狀態(tài)空間分析方法PPT課件

1、.,1,第九章,狀態(tài)空間分析方法,.,2,第9章 狀態(tài)空間分 析方法,基本要求,9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ),9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性,9-3 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器,9-4 有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性,9-5 李雅普諾夫第二方法,返回主目錄,.,3,引言：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡(jiǎn)單比較。,.,4,基本要求,掌握由系統(tǒng)輸入輸出的微分方程式、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、及簡(jiǎn)單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法。 熟練掌握矩陣指數(shù)的計(jì)算方法，熟練掌握由時(shí)域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動(dòng)態(tài)方程計(jì)算傳遞函數(shù)的公式。 正確理解可逆線性變換, 熟練掌

2、握可逆線性變換前、后動(dòng)態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。 正確理解可控性和可觀測(cè)性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。,返回子目錄,.,5,熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法, 能將可控系統(tǒng) 化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能將不可控系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。 正確理解對(duì)偶原理, 會(huì)將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測(cè)性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶系統(tǒng)的可控性問(wèn)題來(lái)研究。 正確理解單變量系統(tǒng)零、極點(diǎn)對(duì)消與動(dòng)態(tài)方程可控、可觀測(cè)的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)成方法。 正確理解狀態(tài)反饋對(duì)可控性，可觀性的影響, 正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件。,.,6,熟練掌握全維狀態(tài)觀測(cè)器的公式和設(shè)計(jì)方法, 熟練掌握由觀

3、測(cè)器得到的狀態(tài)估計(jì)值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng), 可進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置和觀測(cè)器極點(diǎn)配置。 正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念, 熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。 正確理解李雅普諾夫方程正定對(duì)稱解存在的條件和解法, 能通過(guò)解李雅普諾夫方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析。,.,7,9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ),在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。 在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來(lái)描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。,返回子目錄,.,8,一、狀態(tài)空間的基本概念,已知 時(shí)狀態(tài)， 時(shí)的輸入，可確定 時(shí)任一變

4、量的運(yùn)動(dòng)狀況。,.,9,對(duì)于確定的某個(gè)時(shí)刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個(gè)點(diǎn)，狀態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。,.,10,例9-2,設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示。 回路方程為,圖9-2 RLC網(wǎng)絡(luò),.,11,選擇狀態(tài)變量,則有,寫(xiě)成,輸出,.,12,若選另一組狀態(tài)變量,則有,.,13,若給出 (t=0) 時(shí)的初值 、 、 、 和 時(shí)就可確定系統(tǒng)的行為。,單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng),選取狀態(tài)變量,二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,.,14,（9-17）,.,15,或?qū)懗?（9-19）,.,16,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,圖9-3,.,17,例9-3,輸入為 u ，輸出為y 。,試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方

5、程。,考慮用下列常微分方程描述的系統(tǒng),.,18,解：,狀態(tài)方程為,寫(xiě)成,取狀態(tài)變量,.,19,輸出,圖9-4 例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,.,20,多輸入-多輸出系統(tǒng),圖9-6 多變量系統(tǒng),.,21,為狀態(tài)變量；,為輸入量；,為輸出變量。,.,22,矩陣形式：,式中,.,23,.,輸出變量方程,.,24,.,25,圖9-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,.,26,三、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,式中 均為列向量。,1、齊次狀態(tài)方程的解,.,27,可得,方程兩邊系數(shù)必相等, 即,.,28,我們定義,（9-31）,（9-32）,因此，齊次狀態(tài)方程的解為,將 t=0 代入（9-29）中得,.,29,（9-33）,（9-34）

6、,（9-35）,為nn矩陣，稱矩陣指數(shù)。,于是齊次狀態(tài)方程的解為,用拉氏變換法求解,.,30,拉氏反變換后得到,（9-37）,（9-38）,.,31,最終得到,與前一種解法所得結(jié)果一致。,式中,.,32,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：,.,33,圖9-8 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性,性質(zhì)3,.,34,例9-5,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,.,35,解：,求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,其中,可以寫(xiě)出方程解為,.,36,例9-6,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試求狀態(tài)方程的解。,.,37,解：,用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù),.,38,狀態(tài)方程之解為,將上式進(jìn)行拉氏反變換,.,39,圖9-9 系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（b）,

