塑性變形力學(xué).ppt

1、第五章 塑性變形力學(xué)基礎(chǔ),中北大學(xué) 張治民教授,第一部分 應(yīng)力分析與應(yīng)變分析,5.1 應(yīng)力與一點的應(yīng)力狀態(tài) 5.2 點的應(yīng)力狀態(tài)分析 5.3 應(yīng)力張量的分解與幾何表示 5.4 應(yīng)力平衡微分方程 5.5 應(yīng)變與位移關(guān)系方程 5.6 點的應(yīng)變狀態(tài) 5.7 應(yīng)變增量 5.8 應(yīng)變速度 5.9 主應(yīng)變圖與變形程度表示,第二部分 金屬塑性變形的物性方程,5.10 金屬塑性變形過程和力學(xué)特點 5.11 塑性條件方程（屈服準(zhǔn)則） 5.12 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系） 5.13 變形抗力曲線與加工硬化 5.14 影響變形抗力的因素,5.1 應(yīng)力與一點的應(yīng)力狀態(tài),外力(Load)與內(nèi)力(Internal fo

2、rce),外力P：指施加在變形體上的外部載荷?？梢苑殖杀砻媪腕w積力兩大類。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集中載荷和分布載荷之分，一般由加工設(shè)備和模具提供。體積力則是作用于工件每一質(zhì)點上的力， 如重力、磁力、慣性力等等。 內(nèi)力Q：內(nèi)力是材料內(nèi)部所受的力，它的產(chǎn)生來自于外界作用和物體內(nèi)維持自身完整性的力。,5.1.1 應(yīng)力,應(yīng)力S 是內(nèi)力的集度 內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量 應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197Kgf/mm2 1MPa=106N/m2 應(yīng)力是某點A的坐標(biāo)的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應(yīng)力不同。 應(yīng)力是某點A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。,應(yīng)力（

3、Stress）：應(yīng)力是單位面積上的內(nèi)力 （見右圖）。其定義式為：Sn=dF/dQ,P,P,0,C,C,Q,F0,C1,C1,S0,F1,N,Q,單向均勻拉伸時任意 截面上的應(yīng)力,一點的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無、大小、方向等情況。 一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述 數(shù)值表達(dá)：x=50MPa，xz=35MPa 圖示表達(dá)：在單元體的三個正交面上標(biāo)出 張量表達(dá)： (i,j=x,y,z),5.1.2 一點的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量,應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號的規(guī)定,ij xx、xy、xz、yx、 yy、yz、zx、zy、 zz i應(yīng)力作用面的外法線方向 j應(yīng)力分量本身作用的方向 當(dāng) i=

4、j 時為正應(yīng)力 i、j同號為正（拉應(yīng)力），異號為負(fù)（壓應(yīng)力） 當(dāng) ij 時為剪應(yīng)力 i、j同號為正，異號為負(fù),質(zhì)點在任意方向上的應(yīng)力和應(yīng)力邊界條件,任意面ABC 其法線的方向余弦為N（l，m，n） 設(shè)微分面ABC的面積為dF，則有 OBC=dFx=ldF OCA=dFy=mdF OAB=dFz=ndF,設(shè)：ABC上的全應(yīng)力為S，其在三個坐標(biāo)軸上的分量為,xy,xz,zy,yz,zx,yx,x,y,z,A,B,C,x,y,z,Sy,N,S,O,Sx,Sz,任意斜切微分面上的應(yīng)力,由靜力平衡得，,令,則,x,y,z,=,剪應(yīng)力,外力,全應(yīng)力,全應(yīng)力 求和約定,正應(yīng)力,在xyz中為,l，k=,為新坐

5、標(biāo)軸在原坐標(biāo)系的方向余弦。 3個坐軸，共9個。,元素,求合約定,x,y,z,X,y ,z ,5.2 點的應(yīng)力狀態(tài)分析,5.2.1 主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量 5.2.2 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 5.2.3 八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力,5.2.1 主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量,主應(yīng)力（Principal stress ）：指作用面上無切應(yīng)力時所對應(yīng)的正應(yīng)力，該作用面稱作主平面，法線方向為主軸或主方向,該面叫做主平面，法線方向為主方向,主應(yīng)力：=0的作用面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力。 主平面,在任意面上,若=0，則為主應(yīng)力平面，即主平面上S=,主平面上的應(yīng)力,將,代入,得,l=m=n=0,其一組解為,不成立,條件：系數(shù)行列

6、式的值=0,即,展開,令,例題1,物體中某一點的應(yīng)力張量為,解：,試求主應(yīng)力值及,10,10,10,-10,解方程組得,由主應(yīng)力表示的 任意平面上的 正應(yīng)力和剪應(yīng)力,Sy,N,z,主平面上的應(yīng)力,主應(yīng)力圖,討論：,1. 可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的； 2. 三個主平面是相互正交的； 3. 三個主應(yīng)力均為實根，不可能為虛根； 4. 應(yīng)力特征方程的解是唯一的； 5. 對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性; 6. 應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程 度，與塑性變形無關(guān)；I3也與塑性變形無關(guān)；I2與塑性變形無關(guān)。 7. 應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點的確定性的判據(jù)。,5.2

