橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案授課教師：嚴(yán)統(tǒng)平一、教材內(nèi)容分析橢圓是圓錐曲線中重要的一種，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是后繼學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的基礎(chǔ)， 坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方法，橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方程的很好 應(yīng)用實(shí)例本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)能很好地在課堂教學(xué)中展現(xiàn)新課程的理念，主要采用學(xué)生 自主探究學(xué)習(xí)的方式，使培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力的教學(xué)思想貫穿于本節(jié)課教學(xué) 設(shè)計(jì)的始終橢圓是生活中常見的圖形，通過實(shí)驗(yàn)演示，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)而直觀的情境，使學(xué)生親身體 會(huì)橢圓與生活聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣；在橢圓概念引入的過程中， 改變了直接給出橢圓概念和動(dòng)畫畫出橢圓的方式，而采用學(xué)生動(dòng)手畫橢圓并

2、合作探究的 學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學(xué)化過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽 象概括的能力橢圓方程的化簡(jiǎn)是學(xué)生從未經(jīng)歷的問題，方程的推導(dǎo)過程采用學(xué)生對(duì)方 程進(jìn)行化簡(jiǎn)可以讓學(xué)生主體參與橢圓方程建立的具體過程，使學(xué)生真正了解橢圓標(biāo)準(zhǔn) 方程的來源，使學(xué)生體會(huì)成功的快樂，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立主動(dòng)獲 取知識(shí)的能力二、教學(xué)目標(biāo)分析1、知識(shí)目標(biāo)：理解橢圓的定義及相關(guān)概念，明確橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，理解橢圓 方程的推導(dǎo)2、能力目標(biāo)：通過讓學(xué)生積極參與，親身經(jīng)歷橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，體 驗(yàn)坐標(biāo)法在處理幾何問題中的優(yōu)越性，從而進(jìn)一步掌握求曲線方程的方法和數(shù)形結(jié)合的 思想，提高運(yùn)

3、用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力3、情感目標(biāo)：通過主動(dòng)探究，合作交流，使學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅，以 神舟飛船運(yùn)動(dòng)軌跡的演示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，創(chuàng)新 意識(shí)和愛國(guó)主義思想三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析1、教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2、教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)3、教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)、實(shí)物投影儀4、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式、探究式四、教學(xué)過程 ：(一)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答： 問題 1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不 可少？對(duì)上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正這樣

4、便于學(xué)生溫故而知新， 在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)求曲線方程的一般步驟： (1)建系設(shè)點(diǎn)； (2)寫出點(diǎn)集； (3)列出方程； (4)化簡(jiǎn)證明 提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形問題 2：圓的幾何特征是什么？圓是如何定義的？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 一般學(xué)生能回答： “平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓 ”(x a)2+ (y b)2= r2(r0)教師進(jìn)一步追問： “橢圓，在哪些地方見過？ ”有的同學(xué)說： “立體幾何中圓的直觀圖 有的同學(xué)說：人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等又用神舟飛船繞地球旋轉(zhuǎn)的模型，它運(yùn)行的軌跡又是什么圖形呢？ 這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (板書課題) 二

5、、探究問題 提問：我們從直觀上認(rèn)識(shí)了橢圓，那么橢圓它是如何形成的呢？橢圓上的點(diǎn)又是滿 足什么條件的點(diǎn)的軌跡呢？2、折紙游戲拿出圓形紙片，將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過 F 點(diǎn)，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形。3、平面截圓錐用一個(gè)平面去截圓錐，當(dāng)角度合適時(shí)，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)橢圓。圓錐曲線圓 橢圓 雙曲線 拋物線1 橢圓的形成首先我們就來做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：在圖板上有一段長(zhǎng)度一定的細(xì)繩，繩的兩頭系著兩 個(gè)釘子，現(xiàn)在我們將釘子固定在圖板上，使得兩個(gè)釘子之間的距離小于細(xì)繩的長(zhǎng)度，我 們用筆尖將細(xì)繩拉緊，讓筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，請(qǐng)同學(xué)們觀察筆尖運(yùn)動(dòng)的

6、軌跡是什么 圖形呢？請(qǐng)每個(gè)小組拿出準(zhǔn)備好的工具，按照老師剛才的示范，大家互相合作，做出圖 形.如果我們將兩個(gè)釘子之間的距離變大，使得兩個(gè)釘子之間的距離恰好等于細(xì)繩的長(zhǎng) 度，筆尖只能在兩個(gè)釘子之間來回運(yùn)動(dòng)，這時(shí)筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡是兩個(gè)釘子之間的線段.將兩個(gè)釘子之間的距離再增大，此時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，細(xì)繩的長(zhǎng)度比兩個(gè)釘子之間的距離小，筆尖沒有軌跡.再用課件給學(xué)生進(jìn)行演示：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)作圖的過程和老師剛才的演示，思考：如何來歸納橢圓的定義呢？2 .橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi, F2距離的和等于常數(shù)(大于|FiF2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.1改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2 .

