matlab函數(shù)的極值與優(yōu)化

1、函數(shù)的極值與優(yōu)化,上機(jī)目的,上機(jī)內(nèi)容,MATLAB,2、會(huì)使用Matlab解決無約束最優(yōu)化問題,上機(jī)軟件,1、會(huì)使用Matlab求函數(shù)的極值,1、 Matlab中函數(shù)的輸入與調(diào)用,2、函數(shù)極值的求法,3、無約束最優(yōu)化問題,在Matlab中，函數(shù)是采用M文件的方式存儲(chǔ)的。 具體步驟如下： 1、新建一個(gè)M文件：通過點(diǎn)擊主窗口左上的新建按鈕。 2、輸入函數(shù)內(nèi)容： 例：函數(shù) f(x1,x2)=exp(X12+X2) 應(yīng)在M文件中輸入如下,一、自變量為數(shù)量形式的函數(shù)的輸入,第一節(jié) Matlab中函數(shù)的輸入與調(diào)用,注意： （1）、函數(shù)標(biāo)識(shí)關(guān)鍵字：function （2）、函數(shù)名：f1=f1 自變量: (x

2、1,x2,3）、函數(shù)表達(dá)式：a=exp(x12+x2) 函數(shù)表達(dá)式可以由多個(gè)式子組成。 （4）、給函數(shù)結(jié)果賦值：f1=a,3、存儲(chǔ)函數(shù)：點(diǎn)擊編輯窗口的保存按鈕。 注意:不要改變保存路徑，文件名稱必須和函數(shù)名稱一致。 4、函數(shù)的調(diào)用： 函數(shù)保存后，在命令窗口中即可調(diào)用該函數(shù)。 如求上述函數(shù)在x1=1,x2=2處的函數(shù)值，即可在命令窗口中輸入：f1(1,2) 其中 f1 為剛才所輸入的函數(shù)名,二、自變量為向量形式函數(shù)的輸入,例：函數(shù)f(x)=exp(x(1)2+x(2).其中x=(x(1),x(2),即x為一個(gè)二維向量。 此時(shí)的輸入與調(diào)用方式與數(shù)量時(shí)不同,1、輸入,2、調(diào)用： 此時(shí)自變量為向量，調(diào)

3、用格式為：f2(1,2) 或 x=1 2; f2(x) 即，自變量需采用向量形式輸入,3、實(shí)際運(yùn)行結(jié)果如下： f2(1,2) ans = 20.0855 x=1,2; f2(x) ans = 20.0855,Matlab中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為 fminbnd 1、此函數(shù)最簡(jiǎn)輸入格式為：x=fminbnd(f,a,b) 含義為：求函數(shù)f在區(qū)間a,b上的最小值點(diǎn)(自變量值). 2、對(duì)于最大值問題，需轉(zhuǎn)化為最小值問題來處理。 ( -f(x)在區(qū)間a,b上的最小值就是f(x)在a,b的最大值,第二節(jié) 函數(shù)極值的求法,一、一元函數(shù)極值的求法,3、常用格式x,fval=fminbnd(f,a,b).

4、結(jié)果中，fval為最小值，x為取到最小值的點(diǎn)。 例：Matlab命令： x,fval=fminbnd(x.2+3*x+1,-2,3) 含義是：求函數(shù)f(x)=x2+3*x+1在-2,3內(nèi)的最小值。 結(jié)果為 x = -1.5000 fval = -1.2500 注：此時(shí)函數(shù)很簡(jiǎn)單，故沒有使用M文件,多元函數(shù)的最小值問題，在Matlab中有2個(gè)經(jīng)常使用的函數(shù)： 1、fminsearch 2、fminunc,注意： （1）、在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先用M文件的形式存儲(chǔ)待求最值的函數(shù)，并且需以向量函數(shù)的形式表達(dá)； （ 2）、最大值問題需轉(zhuǎn)化為最小值問題,二、多元函數(shù)極值的求法,1）、此函數(shù)使用單純型

