第11講一元二次方程

1、第11講 一元二次方程 本講重點：一元二次方程的解法及其應(yīng)用.【考點鏈接】1一元二次方程：在整式方程中，只含 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次項， 叫做一次項，叫做常數(shù)項； 叫做二次項的系數(shù)， 叫做一次項的系數(shù).2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接開平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接 的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項，配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，化原方程為的形式，如果是非負(fù)數(shù)，即，

2、就可以用 求出方程的解. （3）公式法：一元二次方程的求根公式是 （）. （4）因式分解法：因式分解法的一般步驟是：將方程的右邊化為 ；將方程的左邊化成兩個一次因式的乘積；令每個因式都等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解. 【典例探究】考點1 一元二次方程及其解的概念例1（1）（2012蘭州模擬）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）ABCD（2）（2012貴州安順）已知1是關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（）A1 B1C 0 D無法確定（3）（2012濱州模擬）若x=2是關(guān)于x的方程的一個根，則a的值為_ .解

3、析（1）A，由原方程，得x4+1=0，未知數(shù)的最高次數(shù)是4；故本選項錯誤；B，當(dāng)a=0時，即ax2+bx+c=0的二次項系數(shù)是0時，該方程就不是一元二次方程；故本選項錯誤；C，由原方程，得x2+x-3=0，符號一元二次方程的要求；故本選項正確；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有兩個未知數(shù)；故本選項錯誤故選C（2）根據(jù)題意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1故選B（3）把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得4-2-a2+5=0，解得：a=備考兵法對于方程ax2bxc0，只有當(dāng)a0時，才叫做一元二次方程.因此，如果明確指出ax2bxc0是一元二次方程，那就一定包括a0這個條件.例如：對于

4、方程(a-1)x2-bx+c0，當(dāng)a1時，方程是一元二次方程，當(dāng)a=1且b0時，方程是一元一次方程考點2 一元二次方程的解法例2（教材例題變式題）解下列方程：(1)； (2)x26x190；(3)3x24x1； (4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2.解析方程(1)用直接開平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了. (1)(1x)2，(x1)23，x1，x11，x21.(2)移項，得x26x19，配方，得x26x(3)219(3)2，(

5、x3)228，x32，x132，x232.(3)移項，得3x24x10，a3，b4，c1，x,x1.(4)移項，得y22y150，把方程左邊因式分解，得(y5)(y3)0；y50或y30，y15，y23.(5)將方程左邊因式分解，得(x3)5x(x1)0，(x3)(4x1)0，x30或4x10，x13，x2.(6)移項，得4(3x1)225(x2)20，2(3x1)25(x2)20，2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，(11x8)(x12)0，11x80或x120，x1，x212.備考兵法在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法，即能解任何一個一元二次方程.但

6、對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便，有的用因式分解法簡便.因此，在遇到一道題時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?配方法解一元二次方程是比較麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法.而在以后的學(xué)習(xí)中，會常常用到配方法，所以要掌握這個重要的數(shù)學(xué)方法.考點3 一元二次方程的應(yīng)用例3（2012山西）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓

7、利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？解析（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元 根據(jù)題意，得 （60x40）（100+20）=2240 化簡，得 x210x+24=0,解得x1=4，x2=6 答：每千克核桃應(yīng)降價4元或6元 （2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元 此時，售價為：606=54（元）， 答：該店應(yīng)按原售價的九折出售備考兵法列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題和分析題中的數(shù)量關(guān)系 (1)審題要弄清已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系 (2)分析等量關(guān)系時，從多角度來考慮注意：正確求解方程后要檢驗解的合理性【當(dāng)堂過關(guān)】1. （2012烏魯木

8、齊模擬）關(guān)于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一個根是0，則實數(shù)a的值為（）A、1B、0C、1D、1或1解析把x0代入方程得：|a|10，a1，a10，a1答案A2. （2012荊門）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是（）A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=16解析把方程x22x3=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x22x=3，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x22x+1=3+1，配方得（x1）2=4答案A3. （2012常德）若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.解析一元二次方程

