張?jiān)?知識(shí)講解3

1、樂(lè)博思知識(shí)講解責(zé)編：張強(qiáng)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 掌握角度的互換；2會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；3. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線 (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短要點(diǎn)詮釋?zhuān)罕局R(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離.3.畫(huà)一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2

2、）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線ac上截取ab=，如下圖：4.線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較： 比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有ab+bc=ac，或ac=a+b；ad=ab-bd。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)如下圖，有：要點(diǎn)詮釋?zhuān)壕€段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)m在線段ab上，且有，則點(diǎn)m為線段ab的中點(diǎn).除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類(lèi)似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)m,n,p均為線段ab的四等分點(diǎn).【典型例題】類(lèi)型一、線段、射線、直線1.下列判斷錯(cuò)誤的有( ) 延長(zhǎng)射線oa；直線比射線

3、長(zhǎng)，射線比線段長(zhǎng)；如果線段papb，則點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn)；連接兩點(diǎn)間的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離 a0個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)【答案】d【解析】由于射線向一方無(wú)限延伸，因此，不能延長(zhǎng)射線；由于直線向兩方無(wú)限延伸，射線向一方無(wú)限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關(guān)系，而線段是可以度量的，可以比較線段的長(zhǎng)短；線段papb，只有當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上時(shí)，才是線段ab的中點(diǎn)，否則就不是；兩點(diǎn)間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的本質(zhì)屬性不同【總結(jié)升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質(zhì)區(qū)別舉一反三：【變式】平面上有五條直線，則這五條直線最多有_交點(diǎn)，最少有_個(gè)交點(diǎn)【答案

4、】10， 0【變式1】下列說(shuō)法正確的有 ( )射線與其反向延長(zhǎng)線成一條直線；直線a、b相交于點(diǎn)m；兩直線相交于兩個(gè)交點(diǎn)；直線a與直線b相交于點(diǎn)ma3個(gè) b2個(gè) c1個(gè) d4個(gè)【答案】c【變式2】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有( )已知線段a，b且a-bc，則c的值不是正的就是負(fù)的；已知平面內(nèi)的任意三點(diǎn)a，b，c則ab+bcac；延長(zhǎng)ab到c，使bcab，則ac2ab；直線上的順次三點(diǎn)d、e、f，則de+efdf a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)【答案】c類(lèi)型三、個(gè)（條）數(shù)或長(zhǎng)度的計(jì)算3. 根據(jù)題意，完成下列填空如圖所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫(huà)第3條直線，那

5、么這3條直線最多有_個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫(huà)第4條直線，那么這4條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)，n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)(用含有n的代數(shù)式表示)【答案】3， 6， 15， .【解析】本題探索過(guò)程要分兩步：首先要填好3條直線最多可有2+13個(gè)交點(diǎn)，再類(lèi)推4條直線，5條直線，6條直線的情形所得到的和式，其次再研究這些和式的規(guī)律，得出一般性的結(jié)論【總結(jié)升華】n(n為大于1的整數(shù))條直線的交點(diǎn)最多可有：個(gè).舉一反三：【變式1】平面上有個(gè)點(diǎn)，最多可以確定 條直線. 【答案】【變式2】一條直線有個(gè)點(diǎn)，最多可以確定 條線段， 條射線.【

6、答案】，【高清課堂：直線、射線、線段397363 拓展 1（4）】【變式3】一個(gè)平面內(nèi)有三條直線，會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)交點(diǎn)? 【答案】0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，或3個(gè).4. 已知線段ab14cm，在直線ab上有一點(diǎn)c，且bc4cm，m是線段ac的中點(diǎn)，求線段am的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】題目中只說(shuō)明了a、b、c三點(diǎn)在同一直線上，無(wú)法判定點(diǎn)c在線段ab上，還是在線段ab外(也就是在線段ab的延長(zhǎng)線上)所以要分兩種情況求線段am的長(zhǎng)【答案與解析】解：當(dāng)點(diǎn)c在線段ab上時(shí)，如圖所示 因?yàn)閙是線段ac的中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)閍cab-bc，ab14cm，bc4cm， 所以當(dāng)點(diǎn)c在線段ab的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示 因?yàn)閙是線段ac的中