7、.2 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力,剪應(yīng)力取極值的面上的剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。,為應(yīng)力主軸,將,代入上式,，,1,2,3,S,N,討論,一組解為l=m=0，n=1，=0；,=,=,若,球應(yīng)力狀態(tài)，0,=,若,圓柱應(yīng)力狀態(tài),則由第一式得l=,一般情況,若,若l0，m0，則上式必有,=,主平面,與前提條件不符，故這時無解,若l=0，m0，,則聯(lián)解得m=,則得此斜面的方向余弦為： l=0，m=n=,若l 0，m=0，,則聯(lián)解得l =,則得此斜面的方向余弦為： m=0， l =n=,則得此斜面的方向余弦為： n=0， l =m=,將上述方向余弦分別代入,得,最大剪應(yīng)力面上的主應(yīng)力,最大剪應(yīng)力,主剪應(yīng)力,主切應(yīng)力

8、平面 上的正應(yīng)力,5.2.3 八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力及應(yīng)力莫爾園,在主應(yīng)力空間中，每一卦限中均有一組與三個坐標(biāo)軸成等傾角的平面，八個卦限共有八組，構(gòu)成正八面體面。八面體表面上的應(yīng)力為八面體應(yīng)力。,正應(yīng)力,剪應(yīng)力,總應(yīng)力,八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。,八面體應(yīng)力,八面體應(yīng)力的求解思路：,關(guān)鍵,等效應(yīng)力,為了使不同應(yīng)力狀態(tài)具有可比性，定義了等效應(yīng)力e（Effective stress ），也稱相當(dāng)應(yīng)力。,應(yīng)變能相同的條件下,或,公式：,應(yīng)力莫爾圓,以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，作一斜微分面，其方向為l，m，n則有,通過求解上述三個方程得,變換形式得到,以和為軸，表示上述方程的圖形，

9、便有三個圓。,O,2,1,3,P,P,L、m、n分別為定值的斜微分 面上的、 的變化規(guī)律,將l=0，m=0，n=0分別代入,得,O1,O2,O3,O1：l=0，m，n變化（，）軌跡 O2：m=0，l，n變化（，）軌跡 O3：n=0，m，l變化（，）軌跡,1. 等效的實質(zhì)？ 是（彈性）應(yīng)變能等效（相當(dāng)于）。 2. 什么與什么等效？ 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效。 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒有作用面）。 4. 等效的意義？ 屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。,討論,5.3 應(yīng)力張量的分解與幾何表示,塑性變形時體積變化為零，只有形狀變化。因

10、此，可以把ij（Stress tensor ）分解成與體積變化有關(guān)的量和形狀變化有關(guān)的量。前者稱為應(yīng)力球張量(Spherical stress tensor) ，后者稱為應(yīng)力偏張量(Deviatoric stress tensor) 。設(shè)m為平均應(yīng)力，則有,按照應(yīng)力疊加原理，ij具有可分解性。因此有,式中，當(dāng)ij時，ij1；當(dāng)ij時，ij0,即:,上式第一項為應(yīng)力偏張量，其主軸方向與原應(yīng)力張量相同；第二項為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同。,值得一提的是，mij只影響體積變化，不影響形狀變化，但它關(guān)系到材料塑性的充分發(fā)揮。三向壓應(yīng)力有利于材料塑性的發(fā)揮。,應(yīng)力偏張量仍然是一個二階

11、對稱張量，同樣有三個不變量，分別為 ， ， 。,表明應(yīng)力偏張量已不含平均應(yīng)力成分；,與屈服準(zhǔn)則有關(guān),反映了變形的類型： 0表示廣義拉伸變形， 0表示廣義剪切變形，0表示廣義壓縮變形。,=,+,=,+,m,m,m,m,m,m,y,x,z,yx,xy,xz,zx,zy,yz,1,2,3,yz,yx,xy,xz,zy,zx,a),b),應(yīng)力張量,應(yīng)力球張量,應(yīng)力偏張量,應(yīng)力張量的分解,任意坐標(biāo)系,主軸坐標(biāo)系,根據(jù)應(yīng)力偏張量可以判斷變形的類型,應(yīng)力狀態(tài)分析,a) 簡單拉伸,b) 拉拔,c) 擠壓,=,+,-8,-8,-2,-3,-3,3,-6,-6,-6,-2,-2,4,4,4,-2,-2,-1,-1

12、,-1,2,2,2,-2,6,=,+,=,+,-2,討論：,分解的依據(jù)：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。 為引出形狀改變的偏應(yīng)力張量，為引出體積改變的球張量（靜水壓力）。,5.4 應(yīng)力平衡微分方程,應(yīng)力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰兩點間ij關(guān)系，可以通過微體沿坐標(biāo)軸力平衡來得到，一般應(yīng)力平衡方程在不同坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式。,直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程*,簡記作,推導(dǎo)原理： 靜力平衡條件： 靜力矩平衡條件： 泰勒級數(shù)展開：,設(shè)一點Q（x，y，z） 取單元體：dx，dy，dz,靜力平衡狀態(tài)下六面體上的應(yīng)力,Q點處的應(yīng)力狀態(tài)為,如：,

