第三章力學(xué)位移和應(yīng)變分析

1、第三章 位移和應(yīng)變分析,主講教師：韓復(fù)興,吉林大學(xué),物體受到外力的作用時，物體內(nèi)各點與點之間有相對位移，因而物體的形狀和尺寸就會發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形,本章主要討論三個問題： 1.位移分量和應(yīng)變分量及其間的關(guān)系； 2.物體內(nèi)一點的應(yīng)變狀態(tài)分析； 3.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時應(yīng)變分量的表示公式，以 及主應(yīng)變和主方向； 4.無旋變形和等體積變形; 5.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,3-1 位移分量和應(yīng)變分量以及其間的關(guān)系,一.位移分量,物體受力后各點要發(fā)生位移，位移一般分為兩部分， 一部分是與物體變形相應(yīng)的位移，稱為相對位移； 另一部分是與物體變形無關(guān)的位移，稱為剛性位移,物體變形前，點M（x,y,z） 變形后,該點由原來位置移

2、至新的位置M(x,yz,稱為點M的位移,在x,y,z三軸上的投影u,v,w稱為該點的位移分量,符號規(guī)定：u,v,w與坐標(biāo)軸正方向一致為正，相反為負(fù),考慮外力作用下的兩種狀態(tài)： 平衡狀態(tài)：M點只隨位置變化，不隨時間變化；位移分量（u,v,w）只隨位置變化，不隨時間變化。 運動狀態(tài)： M點不僅隨位置變化，而且隨時間變化；位移分量（u,v,w）隨位置和時間變化而變化,本章僅考慮平衡狀態(tài),根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，物體上任一點M，當(dāng)物體變形后，都一一對應(yīng)于相應(yīng)的點M； 位移分量是點坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。即,由于運算的需要，假定位移分量具有連續(xù)到三階的偏導(dǎo)數(shù),二.應(yīng)變分量,分析物體內(nèi)一點的應(yīng)變狀態(tài)，在物體內(nèi)任一點取

3、出一個平行于三個坐標(biāo)平面的微分平行六面體（單元體）。設(shè)其三個棱邊的長度分別為dx,dy,dz,由小變形假設(shè)，此單元體各投影面的變形情況與此微分體的變形情況的差別是微小的； 因此，對于此微體，只要研究它在各個坐標(biāo)面上投影的變形就可以了,考察物體內(nèi)任意一微小線段 長度的相對改變 正（線）應(yīng)變 方向的相對改變 剪（角）應(yīng)變,變形包括： 1.各棱邊長度的變化（伸長或縮短）用正應(yīng)變表示 2.棱邊夾角的變化，用剪應(yīng)變表示,沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的正應(yīng)變分量為,剪應(yīng)變分量為微分各面間所夾直角的改變量。（用弧度表示,注意,即過物體內(nèi)某點所引沿x及y方向的線元間夾角的改變量,當(dāng)微分平行六面體各棱邊無限縮小而趨于

4、M點時,某點的應(yīng)變狀態(tài)可以由六個應(yīng)變分量來表示,三.應(yīng)變分量和位移分量間的關(guān)系,將微分平行六面體的應(yīng)變分量用該微體變形后在坐標(biāo)平面上的投影來表明,以在oxy平面上的投影為例，研究應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系,P點在x，y軸的位移分為,A，B兩點相應(yīng)的位移分量分是,按多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，略去二階以上的無窮小量，則A點和B點的位移分量分別為,一點的變形,線段的伸長或縮短,線段間的相對轉(zhuǎn)動,考察P點鄰域內(nèi)線段的變形,A,B,注：這里略去了二階以上高階無窮小量,PA的正應(yīng)變,PB的正應(yīng)變,P點的剪應(yīng)變,P點兩直角線段夾角的變化,整理得,幾何方程,說明,1,反映任一點的位移與該點應(yīng)變間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的

5、基本方程之一,3,以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù),利用微體在另外兩個坐標(biāo)面上的投影，可以求得其他應(yīng)變分量和位移分量之間的關(guān)系,此式稱為幾何方程，又稱柯西（Cauchy）方程,如果已知位移分量，由幾何方程求偏導(dǎo)數(shù)可以得到應(yīng)變分量 如果已知應(yīng)變分量，求位移分量比較復(fù)雜，積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定,應(yīng)變分量的符號規(guī)定： 正應(yīng)變： 正號的正應(yīng)變表示沿該方向伸長， 負(fù)號的正應(yīng)變表示沿該方向縮短,剪應(yīng)變： 正號表示沿兩個坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度減小， 負(fù)號表示沿兩個坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度增大,3-2 轉(zhuǎn)動分量 物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化,一、轉(zhuǎn)動分量,分析物體內(nèi)一點任一微分平行六面體

