正弦定理的幾種證明方法;_第1頁
正弦定理的幾種證明方法;_第2頁
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1、正弦定理的幾種證明方法abdabc1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)abc是銳角三角形時，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.abcdba（2）當(dāng)abc是鈍角三角形時，過點c作ab邊上的高，交ab的延長線于點d，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .由(1)(2)可知，在abc中， 成立.從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.1用知識的最近生長點來證明：實際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題：已知點a，點b之間的距ab|，可測量角a與角b，需要定位點c，即：在如圖abc

2、中，已知角a，角b，abc，求邊ac的長b解：過c作cdab交ab于d，則 推論：同理可證：2.利用三角形面積證明正弦定理dcba已知abc,設(shè)bca, cab,abc,作adbc,垂足為d.則rtadb中, ,ad=absinb=csinb.sabc=.同理,可證 sabc=. sabc=.absinc=bcsina=acsinb,在等式兩端同除以abc,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90-a,j與的夾角為90-c.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得

3、到 由分配律可得. b c|j|cos90+|j|cos(90-c)=|j|cos(90-a). j asinc=csina. a 另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+c,j與的夾角為90+b,可得.(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90-c,j與的夾角為90-b).ca(2)abc為鈍角三角形,不妨設(shè)a90,過點a作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為a-90,j與的夾角為90-c.由,得j+j=j, jab即acos(90-c)=ccos(a-90),asinc=csina.另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+c,j與夾角為90+b.同理,可得. 4.外接圓證明正弦定理在abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作abc的外接圓,o為圓心,連結(jié)bo并延長交圓于b,設(shè)bb=2r.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可

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