5、法搜索最值； （2）、使用格式： x,fval= fminsearch(f,x0) 其中f為待求最值的向量函數(shù)，x0為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。 例：fminsearch(f,1,2) 含義為：在x=1,2附近搜尋函數(shù)f的最小值,1、 fminsearch,例：求函數(shù)f(x,y)= -(x+y)+(x2+y2+1)在x=1,y=2 附近的最小值點(diǎn)。 解決步驟： 1、建立M文件，保存函數(shù)f； M文件內(nèi)容為： function f1=f1(x) a=-(x(1)+x(2); b=(x(1)2+x(2)2+1); f1=a+b; 2、調(diào)用fminsearch函數(shù)求最值. 在命令窗口中，輸入： x

6、0=1,2; x,fval=fminsearch(f1,x0) 3、輸出結(jié)果為： X = 0.5000 0.5000 fval =0.5000,1）、此函數(shù)與fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同，它使用牛頓法搜索最值，在效率上有所提高； （2）、使用格式與fminsearch類似： x,fval= fminunc(f,x0) 其中f為待求最值的向量函數(shù)，x0為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。 例：fminunc(f,1,2) 含義為：在x=1,2附近搜尋函數(shù)f的最小值,2、 fminunc,第三節(jié) 無約束最優(yōu)化問題,求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想,Matlab優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介,標(biāo)

7、準(zhǔn)形式,一、求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想,求解的基本思想 ( 以二元函數(shù)為例,5,3,1,連續(xù)可微,多局部極小,唯一極小 (全局極小,搜索過程,最優(yōu)點(diǎn) (1 1) 初始點(diǎn) (-1 1,1,1,4.00,0.79,0.58,3.39,0.53,0.23,2.60,0.18,0.00,1.50,0.09,0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,二、用Matlab解無約束優(yōu)化問題（舉例說明,其中（

8、3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解,常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）x，fval= fminbnd（.） （4）x，fval，exitflag= fminbnd（.） （5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.,解 在matlab命令窗口中輸入： f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖

9、語(yǔ)句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8,例2 對(duì)邊長(zhǎng)為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大,解,先編寫M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x,主程序?yàn)椋?x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval,運(yùn)算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為0.5米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2

10、立方米,命令格式為: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.） （4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch （5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearc

11、h（.,2、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題,標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X,3 fminunc為中型優(yōu)化算法的步長(zhǎng)一維搜索提供了兩種算法，由options中參數(shù)LineSearchType控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三次多項(xiàng)式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多項(xiàng)式插,使用fminunc和 fminsearch可能會(huì)得到局部最優(yōu)解,說明,fminsearch是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點(diǎn)說明,1 fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中 的參數(shù)LargeScale控制： La

12、rgeScale=on(默認(rèn)值),使用大型算法 LargeScale=off(默認(rèn)值),使用中型算法,2 fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由 options中的參數(shù)HessUpdate控制： HessUpdate=bfgs（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式； HessUpdate=dfp，擬牛頓法的DFP公式； HessUpdate=steepdesc，最速下降法,例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1,1、編寫M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2

13、*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入命令窗口中輸入: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x,3、運(yùn)行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10,例4 產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤(rùn)最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場(chǎng)上的銷量,2、基本假設(shè),1）價(jià)格與銷量成線性關(guān)系,2）成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系,3、模型建立,若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280, a21=0.2,a22

14、=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則 問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使 總利潤(rùn)z最大,為簡(jiǎn)化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70, 我們把它作為原問題的初始值,總利潤(rùn)為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,4、模型求解,1）. 建立M-文件fun.m: function f = fun(

15、x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2,2）. 輸入命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x,3）. 計(jì)算結(jié)果: x=23.9025 62.4977 z=-6.4135e+003 即甲的產(chǎn)量為23.9025,乙的產(chǎn)量為62.4977,最大利潤(rùn)為6413.5,1、求函數(shù) 在區(qū)間-10,10內(nèi)的最值？ 2、求函數(shù) 在區(qū)間-1,3內(nèi)的最值？ 3、某工廠要制作一個(gè)容積為100立方米的無蓋長(zhǎng)方體容器，問：怎樣制