己的名字。例對(duì)4每）位客人而言，恰好有一種轉(zhuǎn)動(dòng)使得他正對(duì)著圓桌上自己的名字， 其余 9 種轉(zhuǎn)動(dòng)中，應(yīng)有 10 位客人各有一次對(duì)著自己的名字，因此結(jié)論成立，上述 9 種轉(zhuǎn)動(dòng)即為 9 個(gè)抽屜。應(yīng)該注意的是用抽屜原理解決問(wèn)題，只能證明具有某種性質(zhì)的對(duì)象的“存在性”，卻不一定能具體指出這些對(duì)象 的桌 是誰(shuí)。 一般來(lái)說(shuō)，題目中不會(huì)明確什么是“抽屜”，有幾個(gè)“抽屜”，確定“抽屜”是用抽屜原理解題時(shí)需要做的

24、工作。 某班50 名學(xué)生，在第一次測(cè)驗(yàn)中 26 人滿分，在第二次測(cè)驗(yàn)中 21 人滿分，如果兩次測(cè)驗(yàn)中都沒(méi)得到滿分的學(xué)生有 17 人，那么兩次測(cè)驗(yàn)中都獲得滿分的人數(shù)是 。 為了使重疊部在分計(jì)不數(shù)被時(shí)重，復(fù)計(jì)算， 含把于某內(nèi)容中疊的所情有況對(duì)，象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)， 算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理，也叫做包含排除原理?！境閷显怼烤毩?xí)題（答題時(shí)間：30 分鐘） 1. 某班 37 名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日？ 2. 42 只鴿子飛進(jìn) 5 個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？ 重計(jì)、黃球各3. 口至袋少中要有摸紅出、幾黑個(gè)、球，才能保證1有0個(gè)，它們的外型

25、與重量都一樣， 同的球？ 4 個(gè)顏色相4.5.6.飼養(yǎng)員給 10 只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到 7 個(gè)蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來(lái)多少個(gè)蘋果？ 從 13 個(gè)自然數(shù)中，一定可以找到兩個(gè)數(shù)，它們的差是 12 的倍數(shù)。 一個(gè)班有 40 名同學(xué)，現(xiàn)在有課外書 125 本。把這些書分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 【試題答案】 1. 某班 37 名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日？4 個(gè)2. 42 只鴿子飛進(jìn) 5 個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？3. 口至袋少中要有摸紅出、幾黑個(gè)、球，才能保證1有0 個(gè)，它們的外型與重量都一樣， 9 只4 個(gè)顏色白、黃球各

26、相同的球？13 個(gè)其4.中飼至養(yǎng)少員要給有1一0 只猴子得分到蘋果，個(gè) 飼養(yǎng)員至7 少個(gè)要蘋拿果來(lái)，多少個(gè)蘋果？ 615. 從 13 個(gè)自然數(shù)中，一定可以找到兩個(gè)數(shù)，它們的差是 12 的倍數(shù)。 確定成立6. 一個(gè)現(xiàn)班在有有4課0外名書同學(xué)， 是 把12這5 些本書。分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到 4 件或 4 件以上的玩具？例 1、 教室里有 5 名學(xué)生正在做作業(yè)，今天只有數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理四科作業(yè)求證：這 5 名學(xué)生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè)。 證明：將 5 名學(xué)生看作 5 個(gè)蘋果 將數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共 4 個(gè)抽屜 由抽屜原理 1，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至

27、少有 2 個(gè)蘋果。即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)。 例 2、 木箱里裝有紅色球 3 個(gè)、黃色球 5 個(gè)、藍(lán)色球 7 個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？ 解：把 3 種顏色看作 3 個(gè)抽屜 若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于 3 大于 3 的最小數(shù)字是 4故至少取出 4 個(gè)小球才能符合要求 答：最少要取出 4 個(gè)球。 有一個(gè)學(xué)生能例得3到、兩班本將上或書有兩分5本給0以大名上家學(xué)，生至，少要拿多少本， 書。 的解：把 50 名學(xué)生看作 50 個(gè)抽屜，把書看成蘋果根據(jù)原理 1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多即書至少5需11要= 50+本 答：最少需要 51 本。

28、 例 4、 在一條長(zhǎng) 100 米的小路一旁植樹 101 棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過(guò) 1 米。解：把這條小路分成每段 1 米長(zhǎng)，共 100 段 每段看作是一個(gè)抽屜，共 100 個(gè)抽屜，把 101 棵樹看作是 101 個(gè)蘋果于是 101 個(gè)蘋果放入 100 個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹 例 5 11 名學(xué)生到老師家借書，老師是書借一本 有 A、B、C、D 四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同 證明：若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有 A、B、C、D 四種 若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有BA 、