7、.,40,改寫(xiě)為,用 左乘等式兩邊,2 非齊次狀態(tài)方程的解,非齊次方程,（9-53）,（9-54）,.,41,積分上式得,.,42,討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法,拉氏反變換得,由于,由卷積定理有,.,43,因此,由于,最后得到,.,44,例9-7,求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng),控制量u為單位階躍函數(shù)。,.,45,解：,由,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,.,46,若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則,.,47,四、傳遞函數(shù)矩陣,（9-58）,系統(tǒng)狀態(tài)方程,拉氏變換為,.,48,解出,定義傳遞函數(shù)矩陣為,.,49,所以,特征方程為,.,50,例9-8,設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,.,51,解：,已知,故,.

8、,52,.,53,例9-9,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。,.,54,解：,系統(tǒng)的特征方程為,特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。,.,55,五、動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換,其中 P 是nn 矩陣,.,56,特征多項(xiàng)式,.,57,傳遞函數(shù)陣,.,58,例9-10,對(duì)例9-9之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為 試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。,.,59,解： 根據(jù)題意求變換矩陣,代入,.,60,特征方程為,特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同。,可得,.,61,9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性,在狀態(tài)空間法中，對(duì)系統(tǒng)的描述可由

9、狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)表示。 狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化,返回子目錄,.,62,一、準(zhǔn)備知識(shí),設(shè)A 是 nn 矩陣, x 是 n1 向量,齊次方程組,若 |A|=0, （9-70）式存在非零解； 若|A|0, （9-70）式只有零解。,1、齊次方程組的非零解,.,63,2、Cayley-Hamilton定理,Cayley-Hamilton定理指出， 矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式。,則A滿足,（9-71）,A的特征多項(xiàng)式,.,64,應(yīng)用Cayley-Hamilton 定理,（9-78）,.,65,例9-11,解： 矩陣A的特征多項(xiàng)式

10、,要求計(jì)算矩陣 的,.,66,矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式，有,本題中n=100，故有,.,67,3 引理,的充分必要條件是：存在 使,（9-80）,非奇異。這里A :nn, b: n1.,.,68,若對(duì)任意狀態(tài) ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 和控制量 ，能在 時(shí)刻將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到0，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。,二、線性系統(tǒng)的可控性,1 定義,對(duì)于任意時(shí)刻 和 ，若存在控制向量 ，能將 的每個(gè)初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到 時(shí)刻的另一任意狀態(tài) ,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。,等價(jià)的定義,.,69,例如,圖9-10,二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖所示,系統(tǒng)可控。,.,70,2 可控性判據(jù),其中 A (nn),b (n1), c (

11、1n),d (11),系統(tǒng)可控的充分必要條件是,（9-84） （9-85）,（9-86）,單變量線性定常系統(tǒng),.,71,證明：,將u(t) 代入式(9-54)，可得,（9-87）,若式(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識(shí)的引理，存在t10，使得(1-30)式定義的W(0, t1)矩陣非奇異，取t1為可控性定義中的tf ，且在0, tf 上定義,.,72,由定義可知式(9-86)成立時(shí)，系統(tǒng)可控。,.,73,再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立,根據(jù)凱萊哈密爾頓定理,假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即 x(tf)=0 。根據(jù)(9-54)式，則有,.,74,把(9-89) 式代入(9-88)