13、在dx面上,條件是應(yīng)力連續(xù)，一階連續(xù),不計體力，在y方向上有,靜力平衡狀態(tài)下六面體上的應(yīng)力,同理：,簡化記為,應(yīng)力未知量有6個，三個方程無法求確定解。,圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程 球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程？,5.5 應(yīng)變與位移關(guān)系方程,5.5.1 小變形幾何方程,物體變形時，內(nèi)部各質(zhì)點都在運動，質(zhì)點在不同時刻所走的距離稱作位移(Displacement) 。而變形則是指兩點間距的變化。這種變化有絕對變形與相對變形之分。應(yīng)變(Strain)屬相對變形，它是由位移引起的。 研究變形通常從小變形著手。小變形是指數(shù)量級不超過10-310-2的彈塑性變形。大變形可以劃分成若干小變形，由小變形疊加而來

14、。,小變形分析理論,一、小變形 1、正應(yīng)變 2、剪應(yīng)變,例題,工程剪應(yīng)變,剪應(yīng)變,設(shè),則,xy,yx,A,B,C,P,P1,A1,A1,C1,C1,A,B,C,P,P(P1),C,B1,A,C1,B1,xy,A1,C1,yx,xy,單元體在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變,這時，在,和,中已包含了剛體轉(zhuǎn)動。,設(shè)剛體轉(zhuǎn)動為,則有,yx,xy,xy,O,x,y,=,+,A,B,C,P,A,B,C,P,P,C,B,A,z,xy,xy,z,切應(yīng)變和剛性轉(zhuǎn)動,同理,剪應(yīng)變,剛體轉(zhuǎn)動,相對位移張量,一般情況下,變形張量,剛體轉(zhuǎn)動張量,小變形幾何方程,位移分量和位移增量,M(xi),u,w,M1,變形體內(nèi)無限接近兩點

15、 的位移分量及位移增量,如果MM平行于某X坐標(biāo)軸,M(xi),u,w,M1,位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系,xy,yx,d1,1,d,b(x, y+dy),ub,u+ub,b1,b2,c,C1,C2,+c,u,0,x,y,小變形幾何方程,同理得,因而工程切應(yīng)變?yōu)?則切應(yīng)變?yōu)?同樣，單元體在可得單元體在yoz和zox 坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系,柱坐標(biāo)系下幾何方程：,球坐標(biāo)系下幾何方程：,1.物理意義：表示位移與應(yīng)變之間的關(guān)系； 2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點相對位移產(chǎn)生的應(yīng)變和變形體的剛性位移(平動和轉(zhuǎn)動）； 3.工程剪應(yīng)變和理論剪應(yīng)變,討論,4.應(yīng)變符號規(guī)定： 正應(yīng)變或線應(yīng)變 ( ); 伸長為正，縮短為負(fù)

16、； 剪應(yīng)變或切應(yīng)變（ ）; 夾角減小為正，增大為負(fù)； 5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。,5.5.2 變形連續(xù)方程,如已知一點的應(yīng)變，要根據(jù)幾何方程確定其三個位移分量時，六個應(yīng)變分量應(yīng)有一定的關(guān)系，才能保證物體的連續(xù)性。這種關(guān)系為變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。 從幾何方程可導(dǎo)出以下二組變形連續(xù)方程。,變形連續(xù)方程：,推導(dǎo)過程,同理得,上式表示在每個坐標(biāo)平面內(nèi) 應(yīng)變分量之間的關(guān)系,不同的坐標(biāo)平面中應(yīng)變之間,同理得,自動滿足連續(xù)方程（6個）,積分必須滿足全微分條件，變形才是協(xié)調(diào)的,討論,1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積； 2.

17、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應(yīng)變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定； 3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。,5.6 點的應(yīng)變狀態(tài),( i, j = x, y, z ),點的應(yīng)變狀態(tài)：指過某一點任意方向上的正應(yīng)變與切應(yīng)變的有無情況?？捎迷擖c截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化來表示。,表示成張量形式：,現(xiàn)求ab方向上的線應(yīng)變,下面求ab變形后的偏轉(zhuǎn)角,塑性變形體積不變條件,變形前,變形后,體積變化率,Poissons ratio,

18、When an object is under tensile stress, it usually gets longer and thinner hence, there is a negative strain in the direction perpendicular to the applied stress,since the two strains are always of opposite sign, Poissons ratio is always positive,彈性變形00.5,塑性變形=0.5,主變形，應(yīng)變張量，不變量，主剪應(yīng)變，最大剪應(yīng)變,1、主應(yīng)變 ：,只有,

