2021高考數(shù)學二輪復習三核心熱點突破專題六函數(shù)與導數(shù)第4講導數(shù)的綜合應用課件20210312293

1、第第4講導數(shù)的綜合應用講導數(shù)的綜合應用 高考定位在高考壓軸題中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指 數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、 不等式恒成立與能成立問題. 真 題 感 悟 (1)求b； (2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1. 2.(2019全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導數(shù). (1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點； (2)若x0，時，f(x)ax，求a的取值范圍. (1)證明設g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1， g(x)

2、sin xsin xxcos xxcos x. 故g(x)在(0，)存在唯一零點. 所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點. (2)解由題設知f()a，f()0，可得a0. 由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點，設為x0，且當x(0，x0)時，f(x)0； 當x(x0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減. 又f(0)0，f()0，所以當x0，時，f(x)0. 又當a0，x0，時，ax0，故f(x)ax. 因此，a的取值范圍是(，0. 考 點 整 合 1.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點 函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念

3、，解 決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù) 形結(jié)合求解. 2.三次函數(shù)的零點分布 三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當x時，函數(shù)值也趨向，只要按 照極值與零的大小關系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1，x2且x10 兩個f(x1)0或f(x2)0 三個f(x1)0且f(x2)0 a0 (f(x1)為極小值， f(x2)為極大值) 一個f(x1)0或f(x2)0 兩個f(x1)0或f(x2)0 三個f(x1)0且f(x2)0 3.利用導數(shù)解決不等式問題 (1)利用導數(shù)證明不等式. 若證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x

4、)，如果能證明F(x)在(a， b)上的最大值小于0，即可證明f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI). xI，使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x) g(x)max0(xI). 對x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 對x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min. 4.(1)判斷含x，ln x，ex的混合式的函數(shù)值的符號時，需利用x0eln x0及exx1， ln xx1對函數(shù)式放縮，有時可放縮為一個常量，變形為關于x的一次式或二次 式，再判斷符號.

5、(2)會對復雜函數(shù)式或?qū)?shù)式(如含x，ln x，ex的混合式)變形，如拆分為兩個函數(shù)處 理，好處是避免由于式子的復雜導致的思路無法開展. 熱點一利用導數(shù)研究函數(shù)的零點 【例1】 (2020全國卷)已知函數(shù)f(x)exa(x2). (1)當a1時，討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍. 解(1)當a1時，f(x)exx2，xR，則f(x)ex1. 當x0時，f(x)0時，f(x)0. 所以f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增. (2)f(x)exa. 當a0時，f(x)0， 所以f(x)在(，)單調(diào)遞增. 故f(x)至多存在一個零點，不合題意. 當a0時，

6、由f(x)0，可得xln a. 當x(，ln a)時，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，)單調(diào)遞增. 故當xln a時，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a(1ln a). 探究提高1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題. 第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk) 在該區(qū)間上的交點問題； 第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)； 第三步：結(jié)合圖象求解. 2.已知零點求參數(shù)的取值范圍：(1)結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點，(2)依 據(jù)零點確定極值的范圍，(3)對于參數(shù)選擇恰當?shù)姆诸悩?/p>

7、準進行討論. 【訓練1】 設函數(shù)f(x)ln xa(x1)ex，其中aR. 探究提高形如f(x)g(x)的不等式的證明：(1)首先構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，借 助導數(shù)求h(x)min，證明h(x)min0.(2)如果不等式既有指數(shù)又有對數(shù)，求導不易求最 值，可合理分拆和變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，分別計算它們的最值，利用隔離分析最 值法證明. 由exx1x，知0 x0；x1時，f(x)0， 得f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減， 所以f(x)maxf(1)1e.從而f(x)1e. 所以b2.即實數(shù)b的取值范圍為(，2. 熱點三導數(shù)與不等式恒成立、存在性問題 角度1含參不等式的

8、恒成立問題 【例3】 已知函數(shù)f(x)x24x2，g(x)2ex(x1).若x2時，f(x)kg(x)，求k的取 值范圍. 解設函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2， 則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1). 由題設可得F(0)0，即k1. 令F(x)0，得x1ln k，x22. ()若1ke2，則2x10. 從而當x(2，x1)時，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，)上單調(diào)遞 增.故F(x)在2，)上的最小值為F(x1). 故當x2時，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立. ()若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2). 從

9、而當x2時，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)上單調(diào)遞增. 而F(2)0，故當x2時，F(xiàn)(x)0，即F(x)kg(x)恒成立. ()若ke2，則F(2)2ke222e2(ke2)1時，s(x)0，所以s(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增. 又由s(1)0，有s(x)0，從而當x1時，g(x)0. 當a0，x1時，f(x)a(x21)ln xg(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立時，必有a0. 所以此時f(x)g(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)不恒成立. 解f(x)的定義域為(0，)， 探究提高“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關系，即f(x)g(a)對 于xD恒成立，應求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應求f(x)的 最大值.應特別關注等號是否取到，注意端點的取舍. (1)當x1，e時，求f(x)的最小值； (2)當m2時，若存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f(x1)g(x2)成立， 求實數(shù)m的取值范圍. 當m2時，若x1，e，則f(x)0， f(x)在1，e上是增函數(shù)，則f(x)minf(1)2m. 當me1時，若x1，e，則f(x)0， 當2me1時，若x