張裕 知識講解3

1、樂博思知識講解責編：張強【學習目標】1 掌握角度的互換；2會利用角平分線的意義進行有關表示或計算；3. 掌握角的和、差、倍、分關系，并會進行有關計算.【知識網絡】【要點梳理】要點一、線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯系2.基本性質(1)直線的性質:兩點確定一條直線 (2)線段的性質:兩點之間，線段最短要點詮釋：本知識點可用來解釋很多生活中的現象. 如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2

2、）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線ac上截取ab=，如下圖：4.線段的比較與運算（1）線段的比較： 比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有ab+bc=ac，或ac=a+b；ad=ab-bd。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點如下圖，有：要點詮釋：線段中點的等價表述：如上圖，點m在線段ab上，且有，則點m為線段ab的中點.除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點m,n,p均為線段ab的四等分點.【典型例題】類型一、線段、射線、直線1.下列判斷錯誤的有( ) 延長射線oa；直線比射線

3、長，射線比線段長；如果線段papb，則點p是線段ab的中點；連接兩點間的線段，叫做兩點間的距離 a0個 b2個 c3個 d4個【答案】d【解析】由于射線向一方無限延伸，因此，不能延長射線；由于直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關系，而線段是可以度量的，可以比較線段的長短；線段papb，只有當點p在線段ab上時，才是線段ab的中點，否則就不是；兩點間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的本質屬性不同【總結升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質區(qū)別舉一反三：【變式】平面上有五條直線，則這五條直線最多有_交點，最少有_個交點【答案

4、】10， 0【變式1】下列說法正確的有 ( )射線與其反向延長線成一條直線；直線a、b相交于點m；兩直線相交于兩個交點；直線a與直線b相交于點ma3個 b2個 c1個 d4個【答案】c【變式2】下列說法中，正確的個數有( )已知線段a，b且a-bc，則c的值不是正的就是負的；已知平面內的任意三點a，b，c則ab+bcac；延長ab到c，使bcab，則ac2ab；直線上的順次三點d、e、f，則de+efdf a1個 b2個 c3個 d4個【答案】c類型三、個（條）數或長度的計算3. 根據題意，完成下列填空如圖所示，與是同一平面內的兩條相交直線，它們有1個交點，如果在這個平面內，再畫第3條直線，那

5、么這3條直線最多有_個交點；如果在這個平面內再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有_個交點由此我們可以猜想：在同一平面內，6條直線最多可有_個交點，n(n為大于1的整數)條直線最多可有_個交點(用含有n的代數式表示)【答案】3， 6， 15， .【解析】本題探索過程要分兩步：首先要填好3條直線最多可有2+13個交點，再類推4條直線，5條直線，6條直線的情形所得到的和式，其次再研究這些和式的規(guī)律，得出一般性的結論【總結升華】n(n為大于1的整數)條直線的交點最多可有：個.舉一反三：【變式1】平面上有個點，最多可以確定 條直線. 【答案】【變式2】一條直線有個點，最多可以確定 條線段， 條射線.【

6、答案】，【高清課堂：直線、射線、線段397363 拓展 1（4）】【變式3】一個平面內有三條直線，會出現幾個交點? 【答案】0個，1個，2個，或3個.4. 已知線段ab14cm，在直線ab上有一點c，且bc4cm，m是線段ac的中點，求線段am的長【思路點撥】題目中只說明了a、b、c三點在同一直線上，無法判定點c在線段ab上，還是在線段ab外(也就是在線段ab的延長線上)所以要分兩種情況求線段am的長【答案與解析】解：當點c在線段ab上時，如圖所示 因為m是線段ac的中點， 所以 又因為acab-bc，ab14cm，bc4cm， 所以當點c在線段ab的延長線上時，如圖所示 因為m是線段ac的中

7、點， 所以 又因為acab+bc，ab14cm，bc4cm， 所以9(cm) 所以線段am的長為5cm或9cm【總結升華】在解答沒有給出圖形的問題時，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當我們面臨的教學問題無法確定是哪種情形時，就要分類討論舉一反三：【變式】（2014秋溫州期末）已知點b在直線ac上，線段ab=8cm，ac=18cm，p、q分別是線段ab、ac的中點，則線段pq= 【答案】13cm或5cm解：當點c在點a左側時，ap=ac=9，aq=ab=4，pq=aq+ap=9+4=13cm當點c在點b右側時，ap=ab=4cm，bc=acab=10cm，aq=，ac=9，pq=aqap