12、式，得,記,這時(shí),（9-90）,.,75,由于x(0)是任意的n維向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即,由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于(9-84) 式中的A陣和b陣。今后為了方便起見(jiàn)，將可控性矩陣記為S，這樣，可控的充要條件就寫(xiě)成：rankS=n 或 detS0。,.,76,圖9-11 不可控系統(tǒng),.,77,例子,系統(tǒng)可控,系統(tǒng),.,78,3 約當(dāng)型方程的可控性判據(jù),約當(dāng)塊的一般形式為,由前面討論可知，等價(jià)變換不改變可控性。,.,79,可控的充分必要條件為,同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。 每一約當(dāng)塊最后一行，所對(duì)應(yīng)的b中的元素不為零。

13、這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。,.,80,例9-12,系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試確定系統(tǒng)可控時(shí)， 應(yīng)滿足的條件。,.,81,解：,如果用直接計(jì)算可控性矩陣的方法 也可得到同樣結(jié)果 .,因?yàn)锳陣有兩個(gè)若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)應(yīng)有 ，由判據(jù)的(2)，A的第二行所對(duì)應(yīng)的b中的元素b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為,.,82,4、可控標(biāo)準(zhǔn)形,（9-92）,則系統(tǒng)一定可控。,一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式,.,83,(9-92)式的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形 。,對(duì)于一般的單輸入n維動(dòng)態(tài)方程 (9-93) 其中A，b分別為nn,n1的矩陣。成立以下定理： 若n維單輸入

14、系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。,.,84,下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法,計(jì)算可控性矩陣S； 計(jì)算 ，并記 的最后一行為h。 構(gòu)造矩陣 P 令,即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。,.,85,例9-13,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。,.,86,解：,先判斷可控性，再計(jì)算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 故系統(tǒng)可控。 一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。,.,87,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號(hào)相反。,則變換矩陣為,.,88,可求出,.,89,5 系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解,系統(tǒng)可控時(shí)，可通過(guò)可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的

15、情況，這時(shí)應(yīng)有,下面的結(jié)果被稱為 系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理,.,90,若單變量系統(tǒng)(9-84，85)式的可控性矩陣滿足(9-103）式，則存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式,式中 是n1維向量, 是n2維向量，并且,（9-106）,（9-107）,.,91,(9-106)式表明下面的動(dòng)態(tài)方程是可控的：,（9-107)式表明的動(dòng)態(tài)方程式(9-108，109)和原來(lái)的n維動(dòng)態(tài)方程式(9-84，85)具有相同的傳遞函數(shù)?；蛘哒f(shuō)傳遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。,（9-108） （9-109）,.,92,證明：,（9-110）,考察(9-103)式，并將它重新寫(xiě)出如下,進(jìn)而

16、可以證明,補(bǔ)充選取線性無(wú)關(guān)的向量,并使得向量組 線性無(wú)關(guān)。,.,93,令,若將(9-104，105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來(lái)，(9-104，105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-12所示。,即可證明 具有定理所要求的(9-104)的形式。,.,94,圖9-12 系統(tǒng)按可控性分解,.,95,從圖9-12中可見(jiàn)，控制輸入不能直接改變 也不能通過(guò)影響 間接改變 ，故 這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。 由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。,.,96,例9-14,設(shè)有系統(tǒng)方程如下 其傳遞

17、函數(shù)為 試進(jìn)行可控性分解 。,.,97,解：,系統(tǒng)的可控性矩陣,由于S的第3列是第1列與第2列的線性組合，系統(tǒng)不可控 。,選取,.,98,計(jì)算出,構(gòu)成,.,99,故有,因而得,.,100,三、線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性,設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,(9-113,114),如果在有限時(shí)間間隔0, t1 內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀的。,式中A,b,c分別為 矩陣。,1、 可觀測(cè)性的定義,.,101,若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可觀測(cè)(不能被確定)的，則稱系統(tǒng)不可觀。,圖9-13 不可觀測(cè)系統(tǒng),.,1

