高等數(shù)學(xué) 全微分[一類教資]

1、,Longlan_,全微分,1,蒼松課資,*2、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,應(yīng)用,一元函數(shù) y = f (x) 的微分,近似計(jì)算,估計(jì)誤差,1、全微分的定義,2,蒼松課資,一、全微分的定義,定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，,稱為函數(shù),在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作：,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，,處全增量,則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,3,蒼松課資,(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

2、:,(1) 函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微,由微分定義 :,得,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)可微,即,4,蒼松課資,定理1(必要條件),若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù),同樣可證,證: 由全增量公式,必存在,且有,得到對(duì) x 的偏增量,因此有,5,蒼松課資,反例: 函數(shù),易知,但,因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,即:,6,蒼松課資,定理2 (充分條件),證：（略）,若函數(shù) z = f (x, y),的偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)(x, y)連續(xù)，,則

3、函數(shù)在該點(diǎn)可微分.,7,蒼松課資,推廣:,類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.,例如, 三元函數(shù),習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為,于是,8,蒼松課資,例1. 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn) (2,1) 處的全微分.,解:,例2. 計(jì)算函數(shù),的全微分.,解:,9,蒼松課資,可知當(dāng),*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,1. 近似計(jì)算,由全微分定義,較小時(shí),及,有近似等式:,(可用于近似計(jì)算; 誤差分析),(可用于近似計(jì)算),10,蒼松課資,半徑由 20cm 增大,解: 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm ,則,高度由100cm 減少到 99cm ,體

4、積的近似改變量.,求此圓柱體,11,蒼松課資,例4.計(jì)算,的近似值.,解: 設(shè),則,取,則,12,蒼松課資,分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差界,2. 誤差估計(jì),利用,令,z 的絕對(duì)誤差界約為,z 的相對(duì)誤差界約為,則,13,蒼松課資,特別注意,類似可以推廣到三元及三元以上的情形.,乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù),14,蒼松課資,例5. 利用公式,求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.,解：,故絕對(duì)誤差約為,又,所以 S 的相對(duì)誤差約為,計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得,15,蒼松課資,例6.在直流電路中,測(cè)得電壓 U = 24 伏 ,解: 由歐姆定律可知,( 歐),所以 R 的相對(duì)誤差約為,0.3 + 0.5 ,R 的絕對(duì)誤差約為,0.8 ,0.3;,定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 .,相對(duì)誤差為,測(cè)得電流 I = 6安, 相對(duì)誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 ),= 0.8 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求用歐姆,16,蒼松課資,3. 微分應(yīng)用, 近似計(jì)算, 估計(jì)誤差,絕對(duì)誤差,相對(duì)誤差,17,蒼松課資,4. 設(shè),解:,利用輪換