19、其特征方程為,應(yīng)變張量不變量,主剪應(yīng)變,方向為與主應(yīng)變方向成,應(yīng)變莫爾圓，類似應(yīng)力莫爾圓,O3,O,O1,O2,1,2,3,12,13,23,應(yīng)變莫爾圓,1,2,3,1,2,3,3,1,c) 伸長類變形,b) 剪切(平面)類變形,a) 壓縮類變形,三種變形類型,應(yīng)變偏量，球面張量，八面體應(yīng)變，等效應(yīng)變,塑性變形,則,應(yīng)變偏張量 反映形狀變化,應(yīng)變球張量 反映體積變化,八面體應(yīng)變,等效應(yīng)變：（廣義應(yīng)變，應(yīng)變強度）,5.7 應(yīng)變增量,全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念 前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時的變形大小，稱作全量應(yīng)變。而增量應(yīng)變則是指變形過程中某一極短階段的無限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是

20、原始尺寸，而是變形過程中某一瞬間的尺寸。,速度分量和速度場,簡記為,速度場即是位移的函數(shù)又是時間的函數(shù),位移增量和應(yīng)變增量,速度分量,簡記,位移增量,可看成小應(yīng)變位移，形式上與小應(yīng)變幾何方程相同,x,y,z,du,u,0,簡記,應(yīng)變增量場,d表示應(yīng)變增量，不是微分號 無限小變形,單位時間的應(yīng)變,應(yīng)變速度（1/s）,5.8 應(yīng)變速度,例題,h=100mm,錘鍛,u,5.9 主應(yīng)變圖與變形程度表示,主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式：,變形體內(nèi)一點的主應(yīng)力圖與主應(yīng)變圖結(jié)合構(gòu)成變形力學(xué)圖。它形象地反映了該點主應(yīng)力、主應(yīng)變有無和方向。主應(yīng)力圖有9種可能，塑性變形主應(yīng)變有

21、3種可能，二者組合，則有27種可能的變形力學(xué)圖。但單拉、單壓應(yīng)力狀態(tài)只可能分別對應(yīng)一種變形圖，所以實際變形力學(xué)圖應(yīng)該只有23種組合方式。,變形力學(xué)圖,注意：變形程度表示,絕對變形量 指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量 相對變形 指絕對變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率 真實變形量 即變形前后尺寸比值的自然對數(shù),注意：應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性,相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似,概 念：應(yīng)力 研究面元ds上力的集度 應(yīng)變 研究線元dl的變化情況 內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力平衡微分方程 應(yīng)變應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程 彈性變形：相容方程 塑性變形：體積不變條件,差異性：,（ 泊松比）,等效應(yīng)力彈性

22、變形和塑性變形表達(dá)式相同 等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同 對于彈性變形： 對于塑性變形：,等效關(guān)系：,小 結(jié),1應(yīng)力分析 外力、內(nèi)力、應(yīng)力概念； 點的應(yīng)力狀態(tài)概念、描述方法與性質(zhì)；斜面應(yīng)力的確定；應(yīng)力張量定義；應(yīng)力不變量；主應(yīng)力圖；應(yīng)力張量分解； 應(yīng)力平衡微分方程。,2應(yīng)變分析 位移、位移增量、應(yīng)變、幾何方程； 點的應(yīng)變狀態(tài)概念、描述方法；任意方向上應(yīng)變的確定；應(yīng)變張量與不變量；特殊應(yīng)變；應(yīng)變張量分解； 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程概念與意義，塑性變形體積不變，變形力學(xué)圖； 應(yīng)變速度張量定義、意義； 應(yīng)變增量定義、意義，全量應(yīng)變與增量應(yīng)變關(guān)系。,討論：,平面變形問題的分析！,1、平面變形問題,某一方向

23、上沒有應(yīng)變，稱為平面變形。,設(shè)z方向上無應(yīng)變則=0,1,2,2,1,O,L(0,1),M(0,-1),0,x,y,純切應(yīng)力狀態(tài)及其應(yīng)力莫爾圓,在z方向上，,z方向上有無應(yīng)力？,平面變形時，與z軸垂直的平面始終不會傾斜和扭曲,z方向必為主方向,證明,平面塑性變形時,平面應(yīng)變只有三個獨立應(yīng)變分量,平面塑性變形時平衡方程,2、平面應(yīng)力狀態(tài),當(dāng),=,=,=0 ，i，j=x，y,=,根據(jù)應(yīng)力莫爾圓得,由于,則有：,O,切應(yīng)力順時針為正，逆時針為負(fù),AB=R=,=,OD+R=,OD-R=,R=,=,平面應(yīng)力狀態(tài)下的平衡方程為,5.10 金屬塑性變形過程和力學(xué)特點,基 本 假 設(shè),材料為均勻連續(xù)，且各向同性

