whx第十五章傅里葉級(jí)數(shù)

1、第十五章 傅里葉級(jí)數(shù),1 傅里葉級(jí)數(shù),1 傅里葉級(jí)數(shù),首頁(yè),一、三角函數(shù)正交函數(shù)系,在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會(huì)碰到一 種周期運(yùn)動(dòng)。最簡(jiǎn)單的 周期運(yùn)動(dòng)，可用正弦函數(shù) 來(lái)描寫,1,由（1）所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中 為振幅， 為初相角， 為角頻率，于是簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的周期是,所以函數(shù)（2）的周期為 。對(duì)無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),的疊加,2,由于簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的周期為,較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng),若級(jí)數(shù)（3）收斂，則它所描述的是更為一般的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。 對(duì)于級(jí)數(shù)（3），只要討論 （如果 ， 可用 代替 ）的情形。由于 所以,記 則級(jí)數(shù)（3）可寫成,3,3,它

2、是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系） 1， ， ， ， ， ， ，,4,所產(chǎn)生的一般形式的三角函數(shù),容易驗(yàn)證，若三角級(jí)數(shù)（4）收斂，則它的和一定是一個(gè)以 為周期的函數(shù),8,定理 15.2 若在整個(gè)數(shù)軸上,且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式,9,10a,10b,證 由定理?xiàng)l件，函數(shù),在,逐項(xiàng)積分得,且可積。對(duì)（9）式,上連續(xù),由關(guān)系式（6）知，上式右邊括號(hào)內(nèi)的積分都等于零。所以,即得,現(xiàn)以,乘（9）式兩邊,為正整數(shù)），得,11,從第十三章1習(xí)題4知道，由級(jí)數(shù)（9）一致收斂，可推出級(jí)數(shù)（11）也一致收斂。于是對(duì)級(jí)數(shù)（11）逐項(xiàng)求積，有,由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以,為系數(shù),的那一項(xiàng)積分,外，其

3、他各項(xiàng)積分都等于0，于是得出,同理，（9）式兩邊乘以,并逐項(xiàng)求積，可得,若,是以,為周期且在,上可積的函數(shù)，則可按公式（10,和,它,計(jì)算出,們稱為函數(shù),關(guān)于三角函數(shù)系數(shù)）的傅里葉系數(shù),的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)（9）稱為（關(guān)于三角函數(shù)系,的傅里葉級(jí)數(shù)，記作,以,12,這里記號(hào)“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。由定理15.2 知道：若（9）式右邊的三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù),3 在補(bǔ)充定義,在,上那些至多有限個(gè)不存在點(diǎn)上的值后（仍記為,上可積。從幾何圖形上講，在區(qū)間,上按段光滑函數(shù)，是由有限個(gè)光滑弧段所,在,1,在,上可積,2 在,上每一點(diǎn)都存在,且有,13,組成，它至多有

4、有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)與角點(diǎn)（圖151,收斂定理指出，f的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x處收斂于這一點(diǎn)上 的左、右極限的 算術(shù)平均值 ；而當(dāng)在點(diǎn) x 連續(xù)時(shí)，則有,即此時(shí)f的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于 。于是有如下推論,推論 若f是以 為周期的連續(xù)函數(shù)，且在 上按段光滑，則 的傅里葉 級(jí)數(shù)在 上收斂于 。 根據(jù)收斂定理的假設(shè)，是以 為周期的函數(shù)，所以系數(shù)公式（10）中的積 分區(qū)間可以改為長(zhǎng)度為 的任何區(qū)間，而不影響 ， 的值,10,其中為任何實(shí)數(shù),注意 在具體討論函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式時(shí)，常只給出函數(shù) 在 （或 ）上的解析表達(dá)式，但應(yīng)理解為它是定義在整個(gè)數(shù)軸上以 為周期的函數(shù)。 即在 以外的部分按函數(shù)在 上的對(duì)應(yīng)關(guān)系作周期延拓。如 為 上的解析表達(dá)式，那么周期延拓后的函數(shù)為,如圖152所示。因此說(shuō)函數(shù)f的傅里葉級(jí)數(shù)就是指函數(shù) 的傅里葉級(jí)數(shù),例1 設(shè) 求的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式,解 函數(shù)及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收斂定理）， 它可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。由于,當(dāng) 時(shí),所以在開(kāi)區(qū)間 上,在 時(shí)，上式右邊收斂于,例2 把下列函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),解 f及其周圍延拓的圖形是按段光滑的，因此它可以展開(kāi)成傅里葉