復(fù)變函數(shù)的積分2014修訂版

1、第二章 復(fù)變函數(shù)的積分2.1 復(fù)變函數(shù)的積分1、復(fù)變函數(shù)積分的定義（和的極限，與實(shí)函數(shù)積分類(lèi)似）設(shè)復(fù)變函數(shù)在光滑或分段光滑的曲線(xiàn)上有定義，則沿的路線(xiàn)積分定義如下：把復(fù)數(shù)平面上的分為段，每段為而為該段上任取的一點(diǎn)，該點(diǎn)的函數(shù)為, 作和：當(dāng)時(shí)，每一個(gè)弦元如果這個(gè)和的極限存在，而且其值與各個(gè)的選取無(wú)關(guān)。則這個(gè)和的極限稱(chēng)為沿曲線(xiàn)從到的路積分。即：因?yàn)?，如果這兩個(gè)和式的極限都存在，則表示為積分復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)函數(shù)的線(xiàn)積分。因此復(fù)變函數(shù)積分也具有實(shí)變函數(shù)積分的某些性質(zhì)。2. 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)由積分定義可證明如下性質(zhì)（1），a是常數(shù)（2）（3）（4）（5），若曲線(xiàn)c上有，曲線(xiàn)c的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，

2、則，叫做 長(zhǎng)大不等式。例1 書(shū)上的例子，求：解：（注：）求解：令于是一般說(shuō)來(lái)，積分值不僅依賴(lài)于起點(diǎn)、終點(diǎn)。積分路線(xiàn)不同，其結(jié)果也不同。2.2 柯西定理1、單通區(qū)域的柯西定理（1）單通區(qū)域的定義（2）單通區(qū)域柯西定理Cauchy定理：如果函數(shù)在閉單通區(qū)域上解析，則沿上任一光滑或分段光滑的閉合圍線(xiàn)（也可是的邊界）的積分為零。即：證明：由于在上解析，即在此區(qū)域上處處可導(dǎo)，用可導(dǎo)的充要條件：，連續(xù)且滿(mǎn)足C-R方程。再應(yīng)用Green公式：，將回路積分變?yōu)槊娣e分，則上式變?yōu)椋鹤C畢。（根據(jù)Cauchy-Riemann方程，右端兩個(gè)積分中的被積函數(shù)均為0）（3）該定理可作些改變：如果在上解析，且在上連續(xù)。結(jié)論

3、依然正確。這里不要求在上解析，只要連續(xù)就可以。（4）推論：在單通區(qū)域上解析的函數(shù)的積分值只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，與積分路線(xiàn)無(wú)關(guān)。證明：在區(qū)域上取閉合線(xiàn)路積分，a與b分別是積分的起點(diǎn)與終點(diǎn)。由Cauchy定理有即這說(shuō)明解析函數(shù)在解析域上的積分只與起點(diǎn)a和終點(diǎn)b有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。（積分時(shí)可選擇便于計(jì)算的積分路線(xiàn)）2、復(fù)通區(qū)域的Cauchy定理（1）復(fù)通區(qū)域定義，見(jiàn)書(shū)，若所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析，即存在奇（讀其）點(diǎn)，作一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線(xiàn)把這些奇點(diǎn)挖掉而形成某種帶“孔”的區(qū)域，即所謂的復(fù)通區(qū)域。（2）境界線(xiàn)的正方向規(guī)定，見(jiàn)書(shū)，“正方向”是指當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總是在觀察者的左邊。即l的

4、逆時(shí)針?lè)较蚝椭Tli的順時(shí)針?lè)较蚴钦较?。?）復(fù)通區(qū)域Cauchy定理:如果是閉復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)。則有：式中為區(qū)域外境界線(xiàn)，諸為區(qū)域內(nèi)境界線(xiàn)，積分均沿著境界線(xiàn)的正方向。證明：（見(jiàn)書(shū)，嚴(yán)格按照書(shū)上的證明講解。）做割線(xiàn)連接內(nèi)外境界線(xiàn)，原來(lái)的復(fù)通區(qū)域變成了單通區(qū)域，而在這單通區(qū)域上是解析的，按單通區(qū)域的柯西定理將（2.2.3）式中求和項(xiàng)移到等號(hào)右邊，改寫(xiě)成：利用復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：改變積分方向，即有即沿內(nèi)外境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分相等?？偨Y(jié)：p26(1) 閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線(xiàn)積分為零，推論：在單連通區(qū)域中的解析函數(shù)f (z)的積分之值只依賴(lài)于起點(diǎn)與終點(diǎn)而與積分路徑無(wú)關(guān)。(2) 閉復(fù)通區(qū)