24、； 體積變化為彈性的，塑性變形時體積不變； 靜水壓力不影響塑性變形，只引起體積彈性變化； 不考慮時間因素，認(rèn)為變形為準(zhǔn)靜態(tài)； 不考慮Bauschinger效應(yīng)。,單向拉伸時，材料由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)時的應(yīng)力值稱為屈服應(yīng)力或屈服極限，它是初始彈塑性狀態(tài)的分界點。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服怎樣表示？,2.11.1 概述,5.11 塑性條件方程,2.11.2 基本概念,（關(guān)心:多向應(yīng)力狀態(tài)下材料何時開始進(jìn)入塑性）,屈服準(zhǔn)則（塑性條件）：在不同應(yīng)力狀態(tài)下,變形體內(nèi)某點進(jìn)入塑性狀態(tài)并使塑性變形得以繼續(xù)進(jìn)行,各應(yīng)力分量與材料性能之間必須符合一定的關(guān)系，這種關(guān)系稱為屈服準(zhǔn)則,一般表示為:,式中C是與材料性質(zhì)有關(guān)

25、而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)的常數(shù),式(2-35),（2-35a）,討論：,質(zhì)點處于彈性狀態(tài),質(zhì)點處于塑性狀態(tài),在實際變形中不存在,質(zhì)點屈服部分區(qū)域屈服整體屈服,注意:材料進(jìn)入塑性變形狀態(tài)并開始發(fā)生塑性變形,必須是某一個連通域全部滿足塑性條件,某一個點進(jìn)入塑性條件宏觀上不發(fā)生塑性變形。,2.11.3 Tresca屈服準(zhǔn)則,定義：當(dāng)變形體（質(zhì)點）中的最大切應(yīng)力達(dá)到某一值K（剪切屈服強度）時，材料就發(fā)生屈服。,1864年，法國工程師屈雷斯加提出,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,式（-）,用主應(yīng)力表示時，則有：,當(dāng)有,約定時，則有：,如果不知道1、2 、3大小順序時，則 1- 2 =2K; 2- 3 =2K; 式(2-37) 3

26、- 1 =2K; 這三個式子中有一個滿足即進(jìn)入塑性變形狀態(tài)。,對于單向拉伸,則Tresca屈服條件為：,物理意義：材料處于塑性狀態(tài)時，其最大剪應(yīng)力是一不變的定值。該定值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。,思考：,式(2-37) 中的三個式子： 1- 2 =2K; 2- 3 =2K; 3- 1 =2K; 是否同時滿足Tresca屈服條件？為什么？,2.11.4 Mises屈服準(zhǔn)則,1913年，德國力學(xué)家米塞斯,=C 式（2-38）,數(shù)學(xué)表達(dá)式:,對于單向拉伸,則有：=1= s,C=s,物理意義:材料處于塑性狀態(tài)時,其等效應(yīng)力是一不變的定值,該定值只取決于材料在塑性變形時的性質(zhì),而

27、與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。,例題,一個兩端封閉的薄壁圓筒如圖所示，經(jīng)受的內(nèi)壓力為p=35Mpa， 薄壁圓筒平均半徑為r=300m，如果材料的屈服應(yīng)力s=700Mpa，根據(jù)Tresca屈服準(zhǔn)則，為了保證薄壁圓筒處于彈性變形狀態(tài)，筒壁最小厚度為多少？,2.11.5 兩種屈服準(zhǔn)則的比較,1.相同點 （1）都是與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)； （2）都與靜水壓力無關(guān)； （3）進(jìn)入塑性狀態(tài)，都為一固定常數(shù)。 2. 不同點 Mises考慮中間主應(yīng)力的影響 Tresca屈服準(zhǔn)則不考慮中間主應(yīng)力的影響,O1,O2,O3,3. 中間主應(yīng)力的影響,思考（注意 ） 的取值范圍？,結(jié)論:,代入Mises表達(dá)式,所以,所以將,中間主應(yīng)力影響系數(shù)

28、，其變化范為： 1， ,兩種屈服準(zhǔn)則表達(dá)式：,Tresca,Mises,結(jié)論:,2.11.6 屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá) .平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡 用主應(yīng)力表示平面應(yīng)力狀態(tài)（3=0）Mises屈方程為: 的,其中,是,的,的,圖2-38 兩向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服軌跡,這一橢圓（圖2-38）就是平面應(yīng)力狀態(tài)的Mises屈服軌跡，稱為Mises橢圓。,同樣（3=0），對于Tresa屈服準(zhǔn)則：,這一六邊形（圖2-38）就是平面應(yīng)力狀態(tài)的Tresca屈服軌跡，稱為Tresca六邊形。,由屈服軌跡可以得出：,應(yīng)力狀態(tài)是否處于塑性狀態(tài)；,接觸點兩個屈服準(zhǔn)則相同，即兩個主應(yīng)力相等時；,兩個屈服準(zhǔn)則相差數(shù)大的點為一個主應(yīng)

29、力等于另外兩個主應(yīng)力和的一半。,2. 三向應(yīng)力狀態(tài)的屈服表面：,一種應(yīng)力狀態(tài),引等傾線ON，,在ON上任一點，,過P點引直線，,OM表示應(yīng)力球張量，MP表示應(yīng)力偏張量,矢量,投影和,由此得,1,根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則,P點屈服時1,靜水應(yīng)力不影響屈服，所以，以O(shè)N為軸線,以 為半徑作一圓柱面，則此圓柱面上的點都滿足米塞斯屈服準(zhǔn)則，這個圓柱面就稱為主應(yīng)力空間中的米塞斯屈服表面。,圖2-37 主應(yīng)力空間的屈服準(zhǔn)則,由屈服表面可知：,屈服表面的幾何意義： 若主應(yīng)力空間中的一點應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點位于屈服表面，則該點處于塑性狀態(tài)；若位于屈服表面內(nèi)部，則該點處于彈性狀態(tài)。,同一母線上應(yīng)力偏數(shù)量都相等；,與

