線性方程組解題方法技巧與題型歸納

1、.線性方程組解題方法技巧與題型歸納題型一 線性方程組解的基本概念【例題1】如果1、2是方程組的兩個(gè)不同的解向量，則a的取值如何？解： 因?yàn)?、2是方程組的兩個(gè)不同的解向量，故方程組有無窮多解，r(A)= r(Ab)3，對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換： 易見僅當(dāng)a=-2時(shí)，r(A)= r(Ab)=23， 故知a=-2?！纠}2】設(shè)A是秩為3的54矩陣， 1、2、 3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，若1+2+23=（2，0，0，0）T, 31+2= （2，4，6，8）T,求方程組Ax=b的通解。解:因?yàn)閞(A)= 3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由4- r(A)= 1個(gè)向量構(gòu)成，又因?yàn)?/p>

2、（1+2+23）-（31+2） =2（3-1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基礎(chǔ)解系可以是（0，2，3，4）T, 由A （1+2+23）=A1+A2+2A3=4b知1/4 （1+2+23）是Ax=b的一個(gè)解，故Ax=b的通解是【例題3】已知1=（-9，1，2，11）T，2=（1，- 5，13，0）T，3=（-7，-9，24，11）T是方程組的三個(gè)解，求此方程組的通解。分析：求Ax=b的通解關(guān)鍵是求Ax=0的基礎(chǔ)解系，判斷r(A)的秩。解：A是34矩陣， r(A)3，由于A中第2，3兩行不成比例，故r(A)2，又因?yàn)?=1-2=（-10，6，-11，11）T, 2=2-3=

3、 (8,4,-11,-11)T是Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是4- r(A)2，因此r(A)=2，所以1+k11+k22是通解。總結(jié)：不要花時(shí)間去求方程組，太繁瑣，由于1-2，1-3或3-1，3-2等都可以構(gòu)成齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，1，2，3都是特解，此類題答案不唯一。題型2 線性方程組求解【例題4】矩陣B 的各行向量都是方程組的解向量，問這四個(gè)行向量能否構(gòu)成上方程組的基礎(chǔ)解系？若不能，這4個(gè)行向量是多了還是少了？若多了如何去掉，少了如何補(bǔ)充？解：將方程組的系數(shù)矩陣A化為行最簡形陣r(A)=2,n=5,因而一個(gè)基礎(chǔ)解系含有3個(gè)解向量1=（1，-2，1，0，0）T, 2=(1,-2,0

4、,1,0)T, 3=(5,-6,0,0,1)T,B矩陣的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中線性無關(guān)的行向量只有1，2行，故B中4個(gè)行向量不能構(gòu)成基礎(chǔ)解系，需增補(bǔ)3。題型3 含參數(shù)的線性方程組解的討論1.參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)r(Ab)，方程組無解；2.參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)，方程組有解，繼續(xù)討論（1）參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)n，方程組有無窮多解；（2）參數(shù)取哪些值時(shí)使r(A)=r(Ab)=n，方程組有唯一解。一、當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不等的線性方程組，只能用初等行變換求解；二、當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用下面兩種方法求解：1.初等行變換法2

5、.系數(shù)行列式法，系數(shù)行列式不等于0時(shí)有唯一解，可用克萊姆法則求之；系數(shù)行列式為0時(shí)，用初等行變換進(jìn)行討論?！纠}5】設(shè)線性方程組（1） 證明：若a1，a2，a3，a4兩兩不相等，則線性方程組無解；（2）設(shè)a1= a3 =k，a2=a4=-k(k0)，且已知1=（-1，1，1）T，2=（1，1，-1）T是該方程組的兩個(gè)解，寫出該方程組的通解。解（1）（Ab)對應(yīng)的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程組無解。（2）當(dāng)a1=a3=k，a2=a4=-k時(shí)，原方程組化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，2-1=（-2，0，2）T,是對應(yīng)導(dǎo)出組的非零解，即為其基礎(chǔ)解系，故非齊次組的通

6、解為X=c(2-1)+1。（c為任意常數(shù)。）題型4 線性方程組的公共解、同解問題情況1.已知兩具體齊次線性方程組，求其非零公共解：將其聯(lián)立，則聯(lián)立方程組的所有非零解，即為所求。【例題6】設(shè)如下四元齊次方程組（）與（） ，求：（1）方程組（）與（）的基礎(chǔ)解系；（2）方程組（）與（）的公共解。解：（1）（）的基礎(chǔ)解系為1=（-1，1，0，1）T，2=（0，0，1，0）T；同樣得（）基礎(chǔ)解系為3=（1，1，0，-1）T，4=(-1,0,1,1)T(2)將方程組和 聯(lián)立組成新方程組：將其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換得的基礎(chǔ)解系為（-1，1，2，1）T于是方程組與的公共解為 X=k（-1，1，2，1）T, k