18、02,分析(9-117)式，當(dāng)知道某一時(shí)刻的輸出時(shí)， (9-117)式是n個(gè)未知量x(0)的(一個(gè))方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0) ，必須要利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個(gè)列向量，再?gòu)?到t1積分就可得到n個(gè)未知數(shù)x(0)的n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來(lái)研究。,我們考慮沒(méi)有外作用的系統(tǒng)，可求出,.,103,2 可觀測(cè)性判據(jù),可觀測(cè)的充分必要條件是,(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。,.,104,式（9-118）又可以寫(xiě)成,根據(jù)準(zhǔn)備知識(shí)中的引理，存在,.,105,將 代入上式，得,顯然不可能由y(t)=0來(lái)確定。即系統(tǒng)不可觀測(cè)

19、。,.,106,試判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。,設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為,例題9-15,.,107,解：,系統(tǒng)的可觀性矩陣 是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測(cè)。,系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對(duì)系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性。,.,108,事實(shí)上,因?yàn)?是可逆陣，所以上式兩端矩陣的秩相同。,.,109,3 對(duì)偶原理,上面兩個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)、是互為 對(duì)偶 的系統(tǒng)。,.,110,對(duì)偶原理,系統(tǒng)的可控性(可觀性)等價(jià)于系統(tǒng)的可觀性(可控性)。 只要寫(xiě)出系統(tǒng)的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng) 的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。 利用對(duì)偶原理，可以將

20、可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測(cè)性的研究上。因?yàn)閷?duì)對(duì)偶系統(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對(duì)原系統(tǒng)的可觀性研究。,.,111,應(yīng)用：,若式(9113)和式(9114)的動(dòng)態(tài)方程中A陣具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測(cè)的充分必要條件為 同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。 每一約當(dāng)塊的第1列所對(duì)應(yīng)的c中的元素 非零。,上述條件就是約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程的可觀測(cè)性判據(jù)。它可以由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。,.,112,例9-16,設(shè)動(dòng)態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)可觀測(cè)時(shí) 應(yīng)滿足的條件。,.,113,解：,由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為,這也就是原系統(tǒng)可觀測(cè)的條件。,構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)如下：,.,114,4 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,一

21、個(gè)單輸出系統(tǒng)如果其A,c 陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測(cè)的。,（9-122）式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。,（9-122）,.,115,通過(guò)對(duì)偶原理證明：,給定系統(tǒng)方程如下,式中 具有(9-122)的形式。,.,116,構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng),根據(jù)對(duì)偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測(cè)，所以其對(duì)偶系統(tǒng)一定可控。,化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P.,.,117,因此有,它可將系統(tǒng)方程化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。,.,118,例9-17,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。,.,119,解：,顯然該系統(tǒng)可觀測(cè)，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫(xiě)出它的對(duì)偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為,根據(jù)A,b陣，按化可

22、控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出P陣：,.,120,計(jì)算可控性矩陣S,由(9-128)式求出P陣,由(1-60)式求出M陣,.,121,式中,.,122,5 系統(tǒng)按可觀性進(jìn)行分解,系統(tǒng)可觀測(cè)，則通過(guò)等價(jià)變換可以化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。現(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對(duì)偶結(jié)果。,若(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測(cè)，且,.,123,則存在可逆矩陣P，將動(dòng)態(tài)方程化為,（9-135） （9-136）,.,124,(9-135,136)的式子也可用圖9-14表示。,這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。,(9-137)式表明n2維的子系統(tǒng) (A1 b1 c1 )是可觀的； 這部分狀態(tài)變量是不可觀的；

23、(9-138)式表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。,系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果,(9-138),.,125,圖914 系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解,由圖上可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測(cè)的部分。,.,126,四、可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,1、可控性、可觀測(cè)性與零、極點(diǎn)對(duì)消問(wèn)題,.,127,式中：,N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點(diǎn)， D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。,.,128,證明：,利用恒等式,.,129,將s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得,(9-145),.,130,依次類

