高等數(shù)學：D9_2偏導數(shù)_新

1、第二節(jié),一、 偏導數(shù)概念及其計算,二 、高階偏導數(shù),偏 導 數(shù),第九章,一、 偏導數(shù)定義及其計算法,引例:,研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 ,就是,中的 x 固定于 x0 處,求,一階導數(shù)與二階導數(shù).,關(guān)于 t 的,將振幅,定義1.,在點,存在,的偏導數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設函數(shù),注意:,同樣可定義對 y 的偏導數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為,偏導數(shù) ,記為,或 y 偏導數(shù)存在 ,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對

2、 x 的,偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,偏導數(shù)定義為,(請自己寫出),注意：偏導數(shù)的記號是一個整體記號，不能看作分子與分母之商。,二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,對 y 軸的,函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點不一定連續(xù).,在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!,例1 . 求,解法1,解法2,在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).,先求后代,先代后求,例2. 設,證:,例3. 求,的偏導數(shù) .,解:,求證,偏導數(shù)記號是一個,例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證

3、:,說明:,(R 為常數(shù)) ,不能看作,分子與分母的商 !,此例表明,整體記號,二、高階偏導數(shù),設 z = f (x , y)在區(qū)域 D 內(nèi)存在偏導數(shù),若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導數(shù) .,按求導順序不同, 有下列四個二階偏導,數(shù):,類似可以定義更高階的偏導數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,偏導數(shù)為,例5. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導數(shù)及,例如,二者不等,例6. 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,

4、利用對稱性 , 有,方程,則,定理.,例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明:,本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導,數(shù)可以選擇方便的求導順序.,因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù),在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有,而初等,(證明略),定理.,證:令,則,則,又令,同樣,在點,連續(xù),得,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義; 記號; 幾何意義,函數(shù)在一點偏導數(shù)存在,函數(shù)在此點連續(xù),混合偏導數(shù)連續(xù),與求導順序無關(guān),2. 偏導數(shù)的計算方法,求一點處偏導數(shù)的方法,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏導數(shù)的方法,逐次求