7、點(diǎn)， 所以 又因?yàn)閍cab+bc，ab14cm，bc4cm， 所以9(cm) 所以線段am的長(zhǎng)為5cm或9cm【總結(jié)升華】在解答沒(méi)有給出圖形的問(wèn)題時(shí)，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當(dāng)我們面臨的教學(xué)問(wèn)題無(wú)法確定是哪種情形時(shí)，就要分類(lèi)討論舉一反三：【變式】（2014秋溫州期末）已知點(diǎn)b在直線ac上，線段ab=8cm，ac=18cm，p、q分別是線段ab、ac的中點(diǎn)，則線段pq= 【答案】13cm或5cm解：當(dāng)點(diǎn)c在點(diǎn)a左側(cè)時(shí)，ap=ac=9，aq=ab=4，pq=aq+ap=9+4=13cm當(dāng)點(diǎn)c在點(diǎn)b右側(cè)時(shí)，ap=ab=4cm，bc=acab=10cm，aq=，ac=9，pq=aqap

8、=94=5cm故答案為：13cm或5cm類(lèi)型四、路程最短問(wèn)題5.（2015春嵊州市期末）某公司員工分別在a、b、c三個(gè)住宅區(qū)，a區(qū)有30人，b區(qū)有30人，c區(qū)有10人，三個(gè)區(qū)在同一條直線上，如圖所示，該公司的接送車(chē)打算在此間只設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）aa區(qū)bb區(qū)cc區(qū)da、b兩區(qū)之間【答案】b【解析】解：設(shè)在a區(qū)、b區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離a區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30x+30（100x）+10（100+200x），=30x+300030x+300010x，=10x+6000，當(dāng)x最大為100時(shí)，即在b區(qū)時(shí)，路程之和最小，為5000米；設(shè)

9、在b區(qū)、c區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離b區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200x），=3000+30x+30x+200010x，=50x+5000，當(dāng)x最大為0時(shí)，即在b區(qū)時(shí)，路程之和最小，為5000米；綜上所述，?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在b區(qū)【總結(jié)升華】本題是線段的概念在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，根據(jù)題意分別計(jì)算?？奎c(diǎn)分別在各點(diǎn)時(shí)員工步行的路程和，選擇最小的即可得解.舉一反三：【變式】如圖，從a到b最短的路線是（）.aa-g-e-b ba-c-e-b ca-d-g-e-b da-f-e-b 【答案】d要點(diǎn)二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1

10、的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶M(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位要點(diǎn)三、角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較aob和aob的大?。?如下圖，由圖（1）可得aobaob；由圖(2

11、)可得aobaob；由圖(3)可得aobaob2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，aob是1與2的和，記作：aob1+2；1是aob與2的差，記作：1aob-2要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù)) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15，75，105，120，135，150，165的角3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線如圖所示，oc是aob的角平分線，aob2aoc2boc，aocboc =a

12、ob要點(diǎn)詮釋?zhuān)河山瞧椒志€的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線oa的方向是北偏東60；射線ob的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60”一般不說(shuō)成“東偏北30” （3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向（4）圖中的點(diǎn)o是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以o為端點(diǎn)要點(diǎn)

13、五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題【典型例題】類(lèi)型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能畫(huà)出多少個(gè)小于180的角，試一一畫(huà)出來(lái)【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30，45，60，90這樣4個(gè)不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180的所有角【答案與解析】解：除了可以畫(huà)30，45，60，90外，還可畫(huà)15，75，105，120，135，150，165的七個(gè)度數(shù)的角，畫(huà)法如圖所示【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫(huà)出11個(gè)度數(shù)的角，分別是：

14、30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，165舉一反三：【變式】（2015春成武縣期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）a兩條射線組成的圖形叫做角b有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角c角可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形d角可以看做是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形【答案】c類(lèi)型二、角度制的換算2. 計(jì)算下列各題： (1)1524912+20.18； (2)82-364215； (3)3536479； (4)41373 【答案與解析】 解：(1)解法一： 20.18201048 即：1524912+20.18173 解法二： 1524912152.82

15、， 152.82+20.18173 即：1524912+20.18173 (2)將82化為815960，則 82-364215451745 42373， 324+7531， 3536479320313 41373=135220【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿(mǎn)60進(jìn)1，滿(mǎn)60進(jìn)1；對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開(kāi)始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入舉一反三：【變式】計(jì)算： (1)234536+661424；(2)180-982430； (3

16、)1550423； (4)8814484【答案】(1)234536+66142490；(2)180-982430813530；(3)155042347326；(4)881448422342類(lèi)型三、角的比較與運(yùn)算3. 如圖所示表示兩塊三角板 (1)用疊合法比較1，2的大小； (2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個(gè)角從小到大排列，然后用“”或“”連接【答案與解析】 解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得1，用同樣的方法，可得2所以21 (2)用量角器量出圖中各個(gè)角的度數(shù)，分別是1245，390，30，60，90，把它們從小到大排列，有123【總結(jié)升華】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先

