完整版)高二導(dǎo)數(shù)講義

1、導(dǎo)數(shù)7【知識歸納】1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量 x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y =f (x0+ x) f (x0)，比 值丄 叫做函數(shù)y=f( x)在x0到x0+ x之間的平均變化率，即=x)一。如果當(dāng) x 0x yxx時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作xf(xo)或 y1 x 勺。(x0) = limx 0f(X。x)f(X)ox說明：(i函數(shù)f(X)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指x 0時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在xxx 0時，而 y是函數(shù)值的改變量，可以是零。點(diǎn)x 0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。由導(dǎo)數(shù)的

2、定義可知，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量y =f(x +x ) f (x )；(2)求平均變化率-y =f(X0x)f(X0).x;X(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x 0)=lim y。(2) x是自變量x在x0處的改變量,x 0 x2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(x0, f (x0)處的切線的斜率。也就(x 0 )。相應(yīng)地，切線方程為 y y0=f/sin x;函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x 0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f (x)在點(diǎn)p 是說，曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的斜率是 f(x0) (x x0)o3、 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：C 0；xn(ex)ex

3、；(ax)n 1nx ;(sin x) cosx ;(cos x)ax ln a ；ln xx lOga xTO4、兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1 :兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (或差)，III即：(u v) u v -法則2 :兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv) u v uv -若C為常數(shù)，(Cu) Cu Cu0 Cu Cu.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(Cu) Cu.法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積再除以分母的平方:,_uv

4、 uv = 2 vy| X = y形如 y=f （x ） 的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：1 U U， I x5、單調(diào)區(qū)間： 一般地，設(shè)函數(shù) y f （x） 在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果f（x）0，則f（x）為增函數(shù)；如果 f （x）0，則 f （x ）為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 f （x）0，則 f（x） 為常數(shù)；6、極點(diǎn)與極值： 曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè) 為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；7、最值 ：一般地，在區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)f（x）在a, b上必有最大值與最小值。 求函數(shù)？（x

5、）在（a，b）內(nèi)的極值; 求函數(shù)？（x）在區(qū)間端點(diǎn)的值？ （a）、？（b）； 將函數(shù)？ （x）的各極值與？（a）、？（b）比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值?！境Ｒ娋C合題方法導(dǎo)航】1、關(guān)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（若單調(diào)區(qū)間有多個用“和”字連接或用“逗號”隔開）,極值,最值；不等式恒成立；此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決：第一步：令 f （x）0 得到兩個根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題,常見處理方法有四種： 第一種： 變更主元 （即關(guān)于某字母的一次函數(shù)） 題型特征 （已知誰的范圍就把誰作為主元） ；第二種：分離變量求最值；第三種：關(guān)于二次函數(shù)的

6、不等式恒成立；第四種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征f （x） g（x）恒成立h（x） f（x） g（x） 0 恒成立；2、 已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍及函數(shù)與x 軸即方程根的個數(shù)問題；（1）已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常用方法有三種：第一種：轉(zhuǎn)化為恒成立問題即f（x） 0或f（x） 0在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立問題；用分離變量時要特別注意是否需分類討論（看是否在 0 的同側(cè)）,如果是同側(cè)則不必分類討論；若在 0 的 兩側(cè),則必須分類討論,要注意兩邊同處以一個負(fù)數(shù)時不等號的方向要改變呀！有時分離變量解不出來, 則必須用另外的方法；第二種：利用子區(qū)間（即子集思

7、想） ；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū) 間的子集；第三種：利用二次方程根的分布,著重考慮端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間的位置；特別說明：做題時一定要看清楚“在（ a,b ）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ a,b ）”,要弄清楚兩句話的區(qū)別；（2）函數(shù)與 x 軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖” （即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后 減再增”還是“先減后增再減” ；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組） ；主要看極大值和極小值與 0 的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可；3、函數(shù)的切線問題；問題

8、 1：在點(diǎn)處的切線,易求；問題 2：過點(diǎn)作曲線的切線需四個步驟； 第一步：設(shè)切點(diǎn),求斜率；第二步：寫切線（一般用點(diǎn)斜式） ；第三步：根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在切 線上得到一個三次方程；第四步：判斷三次方程根的個數(shù)；經(jīng)典題型分類解析【導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用】f (x)0，g (x)0，例1、求拋物線 y x2上的點(diǎn)到直線x y 20的最短距離.x 0時()f (x) 0, g(x) 0B.f (x)0, g (x) 0f (x) 0, g(x) 0D.f (x)0, g (x) 0已知P (- 1,1), Q(2?, 4)是曲線2 2y x上的兩點(diǎn)，則與直線 PQ平行的曲線y x的切線1、(福建)已知對任意