5、域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線(xiàn)正方向積分和為零，(3) 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分等于所有內(nèi)境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和。推論：在的解析區(qū)域內(nèi)，當(dāng)積分回路連續(xù)變形時(shí)，積分值不變。所謂“連續(xù)變形”是指閉合回路變形時(shí)不能跨過(guò)不解析的區(qū)域。例：計(jì)算積分 解：如不包圍點(diǎn)則根據(jù)Cauchy定理，如包圍點(diǎn)，則以為圓心，以為半徑作一小圓，于是在上，而（注意：積分號(hào)中均有箭頭，即沿內(nèi)外境界線(xiàn)的逆時(shí)針?lè)较蚍e分）2.3 不定積分若在單通區(qū)域上解析，則只跟起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而與路徑積分無(wú)關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，只與上限終點(diǎn)有關(guān)?？勺C明在上是解析的。，則稱(chēng)為的不定積分或原函數(shù)。證明：只須對(duì)上任一點(diǎn)證明就行了。

6、在區(qū)域上的任一點(diǎn)的鄰域取一點(diǎn)，則考慮：在時(shí)的極限。（上式最后結(jié)果是因?yàn)榻馕?，積分值與積分路徑無(wú)關(guān)。）注意到是與積分變量無(wú)關(guān)的定值，所以有：于是：當(dāng)時(shí)，由于的連續(xù)性，對(duì)于任給的正數(shù)，則有于是：由于可取任意小，故有極限，得：考慮到：于是得證。還可以證明：，即 路積分的值等于原函數(shù)的改變量。（可不講）上述可看出，當(dāng)知道函數(shù)的原函數(shù)，就可方便地求出的積分。須注意，在解析域原函數(shù)是單值函數(shù)。在有奇點(diǎn)存在時(shí)，而且能求出原函數(shù)的話(huà)，則原函數(shù)可能是多值函數(shù)。例：計(jì)算積分 （可先不講）解：（1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，由的原函數(shù)為，則求出此時(shí)，在復(fù)平面上解析，積分結(jié)果與積分路徑無(wú)關(guān)。（2）當(dāng)時(shí)，的原函數(shù)為，則：此情形下，

7、點(diǎn)為奇點(diǎn)。當(dāng)不同積分路線(xiàn)中間有奇點(diǎn)時(shí)，積分結(jié)果可能不同，主要表現(xiàn)在輻角項(xiàng)不同。b為了看清這點(diǎn)，令沿積分（相對(duì)于奇點(diǎn)是正向）沿積分的結(jié)果與上式相同。沿積分（相對(duì)奇點(diǎn)為反向）與不同。這是因?yàn)檫@兩條線(xiàn)中的包圍奇點(diǎn),二者正好相差。（3）當(dāng)時(shí)，是奇點(diǎn)，可積分值也與路線(xiàn)無(wú)關(guān)。依然成立。例2 見(jiàn)書(shū)上的例題：計(jì)算積分若回路l不包圍點(diǎn)，則被積函數(shù)在l所圍區(qū)域上是解析的，按照柯西定理，積分值為零。若回路l包圍點(diǎn)，分兩種情況討論（1）當(dāng)，被積函數(shù)為解析函數(shù)，積分值為零。（2）當(dāng)，f(z)的奇點(diǎn)為，由柯西定理推論可知，l可連續(xù)變形為以為圓心而半徑為R的圓周C，在C上，當(dāng)，則;當(dāng)，則解釋?zhuān)寒?dāng)，的原函數(shù)是單值函數(shù)，繞一周

8、，原函數(shù)的改變量為零。當(dāng)，的原函數(shù)是多值函數(shù)，當(dāng)限制在不含的一個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)時(shí)，就是把限制在某一個(gè)單值分支內(nèi)，繞一周后，改變量為零；當(dāng)逆時(shí)針繞一周，對(duì)應(yīng)于的不同單值分支，繞一周后，的改變量為?？偨Y(jié)起來(lái)：2.4 柯西公式1、定義若在閉單通區(qū)域上解析，為的境界線(xiàn)，為內(nèi)的任一點(diǎn)，則有柯西公式其中,積分路線(xiàn)沿l的正向。證明：看 這個(gè)結(jié)論給我們另一個(gè)提示：解析函數(shù)具有非常強(qiáng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。其意義是，如果函數(shù)在閉單通區(qū)域上解析，l為的境界線(xiàn)，它在B內(nèi)部的每一點(diǎn)的值都可以由它在邊界l上的積分值決定。在靜電學(xué)中有一個(gè)人們熟悉的與它等價(jià)的結(jié)果：假如實(shí)函數(shù)u (x,y)在某邊界上確定，且若，那么在邊界內(nèi)部任意一處的u值都可以確定，而一個(gè)解析函數(shù)是由一對(duì)這樣的調(diào)和函數(shù)構(gòu)成的。復(fù)通區(qū)域的柯西公式：在復(fù)通區(qū)域上f(z) 解析，顯然柯西公式仍然成立，只要將理解為所有境界線(xiàn)，并且其方向均取正向。2、Cauchy公式的幾個(gè)推論：（1）設(shè)在上解析，則在上的任意階導(dǎo)數(shù)均存在，且表示如下：式中，積分路徑為上包圍點(diǎn)的任意閉合回路。（