30、母線相垂直斜截面上的應(yīng)力球張量相等。,在主應(yīng)力光向，通過圓點并垂直于等傾線ON的平面稱為平面，,2.11.7 兩種屈服準(zhǔn)則的比較,1.相同點 （1）都是與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)； （2）都與靜水壓力無關(guān)； （3）進(jìn)入塑性狀態(tài)，都為一固定常數(shù)。,2. 不同點 Mises考慮中間主應(yīng)力的影響 Tresca屈服準(zhǔn)則不考慮中間主應(yīng)力的影響,3. 屈服軌跡的比較 （1）兩個屈服軌跡有六個交點，說明在這六個點上，兩 個屈服準(zhǔn)則是一致的。 （2）兩個軌跡不相交的部分，Mises橢圓上的點均在Tresca六邊形之外，這表明按Mises屈服準(zhǔn)則需要較大的應(yīng)力才能使材料屈服。 （3）兩個屈服軌跡差別最大的有六個點。,2.1

31、1.8、硬化材料的屈服準(zhǔn)則,以上所討論的屈服準(zhǔn)則只適用于各向同性的理想塑性材料。對于應(yīng)變硬化材料，可以認(rèn)為初始屈服仍然服從前述的準(zhǔn)則，產(chǎn)生硬化后，屈服準(zhǔn)則將發(fā)生變化，在變形過程的每一瞬時，都有一后續(xù)的瞬時屈服表面和屈服軌跡。,后續(xù)屈服表面（加載表面）的詳細(xì)討論涉及到一些相當(dāng)復(fù)雜的問題，目前只能提出一些假設(shè)，其中最常見的是“各向同性硬化”假設(shè)，即“等向強化”模型，其要點如下：,1）材料應(yīng)變硬化后仍然保持各向同性。 2）應(yīng)變硬化后屈服軌跡的中心位置和形狀保持不變。,因此，對應(yīng)于Mises 屈服準(zhǔn)則和Tresca 屈服準(zhǔn)則，等向強化模型的后續(xù)屈服軌跡在 平面上是一系列擴大且同心的圓和正六邊形，如圖2

32、-41。,屈服軌跡的形狀由應(yīng)力狀態(tài)函數(shù) 決定，而軌跡的大小取決于材料的性質(zhì)。因此，應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則可表示為：,對于硬化材料,應(yīng)力狀態(tài)有三種不同的情況：,1,1,1,作業(yè)：,推導(dǎo)對于平面變形及主應(yīng)力為異號的平面應(yīng)力問題的Tresca屈服條件。,塑性變形時應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程或物理方程。,6 Stresses x 6 Strains = 36 Components in relationship,9 Stresses x 9 Strains = 81 Components in relationship,5.12 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）,彈性變形時的應(yīng)

33、力應(yīng)變關(guān)系,虎克定律,廣義虎克定律,E：彈性模量Youngs modulus,：泊松比,剪切模量,簡記為,張量形式,比列及差比形式,Hookes law General state,矩陣形式,對于已知應(yīng)力求應(yīng)變，則無系數(shù)2，對于求能量時，有系數(shù)2以代替省略的3 個剪應(yīng)力、應(yīng)變量,令,則,上式對于塑性變形時，,則,彈性變形時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點,應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合 彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系 彈性變形時，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于0.5,塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點,體積不變，泊松比v=0.5 應(yīng)力

34、、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系 全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合 塑性變化不可逆無單值一一對應(yīng)關(guān)系與加載路徑有關(guān) 對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高,幾種簡化模型(simplified models for plastic stress-strain),增量理論,又稱為流動理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時，應(yīng)力與應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間關(guān)系的理論。,1、Levy-Mises理論,材料是剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量 材料符合Mises屈服準(zhǔn)則 每一加載瞬時，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合 塑性變形時體積不變,材料是剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量

35、材料符合Mises屈服準(zhǔn)則 每一加載瞬時，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合 塑性變形時體積不變,0,y,應(yīng)變增量與應(yīng)力偏增量成正比,為瞬時的非負(fù)系數(shù)，加載時為變值，卸載時為0,Levy-Mises方程,差比形式,平面變形,應(yīng)力應(yīng)變速率方程,應(yīng)力應(yīng)變速率方程 ，又稱為Saint-Venant塑性流動方程,Prandtl-Reuss理論彈塑性增量方程,總應(yīng)變增量由彈、塑性兩部分組成,增量理論特點,Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的差別在于前者考慮彈性變形而后者不考慮 都指出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)變偏量之間的關(guān)系 整個變形由各個瞬時變形累加而得，能表達(dá)加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復(fù)