6、的變形，考慮六個應(yīng)變分量,但是剪應(yīng)變是相應(yīng)的兩個角的和,如果兩個角的和不變，則剪應(yīng)變就不變；但是兩個角可能相等，也可能不等，這樣變形的幾何形象（變位狀態(tài)）就不同,為了使變形的幾何形象表示完全，引入三個分量：轉(zhuǎn)動分量,研究物體內(nèi)任一點M附近的變形狀態(tài)，在M點處取立方微分體。 研究變形后立方微分體中對角線MQ繞z軸的轉(zhuǎn)角,r是對角線MQ繞z軸轉(zhuǎn)動的角度,同理，可以得到立方微分體中對角線MS及MT分別繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角公式,通常用兩倍的轉(zhuǎn)角表示,稱為轉(zhuǎn)動分量,故六個應(yīng)變分量和三個轉(zhuǎn)動分量可以使物體內(nèi)某點變形的幾何形象表示完全,二、物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化,設(shè)物體內(nèi)無限鄰近的兩點A和B,它們的坐標(biāo)

7、分別為,變形后，它們到A和B,若A點的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示,則B點的位移矢量用u,v,w表示,按多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，根據(jù)小變形假設(shè)，略去二階以上的微分項，可以得到,變形可以得到,利用矩陣表示,結(jié)論：與A點無限鄰近一點B的位移由三部分組成 1、隨A點的一個平動位移， 2、繞A點的剛性轉(zhuǎn)動在B點產(chǎn)生的位移， 3、由于A點鄰近單元體的變形在B點產(chǎn)生的位移,A,B,3-3 物體內(nèi)一點的應(yīng)變狀態(tài),問題： 1、求過此點任意方向微分線段的正應(yīng)變； 2、求過該點任意兩個方向微分線段間夾角的改變量。 （注意剪應(yīng)變的定義,一、求過A點沿N方向的任一微分線段AB的

8、正應(yīng)變,該微分線段在直角坐標(biāo)軸上的投影為,設(shè)A點的位移分量為u，v，w，則B點的位移為,物體變形后，微分線段AB變?yōu)锳B，則AB在坐標(biāo)軸上的投影為(B點的位移分量+AB的長度-A點的位移分量,設(shè)線段AB 的正應(yīng)變?yōu)?利用矩陣表示為,稱為應(yīng)變張量,二、求過A點的兩條任意方向微分線段間夾角的改變量,變形前夾角,變形后夾角,AB的方向余弦為,AC的方向余弦為,利用矩陣表示為,變形后夾角,夾角改變量為,矩陣表示,3-4 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換,與應(yīng)力分析相似，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時，物體內(nèi)一點對旋轉(zhuǎn)后新坐標(biāo)系的應(yīng)變分量，可以由原來的應(yīng)變分量來表示,將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過某個角度，得到新坐標(biāo)系,新老坐標(biāo)之間的關(guān)系為,l,m

9、,n表示新坐標(biāo)軸對原老坐標(biāo)軸的方向余弦,3-5 主應(yīng)變和主方向,過物體內(nèi)一點不同方向上的正應(yīng)變以及同一點兩垂直方向的剪應(yīng)變是不同的,問題：過該點是否存在這樣三個互相垂直的方向，使沿這三個方向的微分線段，在物體變形后只是各自改變了長度，而夾角仍保持為直角,我們可以證明存在此單元體； 我們把具有性質(zhì)的方向稱為該點應(yīng)變的主方向，或應(yīng)變主軸，此方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變,設(shè)AB表示物體內(nèi)一點沿A沿其主方向的微分線段，其方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳B,方向余弦為l,m,n,表示線段AB的正應(yīng)變，即主應(yīng)變,將式子變形可得,線段AB的方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳B,方向余弦為l,

10、m,n；一般來說，它們是不 相等的。 但是它們的偏離是由于單元體的剛性轉(zhuǎn)動所引起的,故（l,m,n）與（l,m,n）一致,此為應(yīng)變主方向應(yīng)該滿足的方程，方向余弦還應(yīng)該滿足,與應(yīng)力分析相似，采用分析主應(yīng)力的方法可以得出求主應(yīng)變的方程為,應(yīng)變狀態(tài)的特征方程,分別稱為第一、第二、第三應(yīng)變不變量,由應(yīng)變狀態(tài)的特征方程求德的三個根就是A點的三個主應(yīng)變,求主應(yīng)變的方向，即應(yīng)變主方向，將主應(yīng)變的結(jié)果帶入方程可以求出,當(dāng)已知主應(yīng)變時,求與主應(yīng)變所對應(yīng)方向余弦,兩式均除以,可以求出,同理，可以求出另外兩個主平面的方向余弦,主應(yīng)變與主方向之間的對應(yīng)關(guān)系,方程根的討論,必定為三個實根，證明方式同第二章證明應(yīng)力時相同

11、，采用反證法,特點,一點的應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)系選取無關(guān)，因此坐標(biāo)變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。 應(yīng)變不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn),應(yīng)力張量應(yīng)變張量 應(yīng)力不變量應(yīng)變不變量 主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性類似 各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的,公式比較,3-6 體積應(yīng)變,體積應(yīng)變：物體變形后單位體積的變化,用體積的相對變化（體積應(yīng)變）來反映物體內(nèi)任一點體積的變化,物體內(nèi)任一點M（x，y，z）附近取一個微分六面體，各棱邊長度為dx，dy，dz，其體積為,變形后，由于在線性應(yīng)變的情況下，剪應(yīng)變不會引起微分體各邊長度的改變，而剪應(yīng)變引起的體積改變?yōu)楦唠A微量，可以略去不記。 因此，研究體積改變

