AAA一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題含答案

1、MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 一元二次不等式及其解法 1. 一元一次不等式解法 任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為aR b（a0）的形式 . 當(dāng) a0 時(shí)，解集為；當(dāng) a0 0 0）的圖象 一元二次方程 aR2 bR c 0 （a0）的根 有兩相異實(shí)根 R1，R2（R1 0 （a 0）的解集 R 2 aR2 bR c 0）的解集 R|R1 R0? f（R）g（R） 0；gf（xx）0? f（R）g（R）0； f（x）0? f（x）g（x） 0，f（x） 0? f（ x） g（x） 0， g（x） g（x） 0； g（x） g（x）0. （2014課標(biāo) ）已知集合 A

2、R|R22R30 ，BR|2R2，則 AB（） A. 2， 1B.1，2） C.1，1D.1 ，2） 解：AR|R3或 R1，BR|2R0的解集為 （） MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 【MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 A. R|RRB.R|R1，RR C. R|R 1D. R|R1 解： f（1）1b1 2b，f（3）93b110 3b， 由 f（ 1）f（3），得 2 b103b， 解出 b 2，代入原函數(shù)， f（R）0即R22R10，R的取值范圍是 R1.故選 B. 11 已知 121x2，則 R 的取值范圍是 （ ） 2x 11 A.2R0或 0R2 B.2R2 11 C.R2

3、D.R2 1 解：當(dāng) R0 時(shí)，R2；當(dāng) R0 時(shí)，R2. 所以 R的取值范圍是 R21，故選 D. 1 2x 不等式 12x0 的解集是. x1 12x 解：不等式 x10 等價(jià)于（12R）（R1）0， 也就是 x12 （R1） 0，所以 1 R21. 1 故填 x|1 x2，xR . （2014 武漢調(diào)研 ）若一元二次不等式 2kR2kR30，則只須 （2R2R）maR83k，解得 k?；若 k0，則只須 83k （2R2 R）min，解得 k（3，0）.故 k的取值范圍是 （3，0）.故填 （3，0）. 類型一 一元一次不等式的解法 已知關(guān)于 R的不等式 （ab）R2a3b0的解集 .

4、得 ab0，且 3b2a a b 1 3， 解： 由 （ab）R0，即 b0， 將 a2b 代入 （a 3b）Rb2a0， 得bR3b0，R b（a0）的形式 .挖掘隱含條件 ab0 且 3b 2a a b 13是解本題的關(guān)鍵 . MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 解關(guān)于 R 的不等式： (m24)R0 即 m2 時(shí)，R. m2 1 (3)當(dāng) m240 即 2m. m2 類型 元二次不等式的解法 解下列不等式： (1) R27R120;(2)R22R3 0； (3) R22R10. 解： (1) R|R4. (2) R|3R1. (3) ?. (4) 因?yàn)?/p>

5、 0，可得原不等式的解集為 R. (2013金華十校聯(lián)考 )已知函數(shù) f(R) x1，x0， x1， x0， 則不等式 R (R1)f(R 1）1 的解集是 （ ） A. R| 1 R 2 1B. R|R 1 C. R|R 2 1D. R| 21R 21 解：由題意得不等式 R（R1）f（R1）1 等價(jià)于 x 1 0，或 x(x1)(x1) 11 x1 0， x(x1)(x1) 11， 解不等式組 得 R 0的解集為 R|2R0的解集. 解： 不等式 aR2 bRc 0的解集為 R|2R3， a0，且 2 和 3 是方程 aR2bRc0 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒

6、文檔】 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 ba23， c23， a b 5a ， 即 c 6a ， a 0. 11 x|2x 3 . 類型四 含有參數(shù)的一元二次不等式 mR2（m 1）R10. 所求不等式的解集為 （2）當(dāng) m 0 時(shí)，不等式為 m x 1 ()若m11即 1 （）若m11即 點(diǎn)撥： 當(dāng) R2 的系數(shù)是參數(shù)時(shí)，首先對(duì)它是否為零進(jìn)行討論， 等式，即對(duì) m0 與 m0 進(jìn)行討論， 這是第一層次； 0m1 時(shí)，不等式的解集為 x|1x ； m1 時(shí)，不等式的解集為 ?. 的不確定性，對(duì) m0進(jìn)行討論；第三層次： 確定其是一次不等式還是二次不 第二層次： R2 的系數(shù)正負(fù) （不等號(hào)方

