安徽省安慶市第二中學(xué)天成中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題文含解析

1、安徽省安慶市第二中學(xué)、天成中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題 文（含解析）一、選擇題（本題共12題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一個(gè)是符合題意的選項(xiàng)）1.已知集合a=，b=，則()a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】寫出集合a中的整數(shù)，然后與集合b取交集，得到答案【詳解】a=中整數(shù)有-1，0，1，2，所以故選b項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查集合交集運(yùn)算，屬于簡單題.2.已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，則的前6項(xiàng)和為a. b. c. 63d. 126【答案】d【解析】【分析】由已知求得，可得等比數(shù)列的首項(xiàng)為2 ，公比為2，再利用等比數(shù)列的前和公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，?/p>

2、以，則，等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為2，則的前6項(xiàng)和，故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的前和公式，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】利用特殊值，對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由于，排除b選項(xiàng).由于，函數(shù)單調(diào)遞減，排除c選項(xiàng).由于，排除d選項(xiàng).故選a.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知具體函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.4.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，則( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然

3、后再根據(jù)二倍角的余弦公式求出【詳解】為角終邊上一點(diǎn)，故選d【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義和倍角公式，考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況和轉(zhuǎn)化能力的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到圖像，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）a. 函數(shù)的最小正周期是b. 圖像關(guān)于直線對(duì)稱c. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減d. 圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】c【解析】分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性分別進(jìn)行判斷即可【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，對(duì)于,函數(shù)的最小正周期為，所以該選項(xiàng)是正確的； 對(duì)于，令，則為最大值，函數(shù)圖象關(guān)于直線，對(duì)稱是正確的；對(duì)于中，則，則函數(shù)在區(qū)間上先

4、減后增，不正確；對(duì)于中，令，則，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是正確的，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】通過三視圖的特點(diǎn),還原為三棱錐,然后計(jì)算三棱錐面積.【詳解】由三視圖可知三棱錐為如圖所示，在中,；在中,；在中,；在中,；故表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的還原問題以及三棱錐表面積的計(jì)算,關(guān)鍵是根據(jù)三視圖特點(diǎn)還原為三棱錐.7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的有，當(dāng)時(shí)，則a. 11b. 5c. d. 【答案】c【解析】【分析】可求得函數(shù)的周

5、期為6，則，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知解析式即可求得答案【詳解】，即函數(shù)的周期為6，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及奇偶性的綜合運(yùn)用、函數(shù)的求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力8.已知命題，命題，且,則()a. 命題是真命題b. 命題是假命題c. 命題是假命題d. 命題是真命題【答案】a【解析】【分析】先分別判斷命題與命題的真假，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】令，則易知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即；因此命題為真命題；由得；所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此，命題，且為假命題；所以命題是真命題.故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的邏輯連接詞，復(fù)合命題真假的判定，熟記判定方法

6、即可，屬于?？碱}型.9.設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，求出，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，是圓的直徑，在中，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10.九章算術(shù)中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.在塹堵 中，當(dāng)陽馬 體積為時(shí)，塹堵的外接球的體積的最小值（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)acx，bcy，由

7、陽馬ba1acc1體積，得到，結(jié)合基本不等式求得外接球半徑由此能求出外接球體積【詳解】設(shè)acx，bcy，由題意得x0，y0，又 體積為， 塹堵的外接球即以 為棱的長方體的外接球故 ，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，取等號(hào)，外接球的體積為 故選b【點(diǎn)睛】本題考查錐體體積的求法，考查外接球問題，結(jié)合基本不等式求解是關(guān)鍵，注意空間思維能力的培養(yǎng)11.已知圓：（），直線：，則“”是“上恰有不同的兩點(diǎn)到的距離為”的 （ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線距離d，比較d與r關(guān)系即可判斷【詳解】圓：（）圓心坐標(biāo)為 則圓心到直線距離為

8、所以當(dāng)時(shí)恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)到的距離為當(dāng)上恰有不同的兩點(diǎn)到的距離為時(shí)，滿足所以“”是“上恰有不同的兩點(diǎn)到的距離為”的充分不必要條件所以選a【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件的簡單應(yīng)用，屬于中檔題12.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】令，判斷其奇偶性單調(diào)性即可得出【詳解】令，則，在上為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，化為：，即，化為：，即，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是故選【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題二、填空題.共4小題，每小題

