高等數(shù)學(xué)：D12_1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)新

1、無(wú)窮級(jí)數(shù),無(wú)窮級(jí)數(shù),無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具,表示函數(shù),研究性質(zhì),數(shù)值計(jì)算,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù),傅氏級(jí)數(shù),第十二章,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì),一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件,*四、柯西審斂原理,第一節(jié),第十二章,一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.,依次作圓內(nèi)接正,邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積 A .,設(shè) a0 表示,即,內(nèi)接正三角形面積,ak 表示邊數(shù),增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正,引例2. (神秘的康托爾塵集),把0,1區(qū)間三等分, 舍棄中,間的開(kāi)區(qū)間,將剩下的兩個(gè)子區(qū)間分別三等分,并舍棄,在中間的開(kāi)區(qū)間,如此反復(fù)進(jìn)行這種“棄中”

2、操作,問(wèn)丟棄部,分的總長(zhǎng)和剩下部分的總長(zhǎng)各是多少？,丟棄的各開(kāi)區(qū)間長(zhǎng)依次為,故丟棄部分總長(zhǎng),剩余部分總長(zhǎng),剩余部分總長(zhǎng)雖然為0, 但康托爾證明了其成員和實(shí)數(shù)“一樣多”, 它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上, 人們稱(chēng)其為康托爾塵集.,(此式計(jì)算用到后面的例1),引例3.,小球從 1 m 高處自由落下, 每次跳起的高度減,問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說(shuō)明道理.,由自由落體運(yùn)動(dòng)方程,知,則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為,( s ),設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間,(此式計(jì)算用到 后面的例1),少一半,定義：,給定一個(gè)數(shù)列,將各項(xiàng)依,即,稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，,其中第 n 項(xiàng),叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n

3、項(xiàng)和,稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.,次相加, 簡(jiǎn)記為,收斂 ,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù),并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和,記作,當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱(chēng)差值,為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .,顯然,例1. 討論等比級(jí)數(shù),(又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù)),( q 稱(chēng)為公比 ) 的斂散性.,解: 1) 若,從而,因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而,則部分和,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,其和為,2). 若,因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,因此,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),從而,綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;,時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .,則,級(jí)數(shù)成為,不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.,例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,解: (1),所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和

4、,(2),所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和,例3.,判別級(jí)數(shù),的斂散性 .,解:,故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為,二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù),收斂于 S ,則各項(xiàng),乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù),也收斂 ,證: 令,則,這說(shuō)明,收斂 , 其和為 c S .,說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .,即,其和為 c S .,性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù),也收斂, 其和為,證: 令,則,這說(shuō)明級(jí)數(shù),也收斂, 其和為,說(shuō)明:,(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則,必發(fā)散 .,但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.,例如,(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)

5、數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減 .,(用反證法可證),性質(zhì)3.,在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù),的斂散性.,證: 將級(jí)數(shù),的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為,數(shù)斂散性相同.,當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為,類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .,極限狀況相同,故新舊兩級(jí),所得新級(jí)數(shù),性質(zhì)4.,收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù),的和.,證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù),若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列,為原級(jí)數(shù)部分和,序列,的一個(gè)子序列,推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.,注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,但,發(fā)散.,因此必有,例如，,用反證法可證,例如,三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件,設(shè)收斂級(jí)數(shù),則必有,證:,可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .,例如,其一般項(xiàng)為,不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.,注意:,并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.,例如, 調(diào)和級(jí)數(shù),雖然,但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則,但,矛盾!,所以假設(shè)不真 .,例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:,解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù),發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散