第二類曲線積分

1、第二類曲線積分,第十章,第二節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,二、第二類曲線積分的概念與性質,一、向量場,三、第二類曲線積分的計算,第二類曲線積分,一、向量場,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,畫向量場,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,梯度場和保守場,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,第二類曲線積分,二、對坐標的曲線積分,定向曲線與切向量：,定向曲線：帶有確定走向的一條曲線

2、。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則 L 的切向量為：,第二類曲線積分,分割,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,“分割, 近似, 求和, 取極限”,求變力沿曲線所作的功，利用,近似,例：求變力 F 沿曲線 L 所作的功。,第二類曲線積分,求和:,取極限:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向量形式,坐標形式,則,第二類曲線積分,對坐標的曲線積分的定義：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,上式也稱為第二類曲線積分的向量形式。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分也稱為向量場的線積分。,第二類曲線積分,說明：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二

3、類曲線積分,基本性質,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,性質1：,性質2：,性質3：,第二類曲線積分,第二類曲線積分的坐標表示,設,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,令,若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在,記為,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標表示。,第二類曲線積分,（2）若,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標表示。,第二類曲線積分,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、兩類曲線積分之間的關系,第二類曲線積分,證明：,于是有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,平面曲線的情況完全類似推

4、導。,故,第二類曲線積分,解1：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,解2：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,于是,第二類曲線積分,四、對坐標的曲線積分的計算,定理（平面曲線的情形）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證明：,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注意：a 未必小于 b。,第二類曲線積分,特殊情形,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、,第二類曲線積分,(4) 若曲線 L 的方程為極坐標方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計算。,第二類曲線積分,定理（空間曲線的情形）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,注意：兩類曲線積分之間區(qū)別,（1）第一類曲線積分是數(shù)量函數(shù)對弧長的積分； 第二類曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù) 對坐標的積分。,（2）第一類曲線積分與路徑的方向無關，化成 定積分時，下限總小于上限； 第二類曲線積分與路徑的方向有關（方向 改變，積分值變號），化成定積分時，下 限未必小于上限。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,（2）對于第二類曲線積分，當積

6、分弧 L 是垂直于某坐標軸的直線段 AB 時，對該坐標的積分為零，即,空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質。,說明：,（1）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問題，因此要慎用對稱性。一般情況下，應在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對稱性來化簡計算。,第二類曲線積分,例3:,解:,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,例4：,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,一般情況下，第二類曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點或終點有關，而且與積分路經本身有關。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不

7、同積分結果不同。,例3說明：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在有些情況下，第二類曲線積分的值，僅與積分路徑的起點或終點有關，而與積分路經本身無關。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，路徑不同積分但結果相同。,例4說明：,第二類曲線積分,例5. 求,其中 L 是雙紐線的右半支,逆時針方向。,解: L 的極坐標方程是：,L 的參數(shù)方程是：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,奇函數(shù),第二類曲線積分,例6. 求,其中,從 z 軸正向看為順時針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,例7.,解:,動到,向坐標原點，,其大小與作用點到 xoy 面的距離成反比

8、。,沿直線移,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,例8：,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,如圖,則,第二類曲線積分,例9：,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則在 t 時刻：,單位時間流出的油漆為：,第二類曲線積分,1. 定義,2. 性質,(1) L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內容小結,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,3. 計算, 對有向光滑弧,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束, 若曲線 L 的方程為極坐標方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計算。,第二類曲線積

9、分, 對空間有向光滑弧 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,區(qū)別：,第一類曲線積分與路徑的方向無關，化成定積分時，下限總小于上限；,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分與路徑的方向有關（方向改變，積分值變號），化成定積分時，下限未必小于上限。,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別,聯(lián)系：,第二類曲線積分,作業(yè),習題9-2(P250) 1(3)(6)(7)(8)； 2(2)(4); 3; 5；7,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,1、,解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,第二類曲線積分,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲

10、線積分,3. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,原點 O 的距離成正比,4、 設一個質點在,處受,恒指向原點,沿橢圓,此質點由點,逆時針移動到,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,5.,將積分,化為對弧長的積,分,解1：,其中L 沿上半圓周,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,5.,將積分,化為對弧長的積,分,解2：,其中L 沿上半圓周,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,6：設在力場,作用下, 質點由,沿移動到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場對質點所作的功.,其中為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第二類曲線積分,7. 設曲線