36、雜的加載情況 卸載時仍按虎克定律求解,S,O,面,平行于S沿著屈服表面的法線方向,1,2,3,4,O,x,y,復(fù)雜加載途徑,全量理論,簡單加載，各應(yīng)力分量按同一比例增加 小變形，和彈性變形屬同一數(shù)量級 應(yīng)力分量比例增加，中途不能卸載，因此加載從原點出發(fā)； 應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合 變形體不可壓縮 在上述條件下，無論變形體所處的應(yīng)力狀態(tài)如何，應(yīng)變偏張量各分量與應(yīng)力偏張量各分量成正比,初始應(yīng)力狀態(tài),C 變形過程中單調(diào)增函數(shù)，理想塑性材料，c為常數(shù),積分,漢基方程不考慮硬化，因此系數(shù)中的c為Const,則,令,由Prandtl-Reuss方程得,材料是剛塑性時1/2G=0,1924年漢基提出的,伊留辛

37、發(fā)展了漢基理論 小變形 簡單加載 剛塑性變形,塑性變形時,則有,與Mises方程，流動方程， 廣義Hook定律類似。,應(yīng)力應(yīng)變呈單一曲線，且呈冪函數(shù)形式,卸載問題,在卸載過程中彈性變形恢復(fù)，而塑性變形保持不變。,卸載至C點的殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?C,B,A,B,C,BC,BC,C,B,卸載應(yīng)力與應(yīng)變變化規(guī)律,0,加載,卸載,加載,卸載,A,C,O,O,a),b),非線形彈性體即應(yīng)變硬化塑性體加載與卸載規(guī)律,a)非線形彈性體,b)應(yīng)變硬化塑性體,應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律,塑性變形時，當(dāng)主應(yīng)力順序,不變，且應(yīng)變主軸方向,不變時，則主應(yīng)變的順序與主應(yīng)力順序相對應(yīng)，即,這種規(guī)律稱為應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系,順序?qū)?/p>

38、應(yīng)關(guān)系和中間關(guān)系統(tǒng)稱為應(yīng)力應(yīng)變對應(yīng)規(guī)律 其實質(zhì)是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷,中間關(guān)系,根據(jù)Levy-Mises方程,由于初始應(yīng)變?yōu)榱愕淖冃芜^程，可視為幾個階段組成，在時間間隔t1中，應(yīng)變增量為,在時間間隔t2中,在時間間隔tn中,由于主軸方向不變，各方向的應(yīng)變?nèi)浚倯?yīng)變）等于各階段 應(yīng)變增量之和，即,同理,所以,順序?qū)?yīng)關(guān)系得證,又根據(jù)體積不變條件,若變形過程中保持,同理可證明,應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系,5.13 變形抗力曲線與加工硬化,變形抗力曲線與等效應(yīng)力應(yīng)變曲線 等效應(yīng)力等效應(yīng)變曲線與數(shù)學(xué)模型 根據(jù)不同的曲線，可以劃分為以下若干種類型：冪函數(shù)強化模型、線性強化模型、線性剛塑性強化模

39、型、理想塑性模型、理想剛塑性模型 等效應(yīng)力的確定：非穩(wěn)態(tài)變形時等效應(yīng)力的求法；穩(wěn)態(tài)變形時等效應(yīng)力的求法,AZ80鎂合金的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,等效應(yīng)力的確定,在塑性加工力學(xué)的分析中，簡單起見，總是假設(shè)材料為理想塑性體，但實際材料總是有加工硬化。適當(dāng)?shù)乜紤]加工硬化，可以近似地應(yīng)用理想塑性體的分析結(jié)果。,1.穩(wěn)態(tài)變形時等效應(yīng)力的求法,穩(wěn)態(tài)變形特點是變形區(qū)大小、形狀、應(yīng)力與應(yīng)變分布不隨時間而變，如板帶軋制、管棒擠壓與拉拔等，但變形區(qū)內(nèi)各點的應(yīng)力與應(yīng)變不一樣，則等效應(yīng)力的取法有以下二種： （1） （2） 經(jīng)處理后，可以應(yīng)用理想塑性體的分析結(jié)果。,2非穩(wěn)態(tài)變形時等效應(yīng)力的求法,視變形為均勻變形，得到平均等效應(yīng)

40、變 的值，然后查材料的 曲線，找到與 相對應(yīng)的 作為平均等效應(yīng)力 。這樣就可以把問題當(dāng)作理想塑性問題來處理。,5.5 影響變形抗力的因素,化學(xué)成份的影響 變形溫度的影響 變形程度的影響 變形速度的影響,接觸摩擦的影響 應(yīng)力狀態(tài)的影響 組織結(jié)構(gòu)的影響,化學(xué)成分的影響,化學(xué)成分對變形抗力的影響非常復(fù)雜。一般情況下，對于各種純金屬，因原子之間相互作用不同，變形抗力也不同。同一種金屬純度愈高，變形抗力愈小。組織狀態(tài)不同，抗力值也有差異，如退火態(tài)與加工態(tài)，抗力明顯不同。,合金元素對變形抗力的影響，主要取決于合金元素的原子與基體原子間相互作用特性、原子體積的大小以及合金原子在基體中的分布情況。合金元素引起

