直線方程五種形式教師

1、1直線的點(diǎn)斜式方程1點(diǎn)斜式方程 設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，且斜率為k，則直線的方程為yy0=k(xx0)，由于此方程是由直線上一點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k所確定的直線方程，我們把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式方程.注意：利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.（1）當(dāng)直線l的傾斜角=90時(shí)，斜率k不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示，但這時(shí)直線l恰與y軸平行或重合，這時(shí)直線l上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以此時(shí)的方程為x=x0.（2）當(dāng)直線l的傾斜角=0時(shí)，k=0，此時(shí)直線l的方程為y=y0，即yy0=0.（3）當(dāng)直線l的傾斜角不為0或90時(shí)，可以直接代入方程求解.2斜截式方程：如果一條直線

2、通過(guò)點(diǎn)(0，b)且斜率為k，則直線的點(diǎn)斜式方程為y=kx+ b 其中k為斜率，b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱直線的截距.注意：利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.（1）并非所有直線在y軸上都有截距，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，如直線x=2在y軸上就沒(méi)有截距，即只有不與y軸平行的直線在y軸上有截距，從而得斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線的方程.（2）直線的斜截式方程y=kx+b是y關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，該函數(shù)為常量函數(shù).x=b；當(dāng)k0時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，且當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.（3）直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特例。要注意它們之間的區(qū)別

3、和聯(lián)系及其相互轉(zhuǎn)化.直線點(diǎn)斜式方程的理解1由于點(diǎn)斜式方程是由斜率公式推出的，因此 表示的直線上缺少一個(gè)點(diǎn)P(x0，y0)，yy0=k(xx0)才是整條直線；2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線可以分為兩類：斜率存在時(shí)，直線方程yy0=k(xx0)；斜率不存在時(shí)，直線方程為x=x0.3直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；4從函數(shù)的角度來(lái)看，當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程可以看作是函數(shù)解析式，當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線方程為x=x0，它不是函數(shù)解析式。2直線的兩點(diǎn)式方程若直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1x2)，則直線l的方程為，這種形式的方程叫做直

4、線的兩點(diǎn)式方程.兩點(diǎn)式方程的理解：（1）當(dāng)直線沒(méi)有斜率(x1=x2)或斜率為零(y1=y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式表示它的方程；（2）可以把兩點(diǎn)式的方程化為整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)，就可以用它來(lái)求過(guò)平面上任意兩點(diǎn)的直線方程； 如過(guò)兩點(diǎn)A(1，2)，B(1，3)的直線方程可以求得x=1，過(guò)兩點(diǎn)A(1，3)，B(2，3)的直線方程可以求得y=3.（3）需要特別注意整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)與兩點(diǎn)式方程的區(qū)別，前者對(duì)于任意的兩點(diǎn)都適用，而后者則有條件的限制，兩者并不相同，前者是后者的拓展。3直線的截距式方程若直線l在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b

5、，且a0，b0，則直線l的方程為，這種形式的方程叫做直線的截距式方程。用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程的條件限制為a0，b0，即兩個(gè)截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線；（2）用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長(zhǎng)度；（3）要注意“截距相等”與“截距絕對(duì)值相等”是兩個(gè)不同的概念，截距式中的截距可正、可負(fù)，不可為零。截距式方程的應(yīng)用（1）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為：|a|+|b|+；（2）直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：S= ；（3）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則k=1或直線過(guò)原點(diǎn)，常設(shè)此方程為x+y=a或y=kx.4直線方程的一

6、般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全為零）叫做直線的一般式方程.直線的一般式方程的理解1兩個(gè)獨(dú)立的條件可求直線方程：求直線方程，表面上需求A、B、C三個(gè)系數(shù)，由于A、B不同時(shí)為零，若A0，則方程化為，只需確定的值；若B0，同理只需確定兩個(gè)數(shù)值即可；因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程；2直線方程的其他形式都可以化成一般式，解題時(shí)，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明應(yīng)把最后結(jié)果化為一般式，一般式也可以化為其他形式。3在一般式Ax+By+C=0（A、B不全為零）中，若A=0，則y=，它表示一條與y軸垂直的直線；若B=0，則，它表示一條與x軸垂直的直線.5直線方程的選擇直線形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不

7、能表示與x軸垂直的直線已知一個(gè)定點(diǎn)和斜率k 已知一點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)斜式方程斜截式不能表示與x軸垂直的直線已知在y軸上的截距 已知斜率，可設(shè)斜截式方程兩點(diǎn)式不能表示與x軸、y軸垂直的直線已知兩個(gè)定點(diǎn)已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y 軸垂直、過(guò)原點(diǎn)的的直線已知兩個(gè)截距已知直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積問(wèn)題可設(shè)截距式方程一般式能表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程題型1直線的點(diǎn)斜式方程例1一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，3)，傾斜角=135，求這條直線的方程。解：這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，3)，斜率是k=tan=1代入點(diǎn)斜式方程得：y+3=1(x+2)，即x+y+5=0，這就是所求直線的方程.例2求斜率為，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(，1)；（2）在x軸上的截距是5.解：（1）所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，斜率為，所求直線方程為，即x3y6=0.（2）所求直線的斜率是，在x 軸上的截距為5，即過(guò)點(diǎn)(5，0)，所求直線的方程為y=(x+5)，即.題型2直線的斜截式方程例3若直線Ax+By+C=0通過(guò)第二、三、四象限，則系數(shù)A、B、C需滿足條件（ ）（A）A、B、C同號(hào) （B）AC0，BC0 （C）C=0，AB0 （D）A=0，BC0，b0，又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，2)在直線l上，所以，即b+2a=ab，又因?yàn)镺AB的面積S=ab.所以 S=(b+2a)=4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立