2013高三數(shù)學第一輪總復習97用向量方法證明平行與垂直理新人教A版

1、9-7用向量方法證明平行與垂直(理)基礎(chǔ)鞏固強化1.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為側(cè)面CC1D1D的中心若zxy，則xyz的值為()A1B. C2D.答案C解析.xyz12.2若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的可能是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1，2,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3，1)答案B解析欲使l，應(yīng)有na，na0，故選B.3二面角l等于60，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，則CD的長等于()A.a B.a C2a Da答案C解析

2、如圖二面角l等于60，與夾角為60.由題設(shè)知，|a，|2a，|2|2|2|2|22224a2，|2a.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，則|c|()A5 B6 C. D.答案C解析a、b、c三向量共面，存在實數(shù)、，使cab，(4，5，x)(2，4，32)，x5，|c|.5已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E、F分別是BC、AD的中點，則的值為()Aa2 B.a2C.a2 D.a2答案C解析()()(a2cos60a2cos60)a2.故選C.6將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足，則|2的值為()A

3、. B2C. D.答案D解析由題意，翻折后ACABBC，ABC60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2012河南六市聯(lián)考)如圖，在平行四邊形ABCD中，0,2 2 24，若將其沿BD折成直二面角ABDC，則三棱錐ABCD的外接球的體積為_答案解析因為ABBD，二面角ABDC是直二面角，所以AB平面BCD，ABBC，ADDC.故ABC，ADC均為直角三角形取AC的中點M，則MAMCMDMB，故點M即為三棱錐ABCD的外接球的球心由222422224，AC2，R1.故所求球的體積為V.8(2011金華模擬)已知點A(4,1,3)，B(2，5,1)，C為線段AB上一

4、點且，則點C的坐標為_答案(，1，)解析C為線段AB上一點，存在實數(shù)0，使，又(2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，C(，1，)9.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E平面ABF，則CE與DF的和的值為_答案1解析以D1為原點，直線D1A1、D1C1、D1D為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，設(shè)DFt，CEk，則D1F1t，F(xiàn)(0,0,1t)，E(k,1,1)，要使B1E平面ABF，易知ABB1E，故只要B1EAF即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即

5、CEDF1.10.(2012天津調(diào)研)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.(1)求證：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一點E，使CE平面PAB？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由解析(1)證明：PA平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為PBA45.AB1，由ABCBAD90，易得CDAC，ACCD.又PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.(2)分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系P(0,0,1)，C(1,1,0)

6、，D(0,2,0)，設(shè)E(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.將y1代入，得z.E是PD的中點，存在E點使CE平面PAB，此時E為PD的中點.能力拓展提升11.二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45 C60 D120答案C解析由條件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，

7、120，所以二面角的大小為60.12在棱長為1的正方體AC1中，O1為B1D1的中點求證：(1)B1D平面ACD1；(2)BO1平面ACD1.證明建立如圖所示的空間直角坐標系，由于正方體的棱長為1，則B(1,0,0)，O1(，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，與不共線，平面ACD1，B1D平面ACD1.(2)0，平面ACD1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.點評第(2)問還可以通過證明(其中O為AC中點)證明13在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正

8、方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論解析(1)證明：PD底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，AD、DC、PD兩兩垂直，如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)ADa，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、P(0,0，a)、F(，).(，0，)，(0，a,0)0，即EFCD.(2)設(shè)G(x,0，z)，則(x，z)，若使GF平面PCB，則由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)a(z)0，得

9、z0.G點坐標為(，0,0)，即G點為AD的中點14(2011海口調(diào)研)在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等邊三角形，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60，E是AD的中點，F(xiàn)是PC的中點(1)求證：BE平面PAD；(2)求證：EF平面PAB；(3)求直線EF與平面PBE所成角的余弦值解析解法一：(1)E是AD中點，連接PE，AB2，AE1.BE2AB2AE22ABAEcosBAD41221cos603.AE2BE2134AB2，BEAE.又平面PAD平面ABCD，交線為AD，BE平面PAD.(2)取PB中點為H，連接FH，AH，AE綊BC，又HF是PBC的中位線，HF綊

10、BC，AE綊HF，四邊形AHFE是平行四邊形，EFAH，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)由(1)知，BCBE，PEBC，又PE，BE是平面PBE內(nèi)兩相交直線，BC平面PBE，又由(2)知，HFBC，HF平面PBE，F(xiàn)EH是直線EF與平面PBE所成的角，易知BEPE，在RtPEB中，EH，tanFEH，cosFEH.故直線EF與平面PBE所成角的余弦值為.解法二：容易證明EP，EA，EB兩兩垂直，建立空間直角坐標系Exyz如圖易求BEPE，則E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，因為F是PC的中點，則F(1，)(

11、1)010000，即EBEA，00000，即EBEP，EA，EP是平面PAD內(nèi)的兩相交直線，EB平面PAD.(2)取PB中點為H，連接FH，AH，則H(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)y軸平面PBE，z軸平面PBE，平面PBE的法向量為n(1,0,0)，(1，)，設(shè)直線EF與平面PBE所成角為，sin，cos，故直線EF與平面PBE所成角的余弦值為.15(2012遼寧理，18)如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，點M、N分別為AB和BC的中點(1)證明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC為直二面角

12、，求的值解析(1)連結(jié)AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB中點又因為N為BC的中點，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(2)以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系Oxyz，如圖所示設(shè)AA1，則ABBC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M(，0，)，N(，1)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量由得可取n(3，1，)因為AMNC為

13、直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.1在正三棱柱ABCA1B1C1中，H、F分別為AB、CC1的中點，各棱長都是4.(1)求證CH平面FA1B.(2)求證平面ABB1A1平面FA1B.(3)設(shè)E為BB1上一點，試確定E的位置，使HEBC1.解析在正三棱柱中，H為AB中點，CHAB，過H作HMAB交A1B1于M，分別以直線AB、HC、HM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(xiàn)(0,2，2)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，C1(0，2，4)(1)(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，與不共線，平面FA1B，HC平面FA1

14、B，HC平面FA1B.(2)平面ABB1A1的一個法向量為n1(0,2，0)，設(shè)平面FA1B的一個法向量n(x，y，z)，則令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面ABB1A1平面FA1B.(3)E在BB1上，設(shè)E(2,0，t)，(t0)，則(2,0，t)，(2,2，4)，HEBC1，44t0，t1，E是BB1上靠近B點的四等分點(或BEBB1)2如圖，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N、R分別是AB、PC、CD的中點求證：(1)直線AR平面PMC；(2)直線MN直線AB.解析證法1：(1)連接CM，四邊形ABCD為矩形，CRRD，BMMA，CMAR，又AR平面PMC，AR平面

15、PMC.(2)連接MR、NR，在矩形ABCD中，ABAD，PA平面AC，PAAB，AB平面PAD，MRAD，NRPD，平面PDA平面NRM，AB平面NRM，則ABMN.證法2：(1)以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)ABa，ADb，APc，則B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，M、N、P分別為AB、PC、CD的中點，M(，0,0)，N(，)，R(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，設(shè)，ARMC，AR平面PMC，AR平面PMC.(2)(0，)，(a,0,0)，0，MNAB.3(2012天津理，17)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)證明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長分析因為ACAD，PA平面ABCD，故以A為原點建立空間直角坐標系，寫出A、B、C、D、P的坐標(1)運用0證明PCAD；(2)先求兩平面APC與平面DPC的法向量夾角的余弦值，再用平方關(guān)系求正弦值；(3)將異面直線所成的角通過平移轉(zhuǎn)化成向量與的夾角，利用向量夾角公式列等式解析如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，