41、基體點陣崎變程度愈大，變形抗力也越大。,化學(xué)成分的影響,碳：在較低溫度下隨鋼中含碳量的增加,鋼的變形抗力升高,溫度升高時影響變?nèi)?低溫時影響遠(yuǎn)大于高溫時. 氮：高強度低合金鋼中氮含量的變化一般太小，以致于不會引起熱變形抗力顯著改變，但氮可以通過如氮化鋁或氮化鈦等氮化物的形成而引起奧氏體晶粒細(xì)化，從而影響熱變形抗力。 置換式固溶元素：在置換型合金中使用的元素通過固溶強化、沉淀硬化和晶粒細(xì)化來達(dá)到強化目的，其強化方式同鋼在室溫下的強化方式相類似。Mn、Si、Cr、Ni。 復(fù)合添加:變形抗力提高。,不同變形溫度和變形速度下，含C量對碳鋼變形抗力的影響,靜壓縮，動壓縮,變形溫度的影響,由于溫度升高，金

42、屬原子間的結(jié)合力降低了，金屬滑移的臨界切應(yīng)力降低，幾乎所有金屬與合金的變形抗力都隨溫度升高而降低。但是對于那些隨溫度變化產(chǎn)生物理化學(xué)變化和相變的金屬與合金，則存在例外。,變形抗力隨溫度的變化情況： 1) 一類金屬:變形抗力,例：Cu 2) 另一類情況較復(fù)雜,如:鋼 溫度，屈服應(yīng)力，屈服延伸，至400消失。 300 ：抗拉強度，塑性。,不同溫度下鋼的拉伸曲線,回復(fù)溫度：（0.250.3）TM 再結(jié)晶溫度： 0.4TM 從絕對零度到熔點TM可分為三個溫度區(qū)間： 完全硬化區(qū)間：00.3TM 部分軟化區(qū)間：0.3TM0.7TM 完全軟化區(qū)間：0.7TM1.0TM 溫度越高和變形速度越小時，軟化程度越大

43、。,1)軟化效應(yīng)：發(fā)生了回復(fù)和再結(jié)晶,用中間停歇的反復(fù)載荷來拉伸Zn時的變形抗力變化,溫度升高，變形抗力降低的原因,a.250 b.300,c.350 d.400,AZ31鎂合金不同溫度下的應(yīng)力應(yīng)變曲線,變形溫度對流動應(yīng)力的影響很大，它是決定制件組織和力學(xué)性能的主要因素之一。加熱溫度對鎂合金的變形性能影響同樣很大，因為在加熱過程中，晶粒的形態(tài)、大小、組成相的比例等均發(fā)生變化，從而造成鎂合金的變形抗力和塑性發(fā)生較大的變化。從上圖可以明顯的看出，變形溫度和流動應(yīng)力之間的關(guān)系總體表現(xiàn)為：隨著變形溫度的升高，流動應(yīng)力呈下降趨勢。在應(yīng)變速率一定時，峰值應(yīng)力隨變形溫度的升高而降低。這是因為由于溫度的升高，

44、滑移系的臨界切應(yīng)力下降，導(dǎo)致其變形抗力降低；隨著溫度的升高，動態(tài)回復(fù)和動態(tài)再結(jié)晶越容易發(fā)生。,變形程度的影響,無論在室溫或高溫條件下，只要回復(fù)和再結(jié)晶過程來不及進(jìn)行，則隨著變形程度的增加必然產(chǎn)生加工硬化，使變形抗力增大，通常變形程度在30以下時，變形抗力增加顯著。當(dāng)變形程度較大時，變形抗力增加緩慢，這是因為變形程度的進(jìn)一步增加，晶格崎變能增加，促進(jìn)了回復(fù)與再結(jié)晶過程的發(fā)生與發(fā)展，也使變形熱效應(yīng)增加。,由AZ31鎂合金不同溫度下的應(yīng)力應(yīng)變曲線鎂合金的變形抗力隨著變形量的增大而下降，即表現(xiàn)出一定的應(yīng)變軟化行為。這種應(yīng)變軟化行為的原因與動態(tài)回復(fù)和動態(tài)再結(jié)晶有關(guān)。合金在熱變形期間均處于動態(tài)回復(fù)狀態(tài)，它能平衡一定的加工硬化效應(yīng)，提高工藝塑性。當(dāng)合金變形量達(dá)到一定程度，晶格畸變能增高，儲存能增多，則再結(jié)晶的驅(qū)動力也將增大，同時再結(jié)晶溫度降低，速度加快，動態(tài)再結(jié)晶成為軟化的主導(dǎo)機制，從而使得變形抗力下降。變形量的大小，還直接影響到制件變形后的組織狀態(tài)，因為變形后所獲得的組織和再結(jié)晶過程發(fā)展程度密切相關(guān)。同時，為了減小各向異性，必須有足夠的變形量，變形量不夠大