7、繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎?學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征 一一到兩定點(diǎn)Fi, F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演 示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí) 到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)2a= |FiF2|,則是線段F1F2；若常數(shù)2av |FiF2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|FiF2|”.3 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程首先請(qǐng)同學(xué)們回憶求曲線方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)；(2)寫出點(diǎn)集；(3)列出方程；(4)化簡(jiǎn)證明.求曲線方程的一般步驟：1、 建立適當(dāng)

8、的坐標(biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì) (x, y)表示曲線上任意一點(diǎn) M的坐標(biāo)；2、寫出適合條件P(M)；3、用坐標(biāo)表示條件 P(M),列出方程：4、化方程為最簡(jiǎn)形式.建立直角坐標(biāo)系的一般原則：使已知點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程盡可能簡(jiǎn)單，將原點(diǎn)取在定點(diǎn)或定線段的中點(diǎn)，坐標(biāo)軸取在定直線上或圖形的對(duì)稱軸上.根據(jù)建系的一般原則，我設(shè)計(jì)了以下四種不同的建系方案，請(qǐng)同學(xué)們觀察，對(duì)比, 哪些方案是最滿足建立直角坐標(biāo)系的一般原則的？現(xiàn)在我們就以方案三來推導(dǎo)橢圓的方程,建系設(shè)點(diǎn)：設(shè) M (x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距|FiF2|=2c(c0),則Fi, F2的坐標(biāo)分別是(c, 0), (c, 0). M與Fi和F2的距

9、離的和為固定值 2a(2a2c)寫出點(diǎn)集：由橢圓的定義得，限制條件：|MFi| +|MF2| = 2a(3)列出方程：由于 |MFi| = ,(x+ c)2 + y2, |MF2| =.(x- c)2 + y2,得方程 _(x+ c)2 + y2+ (x- c)2 + y2 = 2a(問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？)(4)化簡(jiǎn)證明：移匹，(x+ c)2 + y2= 2a- (x-c)2+ y2平方(x+ c)2+ y2= 4a2- 4a (x c)2+ y2 + (x c)2+ y2豈 a2 cx= a (x c)2+ y2-平方 a4 2a2cx+ c2x2 = a2x2 2a2cx+ a2c2 +

10、a2y2整理整理 (a2 x2+ a2y2= a2(a2 c2)令-二 x2+ y2= i(ab0)a b化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成, 教師巡視，適當(dāng)給予提示：原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整理后，再平方得(a2 &)x2+ a2y2= a2(a2 c2)，為使方程對(duì)稱 和諧而引入b,同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a b 0).這里c2= a2 b2.關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略.岡財(cái)我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？由橢圓的定義得，限制條

11、件：|MFi| + |MF2| = 2a由于 |MFi| = -x2+ (y+ c)2, |MF2| = ；x2+ (y c)2,得方程x2 + (y+ c)2+ x2+ (y c)2=2a(問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？)=1(ab0)2 2 匕+乞2十2 a b橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn):訃訃 1(ab0) 陽 1(ab0)(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1;2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a = b + c2;(3) 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值；(4) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上.4 .標(biāo)準(zhǔn)方程的觀察、對(duì)比當(dāng)焦點(diǎn)

12、落在x軸上時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 Fi( C, 0), F2(C, 0);當(dāng)焦點(diǎn)落在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 Fi(o, C), F2(0, C).只須將(1)方程的x、y互換即可得到.教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，/ a2b2,.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上.請(qǐng)同學(xué)們思考：焦點(diǎn)的位置和方程之間有什么關(guān)系呢?那下面這個(gè)方程它的焦點(diǎn)位置又該如何來判斷呢？x2 y2口2+七=1(m0, n0 且 m n) m n 當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)m= a2, n= b2; 當(dāng)mb0)+:;1(ab0)圖形V14A焦點(diǎn)坐標(biāo)F1( c, 0)、F2(c, 0)F1(0, c)、F2(0c)相 同 占 八

13、、定義a2= b2+ c2a、b、c的關(guān)系ab0, b 與c的大小不確定.焦點(diǎn)位置的判斷x2, y2項(xiàng)中哪個(gè)分母大,焦點(diǎn)就在那一條軸上.三、例題講解例1判斷焦點(diǎn)的位置（1）X4 + = 1（2）4x2+ 3y2= 12總結(jié)：在判斷橢圓焦點(diǎn)位置的時(shí)候，不是標(biāo)準(zhǔn)方程的，應(yīng)該先將方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程再來判斷.例2已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F1（ 4, 0）, F2（4, 0），橢圓上任一點(diǎn)到 F1、F2的距離 之和為10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果將題中的焦點(diǎn)改為 F1（0 , 4）, F2（0, 4）,其他提條件不變，方程又是怎樣的呢？ 根據(jù)例2的求解過程，請(qǐng)同學(xué)們思考該如何來求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？總結(jié)：求

14、解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：待定系數(shù)法.具體的步驟是：判斷焦點(diǎn)的位置；確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；求出a, b的值.例3（課本例1）已知橢圓的兩點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（一2, 0）, （2, 0），并且經(jīng)過點(diǎn)（5,32），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法一：利用定義，直接求a、b;x軸上,方法二：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組求a、b的值.X2+ y2= 1(ab0) a b解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在由橢圓的定義知2a=/g + 2）2+ （+寸g 2）2+ （1）2= 2幀，所以 a =又因?yàn)?c= 2,所以 b2= a2 c2= 10 4 = 6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 Xq+ 6 = 1.總結(jié)：求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：待定系數(shù)法.具體的步驟是：判斷焦點(diǎn)的位置;確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；求出a, b的值.四、反饋練習(xí)教材P42 練習(xí)1 , 2.五、課時(shí)小結(jié)1、橢圓的定義及其標(biāo)