全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計一等獎作品：35《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》

1、“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(第一課時)”教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版必修4第一章第三節(jié)，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式六，是三角函數(shù)的主要性質(zhì).學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一和任意角的三角函數(shù)的定義，這節(jié)課在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合，成為一個整體.通過簡單問題的提出、誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)、問題的解決，體會由未知到已知的轉(zhuǎn)化，為以后的三角函數(shù)求值、化簡、簡單證明以及后

2、續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)等知識打好基礎(chǔ)誘導(dǎo)公式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求090角的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用. 誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系，是定義的延伸與應(yīng)用，在本章中起著承上啟下的作用.本節(jié)課的重點是誘導(dǎo)公式的探究，運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單函數(shù)式的求值與化簡，提高對數(shù)學(xué)知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的認(rèn)識，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要的方法以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，

3、使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用它們. 二、教學(xué)問題診斷分析在教師的組織和引導(dǎo)下學(xué)生以自主探索、動手實踐、合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)中了解和體驗公式的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生領(lǐng)會到誘導(dǎo)公式是前面三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等知識的延續(xù)和拓展，應(yīng)用遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納推導(dǎo)公式.在教學(xué)中可能會遇到如下幾個問題：1在利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生認(rèn)為只要記住公式，會做題就可以，對公式的推導(dǎo)重視不夠.為了盡量避免這種情況的出現(xiàn)，我采用小組討論制，考慮到學(xué)生的個體差異，把“強”、“中”、“弱”合理搭配，安排組長監(jiān)管收集討論的結(jié)果，記錄收集每一階段

4、的過程材料.2角的任意性，怎樣向?qū)W生交代清楚是這節(jié)課我一直思考的問題.為了解決這個問題我自己利用幾何畫板制作教學(xué)課件，通過用角終邊的任意一點的拖動，顯示三角函數(shù)值在各個象限的變化，讓學(xué)生明白角不局限為第一象限的角，它具有任意性，從而突破了難點.3公式的記憶也是個難點.特別是十字口訣更是理解不深.對于幻燈片中的公式，教師對照幾何畫板課件逐字逐句的分析，讓其明白公式中的角是任意的，而記憶時將其看成銳角.另外，反思學(xué)習(xí)過程時，體會角的終邊的對稱性與三角函數(shù)值之間的關(guān)系也有利于公式的記憶.三、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式,會利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三

5、角函數(shù)式的求值與化簡.2.通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運用.3.培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納意識，學(xué)會用聯(lián)系的觀點看待問題.（二）目標(biāo)解析在初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過關(guān)于原點、x軸以及y軸對稱的點的坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系，并且前面學(xué)生能運用三角函數(shù)的定義和公式一進(jìn)行三角函數(shù)求值，但對于任意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系還不清楚，或者只有一點模糊的感性認(rèn)識數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)：“學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”所以，根據(jù)課程

6、標(biāo)準(zhǔn)、教材的特點、對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征及教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課采用了“問題發(fā)現(xiàn)歸納類比”的教學(xué)方法和“自主探究小組合作”的學(xué)習(xí)方式.由問題驅(qū)動，通過誘導(dǎo)公式二至四的探究，概括得到誘導(dǎo)公式的特點，提高對數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的認(rèn)識，理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)過程：1利用已有知識導(dǎo)出新的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到以舊拓新的目的.2由特例與30與30，與30的關(guān)系提出問題，啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們分析角的終邊對稱關(guān)系，利用定義進(jìn)行推導(dǎo)得到公式二，再利用多媒體動態(tài)

7、演示，使學(xué)生對“為任意角”的認(rèn)識自然合理.之后如法炮制公式三、四，通過聯(lián)想，類比、方法遷移，學(xué)生很輕松的發(fā)現(xiàn)公式，每小組積極發(fā)言并且通過實物展臺展示交流，發(fā)現(xiàn)任意角與，三角函數(shù)值的關(guān)系，體會了從特殊到一般的歸納推理過程，使學(xué)生的思維得到科學(xué)訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和創(chuàng)新能力.3采用問題設(shè)疑，觀察演示，步步深入，逐層引導(dǎo)，探究合作的教學(xué)方法，旨在讓學(xué)生充分感受和理解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程.在教師適時的啟發(fā)點撥下，學(xué)生在類比、歸納的過程中積極主動地去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律（公式），培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.通過引導(dǎo)學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)公式，將發(fā)現(xiàn)與證明合為一體，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.4通過例

