數(shù)學建模-村莊救火

1、村莊救火最佳選擇方案模型摘要本文建立一個村莊失火，隔山的另一村莊該如何做出選擇的模型，該模型主要通過比較火勢從失火地蔓延至隔山的另一村莊的最短時間與該村莊勞動力構(gòu)建防火隔離帶的時間大小，從而確定該選擇放棄村莊還是選擇構(gòu)建防火隔離帶。針對如何求火勢蔓延的總時間，我們把蔓延時間分為三個部分，第一部分是火勢從失火地蔓延到山腳的時間，這部分時間通過假設火勢蔓延速度不變，測量從失火地到山腳的距離即可比較容易求得。第二部分是火勢在山坡上蔓延的時間，對于此部分傳播我們假設火勢先沿上坡蔓延再在坡上蔓延最后沿下坡蔓延，這樣比較具有普遍性。所以這一部分我們又將火勢的蔓延分為三個小部分，分別求出火勢上坡蔓延的時間、

2、在坡上蔓延的時間以及火勢下坡蔓延的時間，由于火勢上坡蔓延的最高點和到達下坡蔓延的最高點是不定的，因此我們將此兩點假設出來，同時我們?nèi)∫粭l連續(xù)光滑且可微的曲線為其坡上的傳播路徑，通過泛函分析求得路徑方程，再根據(jù)王正非提出的林火蔓延速度計算方法分別求到火勢在上坡、坡上、下坡時的蔓延速度，從而得到火勢經(jīng)過山坡蔓延的總時間。第三部分是火勢經(jīng)過山坡后繼續(xù)蔓延至防火隔離帶的時間，這部分用第一部分所用的方法也可容易得到。這樣我們就得到了所要優(yōu)化的目標總時間并通過LINGO來求解。針對求村莊構(gòu)建防火隔離帶所需要的時間，我們設定了防火隔離帶的安全標準，根據(jù)每個勞動力單位時間內(nèi)構(gòu)建防火隔離帶的速度以及村莊中能參與

3、構(gòu)建防火隔離帶的勞動力人數(shù)，可以容易得到構(gòu)建安全的防火隔離帶所需的時間。 該模型主要引用了王正非的林火蔓延速度計算方法，忽略了風速及地表植被情況對火勢蔓延的影響，采用了具有普適性的求火勢蔓延到另一村莊的最短時間的方法，最終通過對火勢從失火地蔓延至隔山的另一村莊的最短時間與該村莊勞動力構(gòu)建防火隔離帶的時間比較，從而得到村莊救火的最佳選擇方案。 關鍵詞： 王正非林火蔓延速度公式 泛函分析 LINGO 普適性 村莊救火最佳選擇方案模型一、問題的提出某日A村莊失火，火勢向四周蔓延，B村莊為與A村莊相隔一座山的另一村莊，火勢極有可能經(jīng)過山后蔓延至B村莊，B村莊村民可以選擇放棄村莊，則會損失村莊所有的無法

4、帶走的財物，造成巨大經(jīng)濟損失，但能保證村民的人身安全，或者可以選擇在村莊周圍砍伐樹木構(gòu)建防火隔離帶，則能保住村莊的財物不受損失，但可能面臨無法在火勢蔓延至村莊前構(gòu)建成功安全的防火隔離帶導致村民的生命安全受到威脅的風險。村民們應該選擇哪種方案？二、問題假設1 A、B村莊間的平地上各處的干濕程度及植被類型及覆蓋情況相同.2 天氣狀況良好，無風無雨，即假定火在平地上蔓延的速度不變。3 山體可以近似為規(guī)則的圓錐體,山體底部為一個半徑為r的圓。三、符號說明P：為距A村莊較近的山腳的點；Q：為距B村莊較近的山腳的點；s1：A村莊距P點的距離；s2：B村莊距Q點的距離；r：山體底面半徑；h：山體高度；n：B