29、CA 、DA 、C B 、DB 、DC六種共有 10 種類型 把這 10 種類型看作 10 個(gè)“抽屜” 把 11 個(gè)學(xué)生看作 11 個(gè)“蘋果” 如果誰(shuí)借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜 由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同 例 6、 有 50 名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒(méi)有平局，也沒(méi)有全勝試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同 證明：設(shè)每勝一局得一分 由于沒(méi)有平局，也沒(méi)有全勝，則得分情況只有 1、2、349，只有 49 種可能以這 49 種可能得分的情況為 49 個(gè)抽屜 現(xiàn)有 50 名運(yùn)動(dòng)員得分 則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同 例 7、 體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球， 拿 2

30、 個(gè)球，問(wèn)至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？解題關(guān)鍵：利用抽屜原理 2。 50 名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿 1 個(gè)球，至多解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下 9 種： 排 足 以這 9 種配組方式制造 9 個(gè)抽屜將這 50 個(gè)同學(xué)看作蘋果 5 5. 5由抽屜原理 2k 1 可得，至少有 6 人，他們所拿的球類是完全一致的容斥原理 1如果被計(jì)數(shù)的事物有 A、B 兩類，那么，A 類或 B 類元素個(gè)數(shù)A= 類元素個(gè)數(shù)B+ 類元素個(gè)數(shù)一既是 A 類又是B類的元素個(gè)數(shù)。 例 5. 從 1 到 200 中能被 3 或 5 整除的整數(shù)共有 個(gè)。 事依物題有意能，被分析與解：3 整把除和能

31、被 5 整除兩類， “能被 3 整除”稱為“A 類元素”，“能被 5 整除”稱為“B 類元素”，“能被 3 整除又能被 5 整除”稱為“既是 A 類又是 B 類元素”，A 類元素的個(gè)數(shù)=002 =66B 類元素的個(gè)數(shù)=002 =04既是 A 類又是 B 類元素的個(gè)數(shù)=002 =315135所以，由容斥原理知，從 1 到 200 中能被 3 或 5 整除的9整3數(shù)1的3=4個(gè)0-數(shù)66=+。一次測(cè)試，試一試：15 人語(yǔ)文并得且滿有分，有 12那人么數(shù)這學(xué)得滿分，數(shù)學(xué)都是4滿人分語(yǔ)，文、 個(gè)班至少有一門得滿分的有多少人？例第6.一在某次班測(cè)5驗(yàn)0中名學(xué)生，第二在次測(cè)2驗(yàn)6中人滿分，果兩如次測(cè)2驗(yàn)1

32、中人都滿沒(méi)分得，到滿分 的學(xué)生有 17 人，那么，兩次測(cè)驗(yàn)中都獲得滿分的人數(shù)是 。得事依滿物題分有意。兩，類：分析與解： “第一次測(cè)驗(yàn)得滿分”稱 為“A 類元素”，“第二次測(cè)驗(yàn)得滿分”稱為“B 類元素”，“兩次測(cè)驗(yàn)都得滿分”稱為“既是 A 類又是 B 類元素”。因?yàn)閮纱螠y(cè)驗(yàn)都沒(méi)有得滿分的學(xué)生有 17 人，所以，兩次測(cè)驗(yàn)中至少有一次得滿分的學(xué)生有 人，即 A 類或 B 類元素的個(gè)數(shù)是 33。又A 類元素個(gè)數(shù)26=，B 類元素個(gè)數(shù)21=，根據(jù)容斥原理， 既是 A 類又是 B 類的元素個(gè)數(shù)A=類元素個(gè)數(shù)B+類元素個(gè)數(shù)A 類或 B 類元素的2個(gè)1 數(shù)26=+1433=。即兩次測(cè)驗(yàn)中都獲得滿分的人數(shù)是

33、14。 容斥原理 2如果被計(jì)數(shù)的事物有 A、B、C 三類，那么，A 類或B 類或 C 類元素個(gè)數(shù)A= 類元素個(gè)數(shù)B+ 類元素個(gè)數(shù)C+ 類元素個(gè)數(shù)既是A 類又是B 類的元素個(gè)數(shù)既是 A 類又是 C 類的元素個(gè)數(shù)既是 B 類又是C 類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B 類而且是C 類的元素個(gè)數(shù)。 某班語(yǔ)例文7成. 績(jī)某優(yōu)次秀考的試有，數(shù)2學(xué)8 成人績(jī)，優(yōu)秀的有英3語(yǔ)2 成人績(jī)，優(yōu)秀的有 數(shù)語(yǔ)3文4 、人，學(xué)成績(jī)都是優(yōu)秀的有 22 人，語(yǔ)文、英語(yǔ)成績(jī)都是優(yōu)秀的有 24 人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)都是優(yōu)秀的有 25 人，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)都達(dá)到優(yōu)秀的有 18 人，那么，該班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科中至少有一科成績(jī)是優(yōu)秀