24、推可得,.,131,出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)無(wú)相同因子，即g(s)不會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消的現(xiàn)象。,因?yàn)閯?dòng)態(tài)方程可觀測(cè)，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有,.,132,例9-18,設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為,不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測(cè)的。,.,133,顯然N(s)和D(s)無(wú)非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳遞函數(shù)沒(méi)有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上,分別計(jì)算,.,134,2 傳遞函數(shù)的最小階動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn),已知?jiǎng)討B(tài)方程，可以用(9-64)式計(jì)算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程？這一問(wèn)題稱為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 如果又要求所找出的動(dòng)態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。,.,135,設(shè)

25、給定有理函數(shù),(9-149)式中的d 就是下列動(dòng)態(tài)方程中的直接傳遞部分,(9-150),所以只需討論(9-149)式中的嚴(yán)格真有理分式部分。,.,136,給定嚴(yán)格真有理函數(shù),并且在所有滿足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論,.,137,可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153),對(duì)(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn) (A ,b,c),(9-153),（1）g(s)的分子和分母無(wú)非常數(shù)公因式的情況,.,138,(9-154),可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn),(9-153)式給出的(A, b, c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的?？芍苯佑?jì)算它對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)就是(9

26、-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知(9-153)式對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說(shuō)明(9-154)式是(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實(shí)現(xiàn)。,.,139,若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過(guò)部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)用例子說(shuō)明,設(shè)g(s)有以下的形式,(9-155),約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn),因?yàn)間(s)無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知上式中c1c4均不為零。,.,140,令,.,141,而,綜合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T,由若當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測(cè)性判據(jù)可知上式是可控、可觀測(cè)的，因而它是g(s)一個(gè)最小階實(shí)現(xiàn)。,.,142,

27、若g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時(shí),這時(shí)n 階的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。 g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。,（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況,.,143,例9-19,設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子與分母有公因子(s+1) 。,仿照(9-153)式，可寫(xiě)出g(s)的一個(gè)三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn),無(wú)須驗(yàn)證這個(gè)實(shí)現(xiàn)是可控的,.,144,因此這一實(shí)現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形的三維實(shí)現(xiàn)，它一定是不可控的。,計(jì)算可觀測(cè)性矩陣,.,

28、145,當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測(cè)的三維實(shí)現(xiàn)。 現(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得,如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，它是g(s)的最小實(shí)現(xiàn)。,.,146,9-3 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器,本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下,(9-157),一、狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置問(wèn)題,式中的v 是參考輸入，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1n 的向量。,返回子目錄,.,147,圖9-15,式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。,將(9-157)式和(9-158)式用方框圖表示，見(jiàn)圖9-15，它是一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。,.,14

29、8,計(jì)算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因?yàn)?1 狀態(tài)反饋不影響可控性,.,149,因此有,.,150,式(9-160)表明，若原來(lái)系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來(lái)系統(tǒng)不可控，不論用什么k 陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。,狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性。即原來(lái)可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來(lái)不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性，要進(jìn)行具體分析。,.,151,例9-20,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下,下表列出了系統(tǒng) c 陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量 k 和系統(tǒng)

30、可觀測(cè)性的關(guān)系。,.,152,可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)變化、是否發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)說(shuō)明。,.,153,2 狀態(tài)反饋對(duì)閉環(huán)特征值的影響,閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點(diǎn)所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。,通過(guò)選取反饋增益陣來(lái)改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問(wèn)題。,.,154,證明：,定理： 閉環(huán)方程(9-159) 的系統(tǒng)矩陣A-bk 的特征值可以由狀態(tài)反饋增益陣 k 配置到復(fù)平面的任意位置，其充分必要條件是(9-157)式的系統(tǒng)可控。,.,155,.,156,這時(shí)(9-158)式的狀態(tài)反