7、向 ） 1 1與 1 大小的不確定性，對(duì) m m1、m a0，得 6aR25aR a0（a0）. 即 6R25R 1 0， 解關(guān)于 R 的不等式： 解： （1）m0 時(shí)，不等式為 （R1）0，不等式的解集為 R|R 1 ； xm1 （R1）0. 當(dāng) m0， m11，不等式的解集為 x|x1 . 當(dāng) m0，不等式為 x m1 （R1）1時(shí)，不等式的解集為 x|m1x0 時(shí)， ，1 a2， ； 2a， 1 ； 當(dāng) a2 時(shí)，解集為 R|R 1 ； 1， 2a . a 解集為 （ 當(dāng) 2 a 0 時(shí)，解集為 當(dāng) a1 與 m 1 進(jìn)行討論 . 解關(guān)于 R 的不等式 aR2 2 2R aR（aR）.

8、解： 不等式整理為 aR2（a2）R2 0， 當(dāng) a0 時(shí)，解集為 （， 1. 當(dāng) a0 時(shí)，aR2（a2）R20 的兩根為 1， MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 類型五 分式不等式的解法 x 1 （1）解不等式 2xx11 1. 解： x1 1? x1 10? x20? x20. 2x 1 2x 1 2x 1 2x1 x2（x2）（ 2x1）0， 0? 2x12x 1 0. 1 得RR 2或 R2. x 2 （2）不等式 2 x2 0 的解集是. x 3x 2 解： x 2 x23x20? x2 x2）（ x1） 0? （R2）（R2）（R1）0， 數(shù)

9、軸標(biāo)根得 R| 2 R2， 故填 R| 2R2 . 點(diǎn)撥： 分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的高次不等式， 再利用數(shù)軸標(biāo)根法寫出不等式的解集， 如 果該不等式有等號(hào)，則要注意分式的分母不能為零.用“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的步驟： （1） 移項(xiàng)：使得右端為 0（注意：一定要保證 R 的最高次冪的項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù) ）.（2）求根：就是 求出不等式所對(duì)應(yīng)的方程的所有根.（3）標(biāo)根：在數(shù)軸上按從左到右 （由小到大 ） 依次標(biāo)出各根 （不需標(biāo)出準(zhǔn)確位置，只需標(biāo)出相對(duì)位置即可）.（4） 畫穿根線：從數(shù)軸“最右根”的右上方向 左下方 畫線，穿過此根，再往左上方穿過“次右根”，一上一下依次穿過各根,“奇穿偶不 穿”來記

10、憶 .（5） 寫出不等式的解集：若不等號(hào)為“”，則取數(shù)軸上方穿根線以內(nèi)的范圍； 若不等號(hào)為“” ，則取數(shù)軸下方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等式中含有“”號(hào)，寫解集時(shí) 要考慮分母不能為零 x2 (1)若集合 AR|12R13 ，B x| x 0 ，則 AB( A. R|1R0 B. R|0 R1 C. R|0 R 2D. R|0R1 x（ x2）0， 解：易知 AR|1R1，B 集合就是不等式組的解集，求出 B x0 x|0 x2，所以 ABR|0R1.故選 B. x1 （2）不等式 2x 1 0 的解集為 （） C. )D. 12 1， ) 解： 2xx110? （x1）（ 2x1）0， 2x 12

11、x10 1 得 2R 1.故選 A. MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 類型六 和一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題 （1）若不等式 R2aR10 對(duì)于一切 R 0，21 成立，則 a的最小值為 （ 5 A.0B. 2C.2D.3 aR R2 1，由于 R a xx1 .f(R) x x1在 0，12 上是減函數(shù)， 解： 不等式可化為 （2）已知對(duì)于任意的 55 2. a2. a1，1，函數(shù) f（R）R2（a4）R42a 的值總大于 0，則 R 的取值范圍是 （ ） A.1 R3B.R 3 C.1R2D.R 2 解： 記 g（a）（R 2）aR24R4，a1，

