經(jīng)典研材料裂項(xiàng)相消法求和大全

1、.開(kāi)一數(shù)學(xué)組教研材料 （裂項(xiàng)相消法求和之再研究 ） 張明剛一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，消掉中間所有項(xiàng)，剩下首尾對(duì)稱項(xiàng)基本類(lèi)型：1.形如型。如；2.形如an型；3.4.5.6.形如an型7.形如an型；8.9.形如an型；10.11.12.13.14.15.利用兩角差的正切公式進(jìn)行裂項(xiàng)把兩角差的正切公式進(jìn)行恒等變形，例如 可以另一方面，利用，得16 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)對(duì)數(shù)運(yùn)算有性質(zhì)，有些試題則可以構(gòu)造這種形式進(jìn)行裂項(xiàng).17 利用排列數(shù)或組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)排列數(shù)有性質(zhì)，組合數(shù)有這樣的性質(zhì)，都可以作為裂項(xiàng)的依據(jù).例7 求和：分析 直接利用可得結(jié)果是.18.求和：.有，從而.裂項(xiàng)相消法求和之再研究一項(xiàng)拆成

2、兩項(xiàng)，消掉中間所有項(xiàng)，剩下首尾對(duì)稱項(xiàng) 一、多項(xiàng)式數(shù)列求和。（1）用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和此類(lèi)型可設(shè)左邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求出A,B。例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。（2）用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型可上邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)含有m元一次方程組。說(shuō)明：解這個(gè)方程組采用代入法，不難求。系數(shù)化簡(jiǎn)可以用二項(xiàng)式定理，這里不解釋。解出。再裂項(xiàng)相消法用易知例2：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。二、二、多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列。（1）用裂項(xiàng)相消法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。這里不妨設(shè)。（時(shí)為常數(shù)列，

3、前n項(xiàng)和顯然為）此類(lèi)型可設(shè)，則有，從而有。再用裂項(xiàng)相消法求得例3：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有，從而有，故。（2）用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型通常的方法是乘公比錯(cuò)位錯(cuò)位相減法，其實(shí)也可以用裂項(xiàng)相消法。這里依然不妨設(shè)，（時(shí)為等差數(shù)列，不再贅述。）可設(shè)，則有，從而得到方程組，繼而解出A，B。再用裂項(xiàng)相消法求得例4：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有，從而得到方程組，解得。（3）用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型有一個(gè)采用m次錯(cuò)位相減法的方法求出，但是

4、當(dāng)次數(shù)較高時(shí)錯(cuò)位相減法的優(yōu)勢(shì)就完全失去了。同樣這里依然不妨設(shè)，（時(shí)為多項(xiàng)式數(shù)列，不再贅述。）下面介紹錯(cuò)位相減法的方法：設(shè)。先對(duì)上式化簡(jiǎn)成的形式，其中是用來(lái)表示的一次式子。同樣讓對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)m元一次方程組，用代入法可以解出再用用裂項(xiàng)相消法求得。例5：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有從而得到，解得，所以事實(shí)上裂項(xiàng)求和適合用于所有能將化成形式的所有數(shù)列，與存在形式上相似性，從而利用待定系數(shù)法的方式得到的表達(dá)式，最終可以得到。這里部分可用倒敘相加法的數(shù)列不能使用此法是因?yàn)樗鼪](méi)有一個(gè)統(tǒng)一形式不帶省略號(hào)的前n項(xiàng)和公式。例如調(diào)和數(shù)列也不能用此法，事實(shí)上調(diào)和數(shù)列是不可求前n項(xiàng)和的數(shù)列

5、。四、結(jié)論。 從上面的論斷不難得出裂項(xiàng)相消法，適合所有可求前n項(xiàng)和的數(shù)列。不愧為數(shù)列求前n項(xiàng)和的萬(wàn)能方法。不過(guò)值得肯定的是有部分?jǐn)?shù)列利用裂項(xiàng)相消法，不易找出它的裂項(xiàng)方法，尤其是與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)這些比較高級(jí)的基本初等函數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)。對(duì)于前兩個(gè)大點(diǎn)得出的結(jié)論，我們當(dāng)然也可以使用待定系數(shù)法來(lái)求，只是不要忘記它們都是用裂項(xiàng)相消法證明出來(lái)的結(jié)論。保留原來(lái)的參數(shù)得到結(jié)論也可以使用，從而直接得出待定參數(shù)的值，但對(duì)記性的要求很高，這里就不再啰嗦。例6：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)則所以，解得，所以例7：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：例8：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和，。解：，作業(yè)：1、請(qǐng)用裂項(xiàng)相消法求下列各數(shù)列的和.（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。（2）已知數(shù)列的