9、5分共20分，將答案填寫在答題卷的相應(yīng)區(qū)域，答案寫在試題卷上無效.13.周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為_【答案】15.5尺【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，能求出冬至的日影子長【詳解】從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，解得，冬至的

10、日影子長為15.5尺故答案為：15.5尺【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的首項(xiàng)的求法、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若實(shí)數(shù)，滿足，設(shè)目標(biāo)函數(shù)，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形找出最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最值【詳解】畫出實(shí)數(shù)，滿足表示的平面區(qū)域，如圖所示由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最??；由，解得，此時(shí)，由，解得，的最大值為8則的取值范圍為：故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意

11、直線截距幾何意義的應(yīng)用.15.已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由題意可得，且、不共線，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】向量，若與的夾角為鈍角，則，且、不共線，即，求得，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的夾角求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意考慮向量共線是不成立的.16.若函數(shù)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與叫交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)的圖象如圖：方程至多一個(gè)解，此時(shí)滿足，可得，當(dāng)時(shí)，即，令，可得，令，可得

12、，時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為，時(shí)，方程有兩個(gè)解，可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟，答案寫在試題卷上無效.17.已知角，為等腰的內(nèi)角，設(shè)向量，且，（1）求角；（2）在的外接圓的劣弧上取一點(diǎn)，使得，求及四邊形的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共線的條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式，求得角的余弦值，即可得答案；（2

13、）求出，由正弦定理可得，即可求出四邊形的面積【詳解】（1）向量，且，；（2）根據(jù)題意及（1）可得是等邊三角形，中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，四邊形的面積【點(diǎn)睛】本題考查向量共線條件的運(yùn)用、誘導(dǎo)公式、余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意將四邊形的面積分割成兩個(gè)三角形的面積和.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，得，

14、即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力19.如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）有中點(diǎn)一般尋找中位線找出平行的線，再由線面平行的判斷定理可證明線面的平行；（2）用等體積法求出體積，先證明線面垂直，進(jìn)而求出高，再求體積【詳解】（1）連接交于 由題意在矩形中可得為的中點(diǎn)，又圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，即為的中點(diǎn)，所以在中，為三角形的中位

15、線，所以， 平面，平面，面；（2）因?yàn)橛治坏闹悬c(diǎn)，又面面圓，面面圓，面圓，面，【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定定理、三棱錐的體積求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意等積法的應(yīng)用.20.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，焦距為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）（2）直線不存在見解析【解析】【分析】（1）據(jù)題意有，則通過計(jì)算可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可先假設(shè)直線存在，可設(shè)直線的斜率為，則直線根據(jù)及圓的性質(zhì)可知垂直平分再根據(jù)點(diǎn)到直線的

16、距離公式可得的關(guān)于的表達(dá)式，再解可得的關(guān)于的表達(dá)式然后聯(lián)立直線與橢圓方程，消去整理可得一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理有，根據(jù)弦長公式可得的關(guān)于的另一個(gè)表達(dá)式根據(jù)存在性則兩個(gè)表達(dá)式相等，如果值存在則直線存在；如果沒有值則直線不存在【詳解】（1）由題意，可知，則，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意，假設(shè)存在直線使得，可設(shè)直線的斜率為則直線，即點(diǎn)為線段中點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)，可知，且平分根據(jù)題意畫圖如下：則在中，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得：，消去，整理得則，整理，得很明顯矛盾，故直線不存在【點(diǎn)睛】本題考查直線、圓和橢圓三者綜合的問題、弦長公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力21.已知函數(shù).（1）設(shè)是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證.【答案】（1），見解析（2）見解析【解析】【分析】（1），根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值【詳解】（1），是的一個(gè)極值點(diǎn)，解得此時(shí)可得：，時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，令，時(shí)，函數(shù)取得極小值，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（1）證明：為鈍角三角形（2）若直線與直線平行，直線與拋物