8、1和變式，把誘導(dǎo)公式（一）、（二）、（三）、（四）的應(yīng)用進(jìn)一步拓廣，發(fā)展學(xué)生的思維能力和計算能力.例2的擴(kuò)展讓學(xué)生認(rèn)識到公式的實用性和學(xué)習(xí)的必要性.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計力求體現(xiàn) “問題性”、“科學(xué)性”與“思想性”，以多媒體為輔助手段，采用教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的啟發(fā)式與探究式相結(jié)合的方法，使學(xué)生快樂地學(xué)習(xí).3、 教學(xué)支持條件分析在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一，這些內(nèi)容是學(xué)生理解、歸納公式二至公式四的基礎(chǔ)，因此教學(xué)時應(yīng)充分注意利用這一有利條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.另外，信息技術(shù)的使用也為突破教學(xué)難點、啟發(fā)學(xué)生思維、增加課堂容量提供了有力的支

9、持.五、教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)問題情境師生活動：教師提問，學(xué)生思考、回答，學(xué)生口述的同時，教師加以引導(dǎo)并用幻燈片展示問題1：（1）各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號是什么？（只討論正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函數(shù)的定義是什么？（3）公式一的內(nèi)容與作用是什么？問題2:已知如何求的值.教師引導(dǎo)：能否再把0360間的角的三角函數(shù)，化為我們熟悉的090間的角的三角函數(shù)問題呢？這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)和研究這樣的問題. 【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)舊知，為新知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).特別是各象限三角函數(shù)的符號，對于誘導(dǎo)公式記憶起關(guān)鍵作用.提出的新問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，激起學(xué)生們的興趣. (二)探索開發(fā)新結(jié)論教師引導(dǎo)：為了

10、解決以上問題，我們采用各個擊破的方法.首先看，如果我們知道一個任意角與()三角函數(shù)值的關(guān)系，問題就解決了.探究一：任意角與()三角函數(shù)值的關(guān)系.問題3：與 ()角的終邊關(guān)系如何？（互為反向延長線或關(guān)于原點對稱） 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2，則點P1與P2位置關(guān)系如何？（關(guān)于原點對稱）設(shè)點P1(x，y)，那么點P2的坐標(biāo)怎樣表示？（P2(x，y)）sin與sin()，cos與cos()，tan與tan()的關(guān)系如何？經(jīng)過探索，歸納成公式 -公式 二.【設(shè)計意圖】公式二的三個式子中，是第一個解決的問題，由于方法及思路都是未知的，所以采取教師引導(dǎo)，師生合作共同完成辦法通過腳手架式的層

11、層提問，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二，讓學(xué)生體驗證明猜想的樂趣，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.同時，試圖通過環(huán)環(huán)相扣的問題給學(xué)生傳遞“由宏觀到微觀考慮問題”的思維習(xí)慣，從而達(dá)到“授人以漁”的目的.后兩個均由學(xué)生類比討論完成學(xué)生活動：小組討論，代表發(fā)言交流問題4：公式中的角僅是銳角嗎？【設(shè)計意圖】課前提問的問題是以引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一般形式的角，有些同學(xué)肯定會有這樣的疑問，所以這個問題的解決好，就是突破難點的關(guān)鍵.引導(dǎo)學(xué)生互相討論，交流可以使學(xué)生記憶更深刻.師生活動：演示幾何畫板課件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相應(yīng)的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點，再讓學(xué)生觀察每一象限內(nèi)三角函

12、數(shù)值的符號和它們之間存在的對稱關(guān)系，從而驗證了猜想，使學(xué)生更好的理解了這個公式 【設(shè)計意圖】通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，從而總結(jié)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式類比第一個問題的解決方法，我們再來解決后面的兩個問題.觀察，由公式一知的終邊與的終邊相同，所以我們必須知道一個任意角與(-)三角函數(shù)值的關(guān)系.探究二：任意角與(-)三角函數(shù)值的關(guān)系.問題5：與()角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于x軸對稱) 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2點P1與P2位置關(guān)系如何(關(guān)于x軸對稱)設(shè)點P1(x，y)，則點P的坐標(biāo)怎樣表示？P2(x，y)sin與sin()，cos與cos() ，tan與tan()關(guān)系如何？經(jīng)過探