9、實(shí)數(shù) x，有f( x)f(x), g( x)g(x)，且 x 0時,則A.C.2、方程是y)1、設(shè)f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y f(x)和y f (x)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正3x 3在點(diǎn)(1,y扛圖4【利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性及極值問題】例1、當(dāng)x 0，證明不等式xln(1 x) x.1x例2、(全國高考)已知函數(shù)f (x) x3 ax2 x 1， a R .(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(U)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 2, 1內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.33【變式1】(全國高考)若函數(shù)x存2ax2 a ix 1在區(qū)間14上是減函數(shù)，在區(qū)間6,上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取

10、值范圍.【變式2】(浙江高考)已知函數(shù)f(x) x3 區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.2 _ (1 a)x a(a 2)x b (a, b R).若函數(shù) f (x)在練習(xí)1、利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：lnx x ex,x 0變式1:證明：1In x 1 x， x 1x 1變式 2:(理科)設(shè)函數(shù) f(x)=(1+x) 2 ln( 1+x)好有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.若關(guān)于x的方程f(x)=x 2+x+a在0，2上恰12、已知函數(shù)f (x) 1 x3 bx2 2x a， x 2是f (x)的一個極值點(diǎn).32(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(U)若當(dāng)x 1, 3時，f(x) a2

11、 恒成立，求a的取值范3圍.3、設(shè)函數(shù)f (x) ln(x a) x2,若當(dāng)x 1時，f (x)取得極值，求a的值，并討論f (x)的單調(diào) 性.4、設(shè) a 0， f (x) x 1 In2 x 2alnx(x 0).(I)令F(x) xf (x)，討論F(x)在(0，s)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;(n)求證：當(dāng) x 1 時，恒有 x ln2x 2alnx 1 .5、設(shè) f (x)2x2,g(x) ax 5 2a(a 0)。 x 1(1) 求f(x)在x 0,1上的值域；(2) 若對于任意xi 0,1，總存在xo 0,1,使得g(xo)f(xi)成立，求a的取值范圍【利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問

12、題】例1、(江西咼考)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yA.1 或-24x3和y ax2 15 x 9都相切，則a等于4257或-25 D .-或7644【變式】(遼寧高考)設(shè)P為曲線C : y x2 2x 3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0,-，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()41 1A.1，1B.1,0C. 0,1D .1，2 2綜合實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象可能為()2. 已知曲線S：y=3x x3及點(diǎn)P(2, 2),則過點(diǎn)P可向S引切線的條數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)33. C設(shè)S上的切點(diǎn)(

13、xo,y。)求導(dǎo)數(shù)得斜率，過點(diǎn)P可求得：(X。1)(X0 2)2 0.4. 函數(shù)y xcosx sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)().3 35(A)(，斗)(B)( ,2 )(C)(J5 )(D)(2 ,3 )2 2 2 25. y =2x3 3x2+a的極大值為6，那么a等于()(A)6( B)0(C)5(D)136. 函數(shù)f (x) = x 3x+1在閉區(qū)間-3 , 0上的最大值、最小值分別是 ()(A)1 , 1(B)3 , -17(C)1 , 17(D)9, 197. 設(shè)l 1為曲線y1=si nx在點(diǎn)(0 , 0)處的切線，12為曲線y2=cosx在點(diǎn)(一,0)處的切線，則I 1與1

14、2的夾角為28. 設(shè)函數(shù)f ( x)=x3+ax2+bx 1，若當(dāng) x=1時，有極值為1,則函數(shù) g(x)=x3+ax2+bx的單調(diào)遞減區(qū)間為19. (湖北)已知函數(shù) y f(x)的圖象在點(diǎn)M(1, f (1)處的切線方程是y x 2，貝V f (1) f (1)210.(湖南)函數(shù)f(x)12x x3在區(qū)間3,3上的最小值是 11 .(浙江)曲線yx3 2x2 4x 2在點(diǎn)(1, 3)處的切線方程是9 .已知函數(shù)32f (x) x ax b(a,b R)(I)若函數(shù)f (x)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率小于1,求證： 3 a .3 ；(n)若x 0,1 ,函數(shù)yf (x)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為k，試討論k g(x)，那么下列情形不可能 出現(xiàn)的是( )A. 0是f (x)的極大值，也是 g(x)的極大值B. 0是f (x)的極小值，也是 g(x)的極小值2 2tx 2t x t 1(x R, tC. 0是f(x)的極大值，但不是 g(x)的極值7.(全國一)曲線y13-x x在點(diǎn)41,4處的切線i與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(33