31、饋式可寫(xiě)為：,考慮矩陣,.,157,它的特征式為,由于,故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。,.,158,設(shè)任意給定的閉環(huán)極點(diǎn)為 , 且,(9-166),式中 完全由 所決定。比較 (9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根為 ，需有,(9-167),這說(shuō)明任意給定閉環(huán)n個(gè)極點(diǎn)，均可通過(guò)(9-167) 、(9-163)式確定，使A-bk具有給定的n個(gè)特征值，充分性證畢。,.,159,必要性,若系統(tǒng)(9-157)可任意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)(9-157)可控。用反證法，若系統(tǒng)(9-157)不可控，則存在一個(gè)可逆矩陣，通過(guò)等價(jià)變換后，可將(9-157)式

32、轉(zhuǎn)換為(9-104，105)的可控分解形式。考慮矩陣,A4的特征值不受 的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影響，這與可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系統(tǒng)(9-157)可控。,.,160,以上定理的充分性證明中，已給出通過(guò)可控標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)選擇k陣，使閉環(huán)具有任意要求的特征值的計(jì)算步驟，現(xiàn)歸納如下,計(jì)算A的特征式,由所給的n 個(gè)期望特征值 ， 計(jì)算期望的多項(xiàng)式,.,161,根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P,求出反饋增益陣,上述步驟中有化可控標(biāo)準(zhǔn)形這一步。如果不經(jīng)過(guò)這步，也可直接求k。,求,.,162,系統(tǒng)狀態(tài)方程為,若加狀態(tài)反饋使閉環(huán)特征值分布為 -1,-2,-

33、1+j,-1-j，試求狀態(tài)反饋增益陣k。,例9-21,.,163,方法一、通過(guò)化可控標(biāo)準(zhǔn)形求解,計(jì)算A的特征式,由所給的4 個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的多項(xiàng)式,解：,.,164,求出反饋增益陣,=-0.4 -1 -21.4 -6 ,根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P,求,.,165,方法二：,令 ，計(jì)算A-bk的特征式,比較兩個(gè)特征式的系數(shù)可得,所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 ,.,166,最后強(qiáng)調(diào)：,在極點(diǎn)配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控等價(jià)的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時(shí)，才是可配置

34、的。,.,167,例9-22,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 這一系統(tǒng)是不可控的。,若指定閉環(huán)特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-1,.,168,令,.,169,有,所以,令,.,170,對(duì)-2,-2,-2,-1,.,171,所以有,但若指定閉環(huán)特征值為 -2 ,-2,-2,-2 ， 就找不出k來(lái)達(dá)到這一配置要求。,.,172,例9-23,有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2,-1+j,-1-j。,.,173,解：,首先要將系統(tǒng)用狀態(tài)方程寫(xiě)出，即構(gòu)造出傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)，為了計(jì)算方便，取可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn),反饋增益向量k可寫(xiě)成,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,.,174,狀態(tài)

35、反饋系統(tǒng)的方框圖如圖9-16所示。,按給定極點(diǎn)，期望多項(xiàng)式為,比較上兩特征多項(xiàng)式，令s同次的系數(shù)相等，可得,或 k=4 4 1 ,.,175,圖9-16 例9-23在引入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖,.,176,二、狀態(tài)觀測(cè)器,為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，須對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行測(cè)量，但在實(shí)際系統(tǒng)中，并不是所有的狀態(tài)變量都能測(cè)量到的。因此為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過(guò)一個(gè)模型來(lái)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。,狀態(tài)觀測(cè)器又稱狀態(tài)漸近估計(jì)器。,.,177,圖9-17 狀態(tài)的開(kāi)環(huán)估計(jì),一個(gè)明顯的方法是利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成一個(gè)與實(shí)際系統(tǒng)具有同樣動(dòng)態(tài)方程的模型系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)

