三角形的內(nèi)切圓和外接圓

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦三角形外接圓半徑的求法及應(yīng)用方法一：Rab/(2h)三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商。AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑求證 ABACAEAD證：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE， 則ABE90.EC， ABEADC90，RtABERtADC， ，ABACAEAD方法二：2Ra/SinA，a為A的對(duì)邊 在銳角ABC中，外接圓半徑為R。求證： 2RAB/SinC 證：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE， 則ABE90.AEAB/SinE CE，SinC SinE AEAB/SinC 2RAB/SinC 若C為鈍角，則SinCSin（180oC）

2、應(yīng)用一、已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的外接圓的半徑。例1已知：如圖，在A(yíng)BC 中，AC13，BC14，AB15，求ABC外接圓O的半徑r.分析：作出直徑AD，構(gòu)造RtABD.只要求出ABC中BC邊上的高AE，用方法一就可以求出直徑AD.解：作AEBC，垂足為E.設(shè)CEx,AC2-CE2AE2AB2-BE2，132-x2152-(14-x)2x=5,即CE5，AE12 Rab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABC外接圓O的半徑r為.例2 已知：在A(yíng)BC中，AB13，BC12，AC5，求ABC的外接圓的半徑R. 分析：通過(guò)判定三角形為直角三角形，易求得直角三角形外接圓的直徑等于斜邊。應(yīng)用

3、二、已知三角形的二邊長(zhǎng)及其夾角（特殊角），求外接圓的半徑。 例3 已知：如圖，在A(yíng)BC 中，AC2，BC3，C60，求ABC外接圓O的半徑R. 分析：考慮求出角的對(duì)邊長(zhǎng)AB，然后用方法一或方法二解題.解：作直徑AD，連結(jié)BD.作AEBC，垂足為E. 則DBA90，DC60，CAEDAB 90 6030 CEAC1，AE，AB=7R=ACAB/2AE=2x7/(2x)應(yīng)用三、已知三角形的一邊長(zhǎng)二角度或?qū)堑亩葦?shù)（特殊角），求它的外接圓的半徑。 用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103，求它的外接圓的半徑解從A作AMBC于M，則AD2MD2AM2AC2(MDCD)2即 52MD

4、272(MD3)2得R14，則ABC外接圓面積SR2196例5如圖3，已知拋物線(xiàn)yx24xh的頂點(diǎn)A在直線(xiàn)y4x1上， 求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)； ABC的外接圓的面積 解A(2，9)； B(1，0)； C(5， 0) 從A作AMx軸交于M點(diǎn)， 則BMMC3AM 9R5ABC外接圓面積SR225三角形內(nèi)切圓半徑r的求法1 SABC=1/2(a+b+c)rr=2SABC/(a+b+c)2 RtABC中,r=(a+b-c)/2三角形的內(nèi)切圓和外接圓【知識(shí)要點(diǎn)】1、三角形的外接圓 （1）過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，三條邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。三角形

5、的外心到各頂點(diǎn)的距離相等（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)，外接圓半徑(為斜邊長(zhǎng))2、三角形的內(nèi)切圓 （1）到三角形三條邊距離都相等的圓，叫三角形的內(nèi)切圓，三角形中，三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三條邊的距離相等，內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部 （2）若三角形的面積為，周長(zhǎng)為a+b+c,則內(nèi)切圓半徑為:，當(dāng)為直角三角形的直角邊，為斜邊時(shí)，內(nèi)切圓半徑或.3、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角等于它的對(duì)角注意：圓內(nèi)接平行四邊形為矩形；圓內(nèi)接梯形為等腰梯形4、兩個(gè)結(jié)論： 圓的外切四邊形

6、對(duì)邊和相等； 圓的外切等腰梯形的中位線(xiàn)等于腰長(zhǎng)IABACA【典型例題】一、填空和選擇（1）一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形一定是( ) A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、等腰三角形（2）如右圖，I是的內(nèi)心，則下列式子正確的是（ ）A、BIC=-2A B、BIC=2A C、BIC=+A/2 D、BIC=-A/2（3）外切于O，E、F、G分別是O與各邊的切點(diǎn)，則的外心是的。（4）直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么它的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為（5）等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑分別為，則=（6）圓外切等腰梯形底角為，腰長(zhǎng)為10，則圓的半徑長(zhǎng)為（7）等邊