8、=94=5cm故答案為：13cm或5cm類型四、路程最短問題5.（2015春嵊州市期末）某公司員工分別在a、b、c三個住宅區(qū)，a區(qū)有30人，b區(qū)有30人，c區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設一個?？奎c，為使所有員工步行到?？奎c的路程之和最小，那么?？奎c的位置應設在（）aa區(qū)bb區(qū)cc區(qū)da、b兩區(qū)之間【答案】b【解析】解：設在a區(qū)、b區(qū)之間時，設距離a區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30x+30（100x）+10（100+200x），=30x+300030x+300010x，=10x+6000，當x最大為100時，即在b區(qū)時，路程之和最小，為5000米；設

9、在b區(qū)、c區(qū)之間時，設距離b區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200x），=3000+30x+30x+200010x，=50x+5000，當x最大為0時，即在b區(qū)時，路程之和最小，為5000米；綜上所述，?？奎c的位置應設在b區(qū)【總結升華】本題是線段的概念在現實中的應用，根據題意分別計算停靠點分別在各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可得解.舉一反三：【變式】如圖，從a到b最短的路線是（）.aa-g-e-b ba-c-e-b ca-d-g-e-b da-f-e-b 【答案】d要點二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1

10、的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點詮釋：在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于60時要向高一位進位要點三、角的比較與運算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較如比較aob和aob的大?。?如下圖，由圖（1）可得aobaob；由圖(2

11、)可得aobaob；由圖(3)可得aobaob2.角的和、差運算如圖所示，aob是1與2的和，記作：aob1+2；1是aob與2的差，記作：1aob-2要點詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(讀出另一邊所在線的度數) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據角的和、差關系，還可以畫出15，75，105，120，135，150，165的角3.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，oc是aob的角平分線，aob2aoc2boc，aocboc =a

12、ob要點詮釋：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣要點四、方位角在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角例如，圖中射線oa的方向是北偏東60；射線ob的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60”一般不說成“東偏北30” （3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向（4）圖中的點o是觀測點，所有方向線(射線)都必須以o為端點要點

13、五、鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30的角，分針1分鐘轉6，時針每小時轉30，時針1分鐘轉0.5，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題【典型例題】類型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180的角，試一一畫出來【思路點撥】首先發(fā)現一副三角板上有30，45，60，90這樣4個不相等的角，利用這些角進行一次和差，可得小于180的所有角【答案與解析】解：除了可以畫30，45，60，90外，還可畫15，75，105，120，135，150，165的七個度數的角，畫法如圖所示【總結升華】利用一副三角板共可以畫出11個度數的角，分別是：

14、30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，165舉一反三：【變式】（2015春成武縣期末）下列說法中，正確的是（）a兩條射線組成的圖形叫做角b有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角c角可以看做是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形d角可以看做是由一條線段繞著它的端點旋轉而形成的圖形【答案】c類型二、角度制的換算2. 計算下列各題： (1)1524912+20.18； (2)82-364215； (3)3536479； (4)41373 【答案與解析】 解：(1)解法一： 20.18201048 即：1524912+20.18173 解法二： 1524912152.82

15、， 152.82+20.18173 即：1524912+20.18173 (2)將82化為815960，則 82-364215451745 42373， 324+7531， 3536479320313 41373=135220【總結升華】在角度的和、差運算中應先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進行計算；在進行乘法運算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數，將結果滿60進1，滿60進1；對于除法運算則是從度開始除，將余數化為分和以前的分數相加再除，將余數再化成秒和以前的秒數相加再除，若除不盡往往四舍五入舉一反三：【變式】計算： (1)234536+661424；(2)180-982430； (3

16、)1550423； (4)8814484【答案】(1)234536+66142490；(2)180-982430813530；(3)155042347326；(4)881448422342類型三、角的比較與運算3. 如圖所示表示兩塊三角板 (1)用疊合法比較1，2的大小； (2)量出圖中各角的度數，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用“”或“”連接【答案與解析】 解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得1，用同樣的方法，可得2所以21 (2)用量角器量出圖中各個角的度數，分別是1245，390，30，60，90，把它們從小到大排列，有123【總結升華】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先

17、將兩個角的頂點與頂點重合，一條邊與一條邊重合再比較先量出每個角的度數，然后按它們的度數來比較舉一反三：【變式】如圖，aob的平分線om,on為moa內的一條射線，og為aob外的一條射線.某同學經過認真分析，得到一個關系式是mon（bonaon），你認為這個同學得到的關系式正確嗎？若正確，請把得到這個結論的過程寫出來. 【答案】解：正確，理由如下：aob的平分線om， aommob又monaomaon=mobaon=(bonmon) aon即有monbonmon aon 2monbonaonmon（bonaon）4.（2016春龍口市期中）如圖，aob=90，aoc=30，且om平分boc，o