9、有實數(shù)解，則0，然后再解不等式.答案B4. (2012蘭州)某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個面積為200平方米的矩形花圃，它的長比寬多10米，設(shè)花圃的寬為x米，則可列方程為()A x(x10)200 B 2x2(x10)200 C x(x10)200 D 2x2(x10)200解析花圃的長比寬多10米，花圃的寬為x米，長為(x10)米，花圃的面積為200，可列方程為x(x10)200答案C5. （2012成都）一件商品的原價是100元，經(jīng)過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是 ，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ） A B C D 解析根據(jù)題意得：.答案C6. （2012濱州）方程x（x2

10、）=x的根是 解析原方程可化為x（x2）x=0，x（x21）=0，x=0或x3=0，解得：x1=0，x2=3答案x1=0，x2=37. （2012蘭州模擬）關(guān)于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a0），則方程的解是 . 解析關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a0），則方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1 答案x1=4，x2=18. （2012常州模擬）已知關(guān)于x的方程x2+mx6=0的一個根為2，則m= ，另一個根是 解析根據(jù)題意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1；x2=3答案1,39

11、. （1）（2012無錫）解方程：x24x+2=0（2）（2012南京市模擬）解方程x24x1=0.解：（1）=42412=8，.（2）解法一：移項，得配方，得，由此可得，.解法二：，10. （2012湘潭）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2解：設(shè)AB=xm，則BC=（502x）m根據(jù)題意可得，x（502x）=300，解得：x1=10，x2=15，當(dāng)x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合題意舍去），答：可以圍成AB的長為15

12、米，BC為20米的矩形【浙江兩年中考】1. （2011年嘉興、舟山市）一元二次方程的解是（）（A）（B）（C）或（D）或解析一元二次方程的解是或.答案C2. （2011年衢州市）方程的解為_.解析.答案3. （2010年舟山市）已知x=2是一元二次方程（的一個根，則的值是 .解析把x=2代入方程（.答案4，04. （2012溫州）解方程：x2x=5.解：配方解得.5. （2012紹興）小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對課本“目標(biāo)與評定”中的一道思考題，進行了認(rèn)真的探索.【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點

13、B將向外移動多少米？（1）請你將小明對“思考題”的解答補充完整：解：設(shè)點B將向外移動x米，即BB1=x，則B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=而A1B1=2.5，在RtA1B1C中，由得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，點B將向外移動 米.（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題.解：（1）；0.8，2.2（舍去）；0.8.（2）不會是0.9米，理

14、由如下：若AA1=BB1=0.9，則A1C=2.40.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，該題的答案不會是0.9米.有可能.理由如下：設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，則有，解得：x=1.7或x=0（舍去）.當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時，點B向外也移動1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等.【命題趨勢提醒】一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型，題型有填空、選擇、解答中考對數(shù)學(xué)思想方法的考查一一元二次方程的實際應(yīng)用將進一步提高，一大批具有較強的時代氣息，格調(diào)清新、設(shè)計自然、緊密聯(lián)

15、系日常生活實際的應(yīng)用題將會不斷涌現(xiàn).【迎考精煉】一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選，多選，錯選均不給分）1. （2012張家界模擬）已知1是關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（）A、1B、1 C、0D、無法確定解析根據(jù)題意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1答案B2. （2012泰州模擬）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=2解析x2=2x，x22x=0，x（x2）=0，x=0或x2=0，x1=0，x2=2答案C3. （2012南昌）已知關(guān)于x的一元二次方

16、程x2+2xa=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A1 B1C D解析關(guān)于x的一元二次方程x2+2xa=0有兩個相等的實數(shù)根，=22+4a=0，解得a=1答案B4. （2012荊州模擬）將代數(shù)式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4解析x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5.答案C5. （2012湘西模擬）小華在解一元二次方程x2x=0時，只得出一個根x=1，則被漏掉的一個根是（）A、x=4B、x=3 C、x=2D、x=0解析x2x=0，x（x1）=0，：x1=0，x2=1，則被漏掉

