Matlab實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的控制

1、基于MATLAB的各類混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬 混沌是非線性系統(tǒng)所獨(dú)有且廣泛存在的一種非周期運(yùn)動(dòng)形式, 其覆蓋面涉及到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的幾乎每一個(gè)分支。1972年12月29日，美國(guó)麻省理工學(xué)院教授、混沌學(xué)開(kāi)創(chuàng)人之一E.N.洛倫茲在美國(guó)科學(xué)發(fā)展學(xué)會(huì)第139次會(huì)議上發(fā)表了題為蝴蝶效應(yīng)的論文，提出一個(gè)貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國(guó)得克薩斯州產(chǎn)生一個(gè)龍卷風(fēng)，并由此提出了天氣的不可準(zhǔn)確預(yù)報(bào)性。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？這是混沌在作怪！“混沌”譯自英語(yǔ)中“chaos”一詞，原意是混亂、無(wú)序，在現(xiàn)代非線性理論中，混沌則是泛指在確定體系中出現(xiàn)的貌似無(wú)規(guī)則的、類隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)?；煦绗F(xiàn)象是普遍的，就在我

2、們身邊，是與我們關(guān)系最密切的現(xiàn)象，我們就生活在混沌的海洋中。一支燃著的香煙，在平穩(wěn)的氣流中緩緩升起一縷青煙，突然卷成一團(tuán)團(tuán)劇烈攪動(dòng)的煙霧，向四方飄散；打開(kāi)水龍頭，先是平穩(wěn)的層流，然后水花四濺，流動(dòng)變的不規(guī)則，這就是湍流；一個(gè)風(fēng)和日麗的夏天，突然風(fēng)起云涌，來(lái)了一場(chǎng)暴風(fēng)雨。一面旗幟在風(fēng)中飄揚(yáng)，一片秋葉從樹(shù)上落下，它們都在做混沌運(yùn)動(dòng)。可見(jiàn)混沌始終圍繞在我們的周圍，一直與人類為伴。1.混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚無(wú)通用的嚴(yán)格的定義, 一般認(rèn)為,將不是由隨機(jī)性外因引起的, 而是由確定性方程(內(nèi)因)直接得到的具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為混沌。2. 相空間: 在連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)中, 用一組一階微分方程描述運(yùn)動(dòng)

3、, 以狀態(tài)變量(或狀態(tài)向量)為坐標(biāo)軸的空間構(gòu)成系統(tǒng)的相空間。系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)用相空間的一個(gè)點(diǎn)表示, 通過(guò)該點(diǎn)有唯一的一條積分曲線。3. 混沌運(yùn)動(dòng): 是確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。所謂軌道高度不穩(wěn)定, 是指近鄰的軌道隨時(shí)間的發(fā)展會(huì)指數(shù)地分離。由于這種不穩(wěn)定性, 系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為會(huì)顯示出某種混亂性。4. 分形和分維: 分形是 n 維空間一個(gè)點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì), 該點(diǎn)集具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu), 在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì), 具有小于所在空間維數(shù) n 的非整數(shù)維數(shù)。分維就是用非整數(shù)維分?jǐn)?shù)維來(lái)定量地描述分形的基本性質(zhì)。5. 不動(dòng)點(diǎn): 又稱平衡點(diǎn)、定態(tài)。不動(dòng)點(diǎn)是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取

4、的一組值, 對(duì)于這些值系統(tǒng)不隨時(shí)間變化。在連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中, 相空間中有一個(gè)點(diǎn), 若滿足當(dāng) 時(shí), 軌跡, 則稱為不動(dòng)點(diǎn)。6. 吸引子: 指相空間的這樣的一個(gè)點(diǎn)集 s (或一個(gè)子空間) , 對(duì)s鄰域的幾乎任意一點(diǎn), 當(dāng)時(shí)所有軌跡線均趨于s, 吸引子是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。7. 奇異吸引子: 又稱混沌吸引子, 指相空間中具有分?jǐn)?shù)維的吸引子的集合。該吸引集由永不重復(fù)自身的一系列點(diǎn)組成, 并且無(wú)論如何也不表現(xiàn)出任何周期性?；煦畿壍谰瓦\(yùn)行在其吸引子集中。8. 分叉和分叉點(diǎn): 又稱分岔或分支。指在某個(gè)或者某組參數(shù)發(fā)生變化時(shí), 長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)的類型也發(fā)生變化。這個(gè)參數(shù)值(或這組參數(shù)值)稱為分叉點(diǎn), 在分叉點(diǎn)處參數(shù)