18、n平分aoc，（1）求mon的度數；（2）若aob=其他條件不變，求mon的度數；（3）若aoc=（為銳角）其他條件不變，求mon的度數；（4）從上面結果中看出有什么規(guī)律？【思路點撥】（1）要求mon，即求comcon，再根據角平分線的概念分別進行計算即可求得；（2）和（3）均根據（1）的計算方法進行推導即可（4）根據（2）和（3）中的結論進行總結【答案與解析】 解：（1）aob=90，aoc=30，boc=120om平分boc，on平分aoccom=60，con=15mon=comcon=45（2）aob=，aoc=30，boc=+30om平分boc，on平分aoccom=+15，con=1

19、5mon=comcon=（3）aob=90，aoc=，boc=90+om平分boc，on平分aoccom=45+，con=mon=comcon=45（4）從上面的結果中，發(fā)現：mon的大小只和aob得大小有關，與a0c的大小無關【總結升華】能夠結合圖形表示角之間的和差關系，根據角平分線的概念運用幾何式子表示角之間的倍分關系【高清課堂：角397364 角的有關計算例4】舉一反三：【變式】如圖，已知o是直線ac上一點，od平分aob，oe在boc內，且boeeoc，doe70，求eoc的度數.【答案】解：設eoc=，則boeeoc，根據題意可得： ，解得： .eoc2boe80.類型四、方位角5.

20、（2015浦東新區(qū)三模）已知小島a位于基地o的東南方向，貨船b位于基地o的北偏東50方向，那么aob的度數等于 【答案】85【解析】解：如圖：2=50，3=40，1=45，aob=1+3=45+40=85，故答案為：85【總結升華】本題主要考查了方位角的概念，根據方位角的概念，畫圖正確表示出a，b的方位，注意東南方向是45度是解答此題的關鍵類型五、鐘表上有關夾角問題6. 在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線?【答案與解析】 解：設7時x分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得： ， 答：7時分鐘時針與分針成一條直線【總結升華】時鐘上的分針與時針繞著中心順時針均勻轉動，在不同時刻，

21、兩針之間形成一定的角度如果把單位時間分針和時針轉過的度數當作它們的速度則： 分針的速度為6/分；時針的速度為0.5/分故分針速度是時針速度的12倍 舉一反三：【變式】某人下午6點多外出購物，表上的時針和分針的夾角恰為110，下午7點前回家時，發(fā)現表上的時針和分針的夾角又是110，試算出此人外出用了多長時間?【答案】解：設此人外出用了x分鐘，則分針轉了6x度，時針轉了0.5x度根據題意得：6x-0.5x1102，解之得x40答：此人外出購物用了40分鐘的時間要點三、多邊形和圓的初步認識1.多邊形及正多邊形：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形其中，各邊相等、各角也相

22、等的多邊形叫做正多邊形如下圖：要點詮釋：（1）n邊形有n個頂點、n條邊，對角線的條數為（2）多邊形按邊數的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等2. 圓及扇形：（1）圓：如圖，在一個平面內，線段oa繞它固定的一個端點o旋轉一周，另一個端點a所形成的圖形叫做圓，固定的端點o叫做圓心，線段oa叫做半徑. 以點o為圓心的圓，記作“o”，讀作“圓o”要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.（2）扇形：由一條弧ab和經過這條弧的端點的兩條半徑oa，ob所組成的圖形叫做扇形.如下圖：要點詮釋：扇形oab的面積公式：；扇形oab的弧長公式：.類型三、利用數學思想方法解決有關線段或角的計算1.方程的

23、思想方法5. 如圖所示，b、c是線段ad上的兩點，且，ac35cm，bd44cm，求線段ad的長【答案與解析】解：設abx cm，則或于是列方程，得解得：x18，即ab18(cm)所以bc35-x35-1817(cm)(cm)所以adab+bc+cd18+17+2762(cm)【總結升華】根據題中的線段關系，巧設未知數，列方程求解2.分類的思想方法 6. 同一直線上有a、b、c、d四點，已知addb，accb，且cd4cm，求ab的長【思路點撥】先根據題意畫出圖形，再從圖上直觀的看出各線段的關系及大小【答案與解析】解：利用條件中的addb，accb，設db9x，cb5y，則ad5x，ac9y，分類討論：（1）當點d，c均在線段ab上時，如圖所示： abad+db14x，abac+cb14y， xy cdacad9y5x4x4， x1， ab14x14(cm)（2）當點d，c均不在線段ab上時，如