7、取全體實(shí)數(shù)。情況2 . 僅已知兩齊次線性方程組的通解，求其非零公共解：令兩通解相等，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系式，即可求得非零公共解，簡言之，兩通解相等的非零解即為所求的非零公共解?！纠}7】已知齊次線性方程組與的基礎(chǔ)解系分別是1=（1，2，5，7）T,2=(3,-1,1,7)T，3=（2，3，4，20）T，1=（1，4，7，1）T， 2=（1，-3，-4，2） T。 求方程組與的公共解。解;顯然方程組與的通解分別為k11+k22+k33與11+22，令其相等得到 k11+k22+k33=11+22 即于是（k1,k2,k3,1，2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3

8、t/14, k2=4t/7, k3=0 ,1=t/2,2=t于是可得1，2的關(guān)系為1=t/2=2/2，將此關(guān)系式代入通解即為所求的公共解為11+22 =（2/2) 1+22 = （2/2) (1+22 )= （2/2) (3,-2 ,-1,5)T，= (3,-2 ,-1,5)T，其中 = 2/2為任意實(shí)數(shù)。情況3已知一齊次方程組的通解及另一具體方程組，求其非零公共解：常將通解代入另一方程組，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系，即求出通解中獨(dú)立的任意常數(shù)，再代回通解，即得所求的非零公共解。簡言之：已知的通解中滿足另一具體方程組的非零解即為所求的非零公共解。題型5 與AB=0有關(guān)的問題已知矩陣A，求矩陣

9、B 使AB=0，此類問題常將B按列分塊，B=(b1,b2,.bn)，將列向量bi視為Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一個(gè)基礎(chǔ)解系充當(dāng)所求矩陣B的部分列向量， B的其余列向量可取為零向量【例題8】設(shè)，求一個(gè)42矩陣B使 AB=0，且r(B)=2.解：由AB=0知，B的列向量均為Ax=o的解向量。顯然r(A)=2，未知量的個(gè)數(shù)是4，因而Ax=o的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)解向量，于是如果求出Ax=o的基礎(chǔ)解系，以其為列向量作矩陣即得所求的矩陣B。 為此對A進(jìn)行初等行變換得基礎(chǔ)解系1=（1，5，8，0）T,2=(0,2,1,1)T令B=(1,2) ,則B即為所求。題型6 已知基礎(chǔ)解系反求其齊次

10、線性方程組法1：解方程組法（1）以所給的基礎(chǔ)解系為行向量做矩陣B，（2）解Bx=0，求出其基礎(chǔ)解系；（3）以（2）中所得基礎(chǔ)解系中的向量為行向量作矩陣，該矩陣即為所求的一個(gè)矩陣A.法2：初等行變換法以所給的線性無關(guān)的向量作為行向量組成一矩陣B,用初等行變換將此矩陣化為行最簡形矩陣，再寫出Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，以這些基礎(chǔ)解系為行向量組成的矩陣，就是所求的齊次線性方程組的一個(gè)系數(shù)矩陣A，從而求出了所求的一個(gè)齊次線性方程組Ax=0.【例題9】 寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組。解：法1.令1=（2，-3，1，0）T，2=（-2，4，0，1）T，以1T 2T為行向量作矩陣，只需寫出Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)

11、解系1=（1,0,-2,2）T,2=(0,1,3,-4)T,則所求齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，所求的一個(gè)齊次線性方程組為Ax=0, 即法2 把所給通解改寫為由上式易知所求方程組有兩個(gè)自由未知數(shù)X3和x4和兩個(gè)獨(dú)立變量x1，x2，且對應(yīng)的方程組為 即題型7 抽象線性方程組求解1.已知系數(shù)矩陣A的秩，求Ax=0的通解: 為求Ax=0的通解，必先由A的秩明確一個(gè)基礎(chǔ)解系含多少個(gè)解向量，然后設(shè)法求出這些解向量?！纠}10】設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且R(A)=n-1，求線性方程組Ax=0的通解。解：X的維數(shù)為n，R(A）=n-1，故Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量，又因?yàn)锳的各元素之和為0，故非零向量1=（1,1,1）T滿足方程組Ax=0，因而1為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是通解為=k1(k為任意常數(shù))2.已知AX=b 的特解求其通解【例題11】