13、索，歸納成公式 -公式 三.【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主探究與合作交流，完成由角的終邊點的對稱性得到公式的過程，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)學(xué)生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們既動腦又動手，讓學(xué)生參與教學(xué)活動.讓學(xué)生體驗數(shù)與形的關(guān)系，嘗試自主探究的樂趣.教師引導(dǎo)：那，我們須知與()的三角函數(shù)值的關(guān)系，同學(xué)們繼續(xù)發(fā)揮聰明才智解決它吧！探究三：與()的三角函數(shù)值的關(guān)系問題6：與()角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對稱) 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點P1，P2點P1與P2位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對稱)設(shè)點P1(x，y)，則點P的坐標(biāo)怎樣表示？P2(-x，y)sin與sin()，cos與cos()

14、，tan與tan()關(guān)系如何？經(jīng)過探索，歸納成公式 -公式 四【設(shè)計意圖】與探究二的教法相同，學(xué)生分組討論，嘗試推導(dǎo)公式，教師巡視，及時反饋、矯正、講評采用合作學(xué)習(xí)有助于觀察的多種方式的呈現(xiàn)，通過學(xué)生多角度的觀察所得到結(jié)論的交流，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)規(guī)律（公式）的喜悅，激發(fā)學(xué)生更積極地去尋找規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律.同時讓學(xué)生感受到只要做個有心人，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并非難事. (三)總結(jié)概括新結(jié)論師生活動：為了更好的使學(xué)生們把自己的研究成果記憶牢靠，師生共同大聲朗讀這四組公式.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：公式二：公式三：公式四：說明：公式中的指使公式兩邊有意義的任意一個角問題7：你能用一句話概括公式一、二、三、四

15、嗎？為了讓學(xué)生更好的記憶公式，通過幻燈片展示，猜想驗證，如果把角看成銳角，分別位于第一、二、三、四象限，由課前提問各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號，學(xué)生可以試著敘述.師生活動：總結(jié)概括公式一、二、三、四：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.公式特點：“函數(shù)名不變，符號看象限”【設(shè)計意圖】逐步理解十字口訣含義，并且訓(xùn)練學(xué)生的概括能力. (四)鞏固應(yīng)用結(jié)論例1 求下列三角函數(shù)值：師生活動：學(xué)生板書，教師巡視，糾正錯誤（1）；（2）；（3）；（4）分析：先將不是0范圍內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為0范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導(dǎo)公式一）或先將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導(dǎo)公式化到范圍

16、內(nèi)角的三角函數(shù)的值.解：（1）（2）（3）（4）=問題8：用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是什么？（學(xué)生大膽說，互相討論）化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；化大于的正角的三角函數(shù)為0內(nèi)的三角函數(shù)；化0內(nèi)的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)變式：已知是第三象限的角且，求，（學(xué)生口答）【設(shè)計意圖】在得到誘導(dǎo)公式后，在此讓學(xué)生獨立去實踐解決問題，一般情況下，1、2小題都能很快解決，只是到了第3、4小題時，條件變化稍復(fù)雜一些，同學(xué)們就會出現(xiàn)思維障礙，需及時引導(dǎo)他們?nèi)ミM(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，在實踐中體會誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用，使任意一個角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，

17、從而為總結(jié)出解題的一般步驟埋下伏筆.變式是為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解公式中角的任意性而設(shè)立.例2 化簡（學(xué)生板書）解：，所以原式=變式：已知，求的值.【設(shè)計意圖】在例題的選取與設(shè)計上，主要體現(xiàn)“由易到難，由簡單到復(fù)雜，層層推進(jìn)”的想法，例1體現(xiàn)在求值上，例2主要體現(xiàn)在化簡上，使學(xué)生明白公示的應(yīng)用所在.變式需要利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行一下變形再求值，對于初學(xué)者有點難度，需要教師從旁指導(dǎo).練習(xí)是遞進(jìn)，體現(xiàn)化歸思想、整體思想、使學(xué)生思維得到鍛煉，體驗學(xué)習(xí)的樂趣，從而達(dá)到初步掌握知識應(yīng)用的目的.(五)課堂小結(jié)問題9 ：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲嗎？主要提示從以下三方面 （由學(xué)生完成）1四組誘導(dǎo)公式及公式的記憶方法2求任意角的三角函數(shù)的步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一0的三角函數(shù)用公式二或四銳角的三角函數(shù)上述過程體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想.3公式中的的任意性.【