5、村莊能參與構(gòu)建防火隔離帶的勞動力人數(shù)；S1：每個勞動力單位時間內(nèi)構(gòu)建的防火隔離帶的面積；v1：火勢在平地上的蔓延速度；v2：火勢在上坡的蔓延速度；v3：火勢在山坡上蔓延的速度；v4：火勢在下坡的蔓延速度；t1：火勢蔓延至P所需時間；t2：火勢從P點蔓延至M點所需時間；t3：火勢從M點蔓延至N點所需時間；t4：火勢從N點蔓延至Q點所需時間；t5：火勢從Q點蔓延至達到安全標準的防火隔離帶處所需時間；T1：構(gòu)建防火隔離帶的時間；pi：圓周率；：坡度角；四、問題分析兩種方案都會有各自的優(yōu)勢及劣勢，選擇何種方案，主要取決于構(gòu)建防火隔離帶的時間與火勢蔓延至B村莊的時間的大小比較，因此若能在火勢蔓延至B村莊

6、之前成功地構(gòu)建出安全的防火隔離帶，則選擇構(gòu)建防火隔離帶既能保證村民財物損失最小，也能保證村民的人身安全不受威脅，相應的若火勢蔓延速度過快，導致村民無法成功構(gòu)建出安全的防火隔離帶，則為了保證村民的人身安全必須選擇放棄村莊。構(gòu)建防火隔離帶的時間與村莊能參與構(gòu)建防火隔離帶的勞動力及每個勞動力參與構(gòu)建防火隔離帶的速度成正比。而針對火勢蔓延的時間，忽略風速與植被覆蓋情況的影響，火勢在平地蔓延的速度不變，則在平地上火勢蔓延至山腳的時間及從另一側(cè)山腳蔓延至B村莊的時間易得。而火勢在山坡上的蔓延，可利用王正非提出的林火蔓延速度計算方法來得出火勢在山坡上的速度的變化，假定火勢傳至坡上某點M后，再沿某一路徑向山體

7、另一側(cè)傳播至N點后，沿坡向下傳播，此方法中由于M點與N點的不確定性，則火勢在山坡上的蔓延路徑具有普遍性，則火勢蔓延的最快路徑也一定包含在其中，因此此方法可以滿足要求。圖示見附錄一。五、模型的建立設防火隔離帶的安全標準為S，即在火勢蔓延到之前構(gòu)建的防火隔離帶面積達到S，則B村莊是安全的。B村莊能參與構(gòu)建防火隔離帶的勞動力人數(shù)為n，而每個勞動力在單位時間能構(gòu)建的防火隔離帶的面積為S1，則構(gòu)建防火隔離帶所需時間為。設靠近A村莊一側(cè)的山腳點為P點，靠近B村莊一側(cè)的山腳點為Q點，火勢從A村莊蔓延至P點所需時間為t1，火勢在上坡蔓延速度v2，火勢在下坡蔓延速度v4。以山體在水平面上的中心為坐標原點O，A、

8、B村莊連線為x軸（假定該連線經(jīng)過O點）建立空間直角坐標系，設M點的坐標為（0，y1，z1），N點的坐標為（0，y2，z2），則火勢從P點蔓延至M點所需時間為t2，而從N點蔓延至Q點所需時間為t4，火勢蔓延至Q點后沿平地繼續(xù)蔓延，則蔓延至達到安全標準的防火隔離帶所需時間為t5。修正王正非的林火蔓延速度計算方法，忽略風速及地表植被覆蓋情況的影響后，可得火勢在平地蔓延速度：v1，火勢在上坡蔓延速度：，火勢在下坡蔓延速度：，火勢從A村莊蔓延至P點所需時間：，火勢從P點蔓延至M點所需時間：，火勢從N點蔓延至Q點所需時間：，火勢從Q點蔓延至達到安全標準的防火隔離帶處所需時間：。下面計算從M點至N點的火勢蔓延速度及所需時間：假設在MN階段，火勢蔓延速度不變。設在弧MN上任一點滿足，則M點至N點的弧長為：。取弧MN上任一點做該弧的切線，即為該點的速度方向，與平面相交形成的夾角即令為坡度角，則火勢在該弧上蔓延的速度為，則火勢在弧MN上蔓延的時間為，整理得。于是，目標函數(shù)，經(jīng)整理得，其中限制條件為：五、模型求解略六、模型的評價與推廣該模型的最大優(yōu)點是在火勢在山坡上蔓延的處理，火勢在山坡上的蔓延軌跡無法確定，只能運用最普通的方法取點，這樣解出最小時間值從而確定點的具體取值。所得的結(jié)論與客觀事實能很好的吻合，從而