34、的有幾人？ 事依物題有意語(yǔ)，文成分績(jī)析優(yōu)與秀解、： “語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀”稱為“A 類元素”，“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”稱為“B 類元素”，“英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀”稱為“C 類元素”，“語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)都是優(yōu)秀”稱為“既是 A 類又是 B 類的元素”，“語(yǔ)文和英語(yǔ)成績(jī)都是優(yōu)秀”稱為“既是 A 類又是 C 類的元素”，“數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)都是優(yōu)秀”稱為“既是 B 類又是C 類的元素”，“語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科成績(jī)都是優(yōu)秀”稱為“既 是 A 類又是 B 類而且是 C 英類語(yǔ)的三元科素中”，至C 類的元素”。 A 類元素的個(gè)數(shù)28= ，B 類元素的個(gè)數(shù)32=，C 類元素的個(gè)數(shù)34=， 既是 A 類又是 B 類的元素的個(gè)數(shù)22=，既

35、是 A 類又是 C 類的元素的個(gè)數(shù)24=，”稱為“A 類或 B 類或文一、科數(shù)成學(xué)績(jī)、是優(yōu)秀既是 B 類又是 C 類的元素的個(gè)數(shù)25=，既是A 類又是B 類而且是 C 類的元素的個(gè)數(shù)18=， 所以，A 類或 B 類或 C 類元素的個(gè)數(shù)A= 類元素的個(gè)數(shù)B+ 類元素的個(gè)數(shù)C+ 類元素的個(gè)數(shù)既是 A 類又是 B 類的元素個(gè)數(shù)既是 A 類又是 C 類的元素的個(gè)數(shù)既是 B 類又是 C 類的元素的個(gè)數(shù)+既是 A 類又是 B 類而且是C類的元素34的3個(gè)2+數(shù)28=+2241 2148=25+。所以，該班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科中至少有一科成績(jī)是優(yōu)秀的有 41 人。 例 1、在邊長(zhǎng)為 1 的正方形內(nèi)任意放置

36、5 個(gè)點(diǎn)，試證：其中必有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于 。 證明：將邊長(zhǎng)為 1 的正方形劃分成如圖所示的四個(gè)邊長(zhǎng)為 的小正方形，則每個(gè)小正方形中任意兩點(diǎn)間的距離不大于 ，據(jù)抽屜原理：5 個(gè)點(diǎn)放入四個(gè)正方形中，其中至少有一個(gè)正方形中至少不大于 。 2 個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)間的距離例 2、證明：邊長(zhǎng)為 1 的的正三角形內(nèi)任意放置 5 個(gè)點(diǎn)，其中必有兩點(diǎn)，其距離不超過(guò) 。小正邊三長(zhǎng)將角為形，證明： 1 的正三角形的各邊中點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，距2 個(gè)點(diǎn)，則這兩離不大于 ，據(jù)抽屜原理：5 個(gè)點(diǎn)放入 4 個(gè)小正三角形中，其中至少有一個(gè)小正三角形中至少個(gè)點(diǎn)間的距離不超過(guò) 。 例 3、求證：任給五個(gè)整數(shù)，必能從中選出三個(gè)，

37、使得它們的和能被 3 整除。 有證明：因?yàn)槿我庖粋€(gè)整數(shù)被 3 除的余數(shù)只能是 0、1、2，若任給的 5 個(gè)整數(shù)被 3 除的余數(shù)中 0、1、2 都出現(xiàn)，則余數(shù)為 0、1、2 的三個(gè)整數(shù)之和能被 3 整除；若5 個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)只據(jù)出抽則現(xiàn)屜0原、理1、2 中的兩個(gè)，：知 它余數(shù)相同的必有 3 個(gè)整數(shù)使的得余數(shù)相同，們的和能被 3 整除。 能從必中選出3三個(gè)個(gè)數(shù)，之和故能任被給3 五整個(gè)除整。數(shù)， 例 4、求證：107在,4,1,1009,7,中任選 20 個(gè)不同的整數(shù)，其中必有二整數(shù)之和為 104。證明：107將,4,1,1009,7,這 34 個(gè)自然數(shù)分成如下 18 個(gè)集合：7,1040, 152, 5549,，7從,4,1,1009,7,中從任上即選述20 個(gè)數(shù)，18 個(gè)集合必中則選 20 個(gè)數(shù)，有一個(gè)集合中選了 2 個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的和為 104。例設(shè)5、 a1a,2a,3,a, n 是自然3數(shù),2,1,總是偶數(shù)。 n,隨意打亂次序重新排列而成的：一證串明。數(shù)數(shù)，奇n是 a()a11-) 22- a() nn-因：明證設(shè)n 為奇數(shù)1 ，2k+n= 則 ，3,2,1,n, 中從共而有1 k+個(gè)奇數(shù)， 3,2,1,1