5、的微小變化會(huì)產(chǎn)生不同性質(zhì)的動(dòng)力學(xué)特性, 故系統(tǒng)在分叉點(diǎn)處是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。9. 周期解: 對(duì)于系統(tǒng) , 當(dāng)時(shí),若存在 , 則稱該系統(tǒng)有周期解 。不動(dòng)點(diǎn)可以看作是周期為1的解, 因?yàn)樗鼭M足。10. 初值敏感性：對(duì)初始條件的敏感依賴是混沌的基本特征，也有人用它來(lái)定義混沌：混沌系統(tǒng)是其終極狀態(tài)極端敏感地依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)的系統(tǒng)。敏感依賴性的一個(gè)嚴(yán)重后果就在于，使得系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為變得不可預(yù)見(jiàn)。2.MATLAB中的龍格庫(kù)塔（Runge-Kutta）實(shí)現(xiàn)MATLAB（Matrix Laboratory）是MathWorks公司開(kāi)發(fā)的，目前國(guó)際上最流行應(yīng)用最廣的科學(xué)與工程計(jì)算機(jī)軟件之一。MATLAB 軟件以

6、矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算，可視化，程序設(shè)計(jì)等有機(jī)的融合在一起，具有出色的數(shù)值計(jì)算能力和強(qiáng)大的圖形處理功能。 基于RungeKutta法，MATLAB提供了求解微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式是： 其中fname 是定義的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。Tspan形式是t0,tf，表示求解區(qū)間，y0是初始狀態(tài)向量。這兩個(gè)函數(shù)分別采用“二階，三階RungeKutta法”和“四階，五階RungeKutta法”，并采用自適應(yīng)的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時(shí)采用較大的步長(zhǎng)，從而使計(jì)算速度很快，當(dāng)解的變化較快時(shí)步長(zhǎng)會(huì)自動(dòng)變小長(zhǎng)，從而使計(jì)算精度很高。在MATLAB中，一般選取四階的龍格庫(kù)塔方法。3.

7、Lorenz 混沌系統(tǒng) 美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorenz）于1963年在大氣科學(xué)雜志上提出第一個(gè)表現(xiàn)奇異吸引子的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。該混沌系統(tǒng)模型可以用下列微分方程組描述： 利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對(duì)上面微分方程求解，進(jìn)行數(shù)值模擬。首先建立M文件 Lorenz.m定義腳本函數(shù)，然后編程調(diào)用，其中x（1）表示x，x（2）表示y，x（3）表示z ，程序如下：function r=lorenz(t,x)global a;global b;global c;r=-c*(x(1)-x(2);a*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);b*(x(1)*x(2)-x(3);clear;global a;gl

8、obal b;global c;b=8/3;c=10;t0=0,100;f0=1,1,1；for a=10:30 t,x=ode45(lorenz,t0,f0); a subplot(3,1,1); plot(t,x(:,1),r,t,x(:,2),g,t,x(:,3),b); title(Lorenz 模型變量時(shí)域響應(yīng));legend(x,y,z); xlabel(t); subplot(3,1,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3); title(Lorenz模型相圖);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z); grid on; subplot(3

9、,1,3); plot(x(:,1),x(:,3); title(Lorenz模型XZ平面相圖); xlabel(x);ylabel(z); grid on; pause;end1. 固定參數(shù)b和c，設(shè)置初始值f0 和計(jì)算時(shí)間t0，通過(guò)改變參數(shù)a 可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)逐步進(jìn)入混沌狀態(tài)的過(guò)程。2. Lorenz 吸引子 當(dāng)a28時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)，此時(shí)出現(xiàn)雙渦旋吸引子，如下所示：3. 倍周期：通過(guò)系數(shù)的調(diào)試可以得到Lorenz混沌的一個(gè)單倍周期和兩個(gè)多倍周期，如下：4.初值敏感性： 保持初值x0和y0不變，即x0y01，改變z0為1.001，千分之一的變化會(huì)引起系統(tǒng)行為的顯著改變，如下圖所示：4.Rossler 混沌系統(tǒng)Rossler 系統(tǒng)是化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型，是非線性