12、只考慮正應(yīng)變所產(chǎn)生的影響,變形前,變形后,即應(yīng)變的第一應(yīng)變不變量,一點的體積應(yīng)變等于位移場的散度,3-7 無旋變形和等體積變形位移矢量公式,考慮位移在物體所占空間各點的分布和變化的規(guī)律，引入位移場的概念,由場的概念定義位移場 如果在物體所占空間內(nèi)的每一點，都對于著大小和方向完全確定的位移，就稱在這個空間里確定了該位移的場，而這空間區(qū)域叫做位移場,用場論的觀點來分析位移,一、無旋變形 勢量場,如物體變形時，其中任一微小體積都不作剛性轉(zhuǎn)動，這樣的變形稱為無旋變形，即,如果連續(xù)體內(nèi)的位移場有一個標(biāo)量位，則位移場等于此標(biāo)量位的梯度,這種位移場稱為勢量場，或無旋場,證明,位移場是勢量場的必要充分條件是,

13、故證明了，如位移場是勢量場，則位移場的旋度等于零,如果位移場的旋度為零，則此位移場是勢量場,1,2,二、等體積變形 管量場,如物體變形時，其中任一微小體積的大小都不改變，即體積應(yīng)變?yōu)榱悖@樣的變形稱為等體積變形。在此情況下,如果連續(xù)體內(nèi)的位移場有一個矢量位,則位移場等于此矢量位的旋度,這種位移場稱為管量場或無源場,位移場是管量場的必要充分條件是,證明,1,故證明了，如位移場是管量場，則位移場的散度等于零,2,具體的求一組解的方法,對y積分可以得到,可以滿足上式,可以得到此方程的一組解,證明了由位移場的散度為零所決定的矢量位存在，但是解不是唯一的。 所以知道：如果位移場的散度為零，則此位移場是管

14、量場,三、位移矢量公式,一般情況下，物體變形時，其中任一微小體積既有體積改變，又作剛性轉(zhuǎn)動。 因此，相應(yīng)的位移場就是勢量場和管量場的迭加,即位移矢量可以分解為兩個分矢量， 第一個分矢量表示無轉(zhuǎn)動，而是純體積膨脹的位移，就是標(biāo)量位的梯度。 第二個分矢量表示沒有體積膨脹的純轉(zhuǎn)動的位移，就是矢量位的旋度,此為位移矢量公式,3-8 位移邊界條件,解決彈性力學(xué)問題，必須考慮邊界條件 力的邊界條件：物體表面上給定了面力， 位移邊界條件：物體表面給定的是位移,力的邊界條件給出了應(yīng)力和面力之間的關(guān)系,位移邊界條件是指當(dāng)物體變形時，相應(yīng)的位移函數(shù)在邊界上應(yīng)滿足的條件,如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界 位移邊

15、界用Su表示。 如果物體表面的位移,已知 邊界條件為,稱為位移邊界條件,設(shè)物體表面為S 位移已知邊界Su 面力已知邊界Ss,則 SSuSs,彈性體的整個邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。 任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。 面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問題,某些問題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。 不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數(shù)目不能超過或者少于3個，必須等于3個,位移邊界條件例題,彈性半空間上有一厚度為H的彈性層二者緊密相連，試寫出此半間與彈性層分界面上的位移邊界條件,3.

16、9 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,數(shù)學(xué)意義： 幾何方程6個應(yīng)變分量通過3個位移分量描述 力學(xué)意義變形連續(xù) 彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束,變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義 使3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾。 變形協(xié)調(diào)方程的物理意義 物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。 為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系,3.9 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,由連續(xù)性假設(shè)，物體在變形前后均是連續(xù)體，因此物體內(nèi)各單元體與單元體之間的變形必須相互協(xié)調(diào)；否則各單元體發(fā)生變形以后，就不能再組成一個連續(xù)體,位移分

17、量：u，v，w,應(yīng)變分量,幾何方程,例3-1 設(shè) ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解,顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件,考慮xy平面內(nèi)各應(yīng)變分量之間的關(guān)系,將幾何方程,作如下運算,顯然有,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（或相容方程,即： 必須滿足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量,考慮不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量之間的關(guān)系,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 圣維南 （Saint Venant）方程,3- 球?qū)ΨQ坐標(biāo)中的變形表達(dá)式,和應(yīng)力情況對應(yīng)，以彈性體的對稱點為坐標(biāo)原點，用球坐標(biāo)來分析；根據(jù)對稱性，所以點的位移均沿徑向方向，而且此位移只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)，不隨其余兩個坐標(biāo)，的變化而變化,可以導(dǎo)出球?qū)ΨQ問題的幾何方程,幾何方程的推導(dǎo),幾何方程的推導(dǎo),