7、三角形一邊長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑等于（8）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑的和高的比是（9）的內(nèi)切圓I與AB、BC、CA分別切于D、E、F點(diǎn)，且FID=EID=，則為 例2如圖，ABC中，I是內(nèi)心，AI交BC于D，交ABC的外接圓于E。 求證：（1）IE=EC，（2）IE2=EDEA。ABCEDI例3如圖，已知內(nèi)接于，AE切于點(diǎn)A，BCAE，求證：是等腰三角形ABCOEP例4已知三邊長(zhǎng)為6，8，10，則它的內(nèi)心，外心間的距離為【經(jīng)典練習(xí)】一、選擇題 1.下列命題中，正確的有（ ） 圓內(nèi)接平行四邊形是矩形 圓內(nèi)接菱形是正方形 圓內(nèi)接梯形是等腰梯形 圓內(nèi)接矩形是正方形 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D

8、4個(gè) 2.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A：B：C=3：5：6，那么D=（ ） A80 B90 C100 D120 3.如果一個(gè)直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑r，那么此三角形的面積與其外接圓的面積之比為（ ） A B C D 4.如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BOD=110，則BCD=（ ） A125 B110 C55 D70ABCDO圖1ABDCO圖2ADPBC圖35.如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ADC=60，則ABC=（ ） A30 B60 C120 D906.如圖3，正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)P在A(yíng)D上，則BPC為（ ） A35 B40 C45 D507.如圖4，中，過(guò)點(diǎn)

9、Q、M的圓與PQ、MN分別相交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論中正確的有（ ）EFN=Q=N；EFN+P=180；EF=PN=MQ；M=FEP。 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)8.如圖5，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AD為O的直徑，若CBE=50，則圓心角AOC =（ ） A50 B80 C100 D130OFNPEQM圖4AODCBE圖5二、填空題9設(shè)I是ABC的內(nèi)心，O是ABC的外心，A=80，則BIC=，BOC=。10若三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13，則其外接圓的直徑長(zhǎng)等于，其內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng)為。11直角三角形的一邊為a，它的對(duì)角是30，則此三角形的外接圓的半徑是。12如圖6，I切ABC于D、E、

10、F，C=60，EIF=100，則B=。DABCI EF圖6AFCEBDO圖7ADBCO圖813如圖7，O內(nèi)切于RtABC，C=90，D、E、F為切點(diǎn)。若AOC=120，則OAC=，B=；若AB=2cm，則AC=,ABC的外接圓半徑=，內(nèi)切圓半徑=。14如圖8，若弦ADBC，BAC=70，ABC=80，則ADC=度，ACD=度。15如圖9，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，AECD，若ABC=130，則DAE=。BECDOA圖9O圖10PBCDA16如圖10，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P。已知A=60，ABC=100，則P=?！敬笳股硎帧恳?、選擇題1下列說(shuō)法正確的是（）

11、 A三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B三角形有且只有一個(gè)外接圓 C四邊形都有一個(gè)外接圓D圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形2下列命題中的假命題是（） A三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等 B三角形的外心到三角形三邊的距離相等 C三角形的外心一定在三角形一邊的中垂線(xiàn)上 D三角形任意兩邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，是這個(gè)三角形的外心3下列圖形一定有外接圓的是（） A三角形B平行四邊形C梯形D菱形4下列說(shuō)法正確的是（） A過(guò)一點(diǎn)A的圓的圓心可以是平面上任意點(diǎn) B過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓的圓心在一條直線(xiàn)上 C過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓的圓心有且只有一點(diǎn) D過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D的圓不存在5在RtABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，則它的外心

12、與頂點(diǎn)C的距離為（） A5cmB6cmC7cmD8cm6等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長(zhǎng)的（）倍 ABCD7三角形的外心具有的性質(zhì)是（） A到三邊距離相等B到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 C外心在三角形外D外心在三角形內(nèi)8對(duì)于三角形的外心，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（） A它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 B它與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分三內(nèi)角 C它到任一頂點(diǎn)的距離等于這三角形的外接圓半徑 D以它為圓心，它到三角形一頂點(diǎn)的距離為半徑作圓，必通過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)9在一個(gè)圓中任意引兩條直徑，順次連接它們的四個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形一定是（） A菱形B等腰梯形C矩形D正方形ADCBPQ10如圖所示，圓的內(nèi)接四邊形ABCD，DA、CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于P，AC和BD交于Q，則圖中相似三角形有（ ）A、1對(duì)B、2對(duì) C、3對(duì)D、4對(duì)11DCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角