17、的一個根是0答案D6. （2012包頭模擬）一元二次方程x2+x+=0的根的情況是（）A、有兩個不等的實數(shù)根B、有兩個相等的實數(shù)根C、無實數(shù)根 D、無法確定解析=b24ac=1241=0，原方程有兩個相等的實數(shù)根答案B7. （2012青海模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數(shù)解，則k的取值范圍是（）A、k4B、k4 C、k4D、k=4解析b24ac=4241k0，解得k4.答案B8. （2012廣東湛江）湛江市2009年平均房價為每平方米4000元連續(xù)兩年增長后，2011年平均房價達到每平方米5500元，設(shè)這兩年平均房價年平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（） A550

18、0（1+x）2=4000 B5500（1x）2=4000 C4000（1x）2=5500 D4000（1+x）2=5500解析2010年的房價為：4000（1+x），2011年的房價為：4000（1+x）2=5500答案D9. （2012黃石模擬）平面上不重合的兩點確定一條直線，不同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點最多可確定21條直線則n的值為（）A5B6C7D8解析設(shè)有n個點時，=21，解得n=7或n=6（舍去）答案C10. （2012蘭州模擬）某校九年級學(xué)生畢業(yè)時，每個同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出

19、方程為（ ）ABCD解析根據(jù)題意得：每人要贈送x-1張相片，有x個人，全班共送：（x-1）x=2070.答案A二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案填在橫線上）11. （2012銅仁）一元二次方程的解是 解析原方程可化為：（x3）（x+1）=0，x1=3，x2=1答案x1=3，x2=112. （2012達州模擬）已知關(guān)于x的方程x2mx+n=0的兩個根是0和3，則m= ，n= 解析根據(jù)題意，得，解得，答案3、013. （2012廣州）已知關(guān)于x的一元二次方程x22x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k值為 解析=（2）24k=0，124k=0，解得k=3答案314. （2012

20、恩施州模擬）解方程（x1）25（x1）+4=0時，我們可以將x1看成一個整體，設(shè)x1=y，則原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時，即x1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時，即x1=4，解得x=5，所以原方程的解為：x1=2，x2=5則利用這種方法求得方程 （2x+5）24（2x+5）+3=0的解為 .解析設(shè)y=2x+5，方程可以變?yōu)?y24y+3=0，y1=1，y2=3，當(dāng)y=1時，即2x+5=1，解得x=2；當(dāng)y=3時，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解為：x1=2，x2=1答案x1=2，x2=115. （2012寧夏模擬）某商場在促銷活動中，將原價36元的商品，

21、連續(xù)兩次降價m%后現(xiàn)價為25元根據(jù)題意可列方程為 解析等量關(guān)系為： 原價（1降低率）2=25，把相關(guān)數(shù)值代入即可答案36（1m%）2=2516. （2012濰坊模擬）已知線段AB的長為以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB取AB邊上一點E以AE為邊在AB的上方作正方形AKNM過E作EFCD垂足為F點若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等則AE的長為_解析設(shè)AE的長為x，則BE的長為a-x，根據(jù)題意得：x2=（a-x）a，解得：x= .答案三、解答題（本大題共6小題，共46分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程）17.（8分）（1）（2012安徽）解方程：；（2）（2012武漢模擬）解方

22、程：x2+3x+1=0.解：（1）（原方程化為：x24x=1,配方，得x24x+4=1+4,整理，得（x2）2=5,x2=,即，.（2）a=1，b=3，c=1，x=18.（8分）（1）(2012蘭州)已知x是一元二次方程x22x10的根，求代數(shù)式的值（2）（2012煙臺模擬）先化簡再計算：，其中x是一元二次方程的正數(shù)根. 解：（1）x22x10，x1x21，原式，當(dāng)x1時，原式（2）原式=. 解方程得得，.原式= .19.（6分）（2012珠海）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）當(dāng)m=3時，判斷方程的根的情況；（2）當(dāng)m=3時，求方程的根解：（1）當(dāng)m=3時，=b24ac=2243=80，原方程無實數(shù)根；（2）當(dāng)m=3時，原方程變?yōu)閤2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=0，x+3=0，x1=1，x2=320.（8分）（2012廈門模擬）已知關(guān)于x的方程x22x2n=0有兩個不相等的實數(shù)根（1）求n的取值范圍；（2）若n5，且方程的兩個實數(shù)根都