36、值，見(jiàn)圖。,.,178,由于圖9-17中未能利用系統(tǒng)的輸出信息對(duì)誤差進(jìn)行校正，所以用圖9-17得到的估計(jì)值是一個(gè)開(kāi)環(huán)估值。,一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與 的偏差信號(hào)來(lái)修正 的值，這樣就形成了圖9-18的閉環(huán)估計(jì)方案。,.,179,圖9-18 狀態(tài)的閉環(huán)估計(jì)方案,.,180,根據(jù)圖9-18所表示的關(guān)系可寫(xiě)出觀測(cè)器部分的狀態(tài)方程,(9-169),由(9-169)式和系統(tǒng)方程式可求出觀測(cè)誤差 應(yīng)滿足的方程式,(9-170),.,181,(9-170) 式表明，只要A-Hc的特征值均在復(fù)平面的左半部， 隨著 t 的增長(zhǎng)而趨向于零，而且趨于零的速度由A-Hc 的特征值所決

37、定。于是有下面極點(diǎn)可任意設(shè)置的狀態(tài)觀測(cè)器定理,定理：若系統(tǒng)(A b c)可觀測(cè), 則(9-169)式給出了系統(tǒng)的一個(gè)n 維狀態(tài)觀測(cè)器，并且觀測(cè)器的極點(diǎn)可以任意配置。,.,182,例9-24,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，觀測(cè)器的特征值要求設(shè)置在-10 ,-10 。,.,183,解：,將觀測(cè)器增益矩陣 H 寫(xiě)成,觀測(cè)器的特征方程為,.,184,根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項(xiàng)式為,比較上述兩多項(xiàng)式中s的同次項(xiàng)系數(shù)得,因此觀測(cè)器的方程為,.,185,三、由被控對(duì)象、觀測(cè)器和狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),若原系統(tǒng)(對(duì)象)方程為,(9-171),.,186,由對(duì)象、觀測(cè)器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)

38、系統(tǒng)的方框圖如圖9-19所示。,圖9-19 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),.,187,將(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式， 可分別得到,取狀態(tài)變量為,.,188,將(9-176) 、(9-177)式的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行如下的坐標(biāo)變換,(9-178),所得到的動(dòng)態(tài)方程為：,.,189,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過(guò)(9-179)式、(9-180)式來(lái)計(jì)算。,從(9-179)式可知，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征式可計(jì)算如下,(9-181),.,190,上式表明 , 圖9-19所示閉環(huán)系統(tǒng)的特征式等于矩陣 A-bk 與矩陣A-Hc 的特征式的乘積，而A-bk 是狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，A-Hc是觀測(cè)

39、器的系統(tǒng)矩陣，(9-181)式表明狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)特性是相互獨(dú)立的。,這個(gè)特點(diǎn)表明：若系統(tǒng)是可控、可觀的，則可按閉環(huán)極點(diǎn)配置的需要選擇反饋增益陣k，然后按觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)要求選擇H，H的選擇并不影響已配置好的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。因此系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器的設(shè)計(jì)可分開(kāi)進(jìn)行，這個(gè)原理通常稱為分離定理。,.,191,通常把反饋增益陣和觀測(cè)器一起稱為控制器,圖9-20 控制器,.,192,例9-25,設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,希望用狀態(tài)反饋使閉環(huán)的極點(diǎn)為-46j，并求實(shí)現(xiàn)這個(gè)反饋的狀態(tài)觀測(cè)器，觀測(cè)器的極點(diǎn)設(shè)置在-10，-10。,.,193,解：,由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知 ,其二階動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)是可控且可觀的。為了設(shè)計(jì)觀測(cè)器方便，現(xiàn)取可觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，即,根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為,.,194,令兩個(gè)特征式對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，可解出 k1=2, k2=40。 再求觀測(cè)器，根據(jù)極點(diǎn)的要求，期望多項(xiàng)式為,令 , 使,求狀態(tài)反饋 k，令k=k1 k2 。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,.,195,與期望多項(xiàng)式相比,得到 h1=100, h2=14。 由式可計(jì)算出觀測(cè)器方程為,由對(duì)象、狀態(tài)反饋和觀測(cè)器構(gòu)成的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-21所示。,.,196,圖9-21 例9-25的反饋控制系統(tǒng),.,197,