12、1， g（1） 0， x23x20， 依題意，只須 ? 2? R3，故選 B. g（ 1） 0 x25x 60 點(diǎn)撥： 對(duì)于參數(shù)變化的情形，大多利用 參變量轉(zhuǎn)換法 ，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量轉(zhuǎn)換為參數(shù)， 把關(guān)于 R 的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于 a 的一次不等式，化繁為簡(jiǎn)，然后再利用一次函數(shù)的單 調(diào)性，求出 R 的取值范圍 . 對(duì)于滿足 |a| 2的所有實(shí)數(shù) a，求使不等式 R2aR12Ra 成立的 R的取值范圍 解：原不等式轉(zhuǎn)化為 2， 2上恒大于 0，故有： （R1）aR2 2R10，設(shè) f（a）（R1）aR22R1，則 f（a）在 f（ 2）0， f（2）0 2 x24x30， 2 x210 x

13、3或x1或x 1. R3. 類型七 a 的取值范圍是 （ ） 次方程根的討論 若方程 2aR2R10 在（0， 1）內(nèi)有且僅有一解，則 B.a1 A.a1 C.1a1D.0 a1 解法一： 令 f（R） 2aR2R1，則 f（0） f（1） 0，即 1 （2a 2）1. 解法二：當(dāng) a0時(shí)，R1，不合題意， 故排除 C，D；當(dāng) a 2時(shí)，方程可化為 4R2 R10，而 1160，若此不等式的解集為 x|m x 0B.0 m 2D.m0 解： 由不等式的解集形式知 m0.故選 D. 1 3. （2013安徽 ）已知一元二次不等式 f（R）0 的解集為 x|x2 ，則 f（10R）0 的解集 為（

14、） A. R|Rlg2 B. R| 1R lg2D. R|Rlg2 解：可設(shè) f（R） a（R 1） x 21 （a0 可得 （10R 1） 10 x 21 0，從而 10R21， 解得 R0 在（1，4）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 （ ） A. a 12 B. a4 C. a 12D.a0 在（1，4）內(nèi)有解，即 a2R28R4在（1，4） 內(nèi)有解，令 f（R）2R28R42（R2）212，當(dāng) R2 時(shí)， f（R）取最小值 f（2） 12；當(dāng) R 4時(shí)，f（4）2（42）2124，所以在 （1，4）上， 12f（R） 4.要使 af（R）有解，則 a0對(duì) R（1，2）恒成立，則實(shí)數(shù) k的

15、取值范圍是 解：R （1，2），R10.則 R2kRk1（R1）（R1k）0，等價(jià)于 R1k0， 即 kR1恒成立，由于 2R13，所以只要 k2 即可 .故填（，2. 7. （2014江蘇 ）已知函數(shù) f（R）R2mR1，若對(duì)于任意 Rm，m1，都有 f（R）0 f（m）2m21230m，0，解得 f（m1） 2m23m0， 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m 1恒成立，即 解：由題可得 f（R）0 對(duì)于 Rm， 22m 2R 的解集為 （1， 3）. MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 MeiWei_81 重點(diǎn)借鑒文檔】 (1)若方程 f(R) 6a 0 有兩個(gè)相等的實(shí)根，求 f(R)的解析式； (2)若 f(R)的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍 . 解： (1)f(R)2R0 的解集為 (1，3)， f(R) 2Ra(R1)(R3)，且 a0. 因而 f(R) a(R 1)(R 3) 2R aR2(24a)R3a. 由方程 f(R)6a0 得 aR2(24a)R9a0. 因?yàn)榉匠?有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以 2 (24a)2 4a9a0， 1 即 5a24a1 0，解得 a1 或 a . 5 1 由于 a0，舍去 a1，將 a 1代入 得 f(R)的解析式 5