安徽省安慶市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、安徽省安慶市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于 a. b. c. d.2.已知橢圓的離心率為,則實(shí)數(shù)等于a.2 b.2或 c.或6 d.2或83.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且在上取值的概率為0.8,則在(0,3)上取值的概率為 a.0.2 b.0.3 c.0.8 d.0.14.在等比數(shù)列中,且是和的等差中項(xiàng),則的公比為 a.2 b.3 c.2或3 d.65.在極坐標(biāo)系中,曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角分別為,則弦長(zhǎng)等于 a.1 b. c. d.26.已

2、知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線上的任意一點(diǎn),于,于,則等于 a.1 b. c. d.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 a. b. c. d.8.某村2014年的農(nóng)業(yè)年生產(chǎn)總值為2000萬(wàn)元,在2015年中,大力推進(jìn)綠色生態(tài)農(nóng)業(yè),預(yù)計(jì)以后每年的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值都比上一年增長(zhǎng)10%,現(xiàn)設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖計(jì)算預(yù)計(jì)農(nóng)業(yè)年生產(chǎn)總值首次超過(guò)3000萬(wàn)元的年份,那么圖中的處和最后輸出的結(jié)果應(yīng)是 a. b. c. d.9.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,且,則a.有最小值9 b.有最大值9 c.有最大值1 d.有最小值110.已知函數(shù)其中,設(shè)為的一個(gè) 零點(diǎn),若,則符合條件的的值有 a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.無(wú)

3、數(shù)個(gè)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,請(qǐng)將答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.若的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是,則實(shí)數(shù) 12.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是 13.已知命題函數(shù)的值域?yàn)?命題對(duì)任意的,不等式恒成立,若命題為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 14.若函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中的陰影部分的面積為 15.規(guī)定:坐標(biāo)軸繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)角,不改變坐標(biāo)軸的原點(diǎn)和長(zhǎng)度單位,只將兩坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度,這種坐標(biāo)軸的變換叫做坐標(biāo)軸的角旋轉(zhuǎn),簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)軸,將平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)軸得到新坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為和,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (把你認(rèn)為錯(cuò)誤的所有結(jié)論的序號(hào)都

4、填上)與軸垂直的直線轉(zhuǎn)軸后一定與軸垂直;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是當(dāng)時(shí),直線的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的直線方程是點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系是三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.16(本小題滿分12分)如圖所示,在平面四邊形中,.()當(dāng)時(shí),求的面積;()設(shè),記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式,并求出的最大值.17(本小題滿分12分)為美化環(huán)境,某小區(qū)物業(yè)計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)種植甲,乙,丙,丁四棵樹(shù)苗,受環(huán)境影響,甲,乙兩棵樹(shù)苗成活率均為,丙,丁兩棵樹(shù)苗成活率均為,每棵樹(shù)苗成活與否相互沒(méi)有影響.()若甲,乙兩棵樹(shù)苗中有且僅有一

5、棵成活的概率與丙,丁兩棵樹(shù)苗都成活的概率相等,求的值()設(shè)為最終成活的樹(shù)苗的數(shù)量,求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望值.18(本小題滿分12分)如圖所示,在四棱柱中,底面是梯形,側(cè)面為菱形,.()求證:;()若,點(diǎn)在平面上的射影恰為線段的中點(diǎn),求平面 與平面所成銳二面角的余弦值.19(本小題滿分13分)已知拋物線,四邊形內(nèi)接于拋物線,如圖所示.()若直線的斜率均存在,分別記為,求證:;()若直線的斜率互為相反數(shù),且弦軸,求證:直線與拋物線在點(diǎn)處的切線平行.20(本小題滿分13分)已知函數(shù).()若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;()若,設(shè)直線為函數(shù)的圖象在處的切線,求證:.21(本小題滿分13分

6、)已知數(shù)列滿足.()求證:對(duì)任意;()判斷數(shù)列的單調(diào)性,并說(shuō)明你的理由;()設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:當(dāng)時(shí),.2015年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題(理科) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345678910答案adbbcdabcb1.a【解析】，選.2.d【解析】顯然且.當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在軸上，則，解得；當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在軸上，則，解得，選.3.b【解析】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，所以.選.4.b【解析】設(shè)公比為，由已知， 得解得或，但不符合.選.5.c【解析】、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為 、，化為直角坐

7、標(biāo)為 、，故，選.6.d【解析】設(shè)，（，），根據(jù)題意可知，且. 所以 ，故.選.（注：也可用坐標(biāo)法或特殊位置法求解.）7. a【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示.選.8.b【解析】. 因?yàn)椋缘淖钚≌麛?shù)值為5.選.9.c【解析】因?yàn)?，所?又，所以，故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 選.10.b【解析】. 因?yàn)椋?，解?由知，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故，符合條件的的值有2個(gè).選.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上)11. ，【解析】，由，得，.12. ，【解析】由題意，可行域如圖所示，則 ， ，所以，故.13.，【解析】函數(shù)的值域?yàn)椋粚?duì)任意的，不等式恒

8、成立，所以若命題為真命題，則；的范圍為.14.，【解析】由圖可知，由得，又，得，由圖知， ，由，得 所以，陰影部分面積.15.（1），（2），（3），【解析】（1）因?yàn)檗D(zhuǎn)軸變換僅僅是坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，而直線并不隨著旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)誤；（2）點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)應(yīng)為，錯(cuò)誤；（3）時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是，錯(cuò)誤；（4）直角坐標(biāo)系中的直線，在坐標(biāo)系中傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故轉(zhuǎn)軸后的直線方程是，正確；（5）證明如下：設(shè)，則，正確.三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16（本題滿分12分）【解析】（）在中，根據(jù)余弦定理可得. 2分在中，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理可

9、得，. 的面積. 5分（）在中，由，得， 7分所以 9分因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值.從而的最大值為. 12分17（本題滿分12分）【解析】（）， 4分（）可取0、1、2、3、4= 7分的分布列為01234 9分+ . 12分18.（本小題滿分12分）【解析】解一：（）因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，又，所以 ，從而. 5分（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，由題意知平面.因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，故可分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示.設(shè)，由可知，所以，從而，. 所以 . 由可得，所以. 7分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得 取，則，所以. 9分又平面的法向量為，所以.故平面與

10、平面所成銳二面角的余弦值為. 12分解二：（）連接、，設(shè)交于點(diǎn)，連，如圖2所示.由，可得，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，圖2又根據(jù)菱形的性質(zhì)，所以平面，從而. 5分（）因?yàn)?，所以延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，且，.連接，則.過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，如圖3所示.因?yàn)?，所?由題意知平面，所以由三垂線定理得， 圖3故是平面與平面所成二面角的平面角. 8分易知，所以.在中，所以.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為. 12分19（本題滿分13分）【解析】 () 證明：設(shè)，第19題圖 ， 同理：，故 4分同理：，從而得證. 6分() 證明：由，有，設(shè)以為切點(diǎn)的切線斜率為，則其方程為，代入 ，得 得，而； 9分由若直線、的斜率互為相反數(shù)，則有 ，而點(diǎn)不在上，所以，直線平行于點(diǎn)處的切線. 13分20（本題滿分13分）【解析】（）由已知，由已知對(duì)恒成立， 故，對(duì)恒成立，得，為所求. 4分（）證明：，則函數(shù)在處的切線方程為當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，要證；即證 0 6分令設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，而 10分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)時(shí)，即有綜上， 13分21