17、將兩個(gè)角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，一條邊與一條邊重合再比較先量出每個(gè)角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來(lái)比較舉一反三：【變式】如圖，aob的平分線om,on為moa內(nèi)的一條射線，og為aob外的一條射線.某同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是mon（bonaon），你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過(guò)程寫(xiě)出來(lái). 【答案】解：正確，理由如下：aob的平分線om， aommob又monaomaon=mobaon=(bonmon) aon即有monbonmon aon 2monbonaonmon（bonaon）4.（2016春龍口市期中）如圖，aob=90，aoc=30，且om平分boc，o

18、n平分aoc，（1）求mon的度數(shù)；（2）若aob=其他條件不變，求mon的度數(shù)；（3）若aoc=（為銳角）其他條件不變，求mon的度數(shù)；（4）從上面結(jié)果中看出有什么規(guī)律？【思路點(diǎn)撥】（1）要求mon，即求comcon，再根據(jù)角平分線的概念分別進(jìn)行計(jì)算即可求得；（2）和（3）均根據(jù)（1）的計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)即可（4）根據(jù)（2）和（3）中的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)【答案與解析】 解：（1）aob=90，aoc=30，boc=120om平分boc，on平分aoccom=60，con=15mon=comcon=45（2）aob=，aoc=30，boc=+30om平分boc，on平分aoccom=+15，con=1

19、5mon=comcon=（3）aob=90，aoc=，boc=90+om平分boc，on平分aoccom=45+，con=mon=comcon=45（4）從上面的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)：mon的大小只和aob得大小有關(guān)，與a0c的大小無(wú)關(guān)【總結(jié)升華】能夠結(jié)合圖形表示角之間的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線的概念運(yùn)用幾何式子表示角之間的倍分關(guān)系【高清課堂：角397364 角的有關(guān)計(jì)算例4】舉一反三：【變式】如圖，已知o是直線ac上一點(diǎn)，od平分aob，oe在boc內(nèi)，且boeeoc，doe70，求eoc的度數(shù).【答案】解：設(shè)eoc=，則boeeoc，根據(jù)題意可得： ，解得： .eoc2boe80.類(lèi)型四、方位角5.

20、（2015浦東新區(qū)三模）已知小島a位于基地o的東南方向，貨船b位于基地o的北偏東50方向，那么aob的度數(shù)等于 【答案】85【解析】解：如圖：2=50，3=40，1=45，aob=1+3=45+40=85，故答案為：85【總結(jié)升華】本題主要考查了方位角的概念，根據(jù)方位角的概念，畫(huà)圖正確表示出a，b的方位，注意東南方向是45度是解答此題的關(guān)鍵類(lèi)型五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題6. 在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?【答案與解析】 解：設(shè)7時(shí)x分鐘，時(shí)針與分針成一條直線，由題意得： ， 答：7時(shí)分鐘時(shí)針與分針成一條直線【總結(jié)升華】時(shí)鐘上的分針與時(shí)針繞著中心順時(shí)針均勻轉(zhuǎn)動(dòng)，在不同時(shí)刻，

21、兩針之間形成一定的角度如果把單位時(shí)間分針和時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)當(dāng)作它們的速度則： 分針的速度為6/分；時(shí)針的速度為0.5/分故分針?biāo)俣仁菚r(shí)針?biāo)俣鹊?2倍 舉一反三：【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購(gòu)物，表上的時(shí)針和分針的夾角恰為110，下午7點(diǎn)前回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)表上的時(shí)針和分針的夾角又是110，試算出此人外出用了多長(zhǎng)時(shí)間?【答案】解：設(shè)此人外出用了x分鐘，則分針轉(zhuǎn)了6x度，時(shí)針轉(zhuǎn)了0.5x度根據(jù)題意得：6x-0.5x1102，解之得x40答：此人外出購(gòu)物用了40分鐘的時(shí)間要點(diǎn)三、多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)1.多邊形及正多邊形：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形其中，各邊相等、各角也相

22、等的多邊形叫做正多邊形如下圖：要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)、n條邊，對(duì)角線的條數(shù)為（2）多邊形按邊數(shù)的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等2. 圓及扇形：（1）圓：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)o叫做圓心，線段oa叫做半徑. 以點(diǎn)o為圓心的圓，記作“o”，讀作“圓o”要點(diǎn)詮釋?zhuān)簣A心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.（2）扇形：由一條弧ab和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑oa，ob所組成的圖形叫做扇形.如下圖：要點(diǎn)詮釋?zhuān)荷刃蝟ab的面積公式：；扇形oab的弧長(zhǎng)公式：.類(lèi)型三、利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算1.方程的

23、思想方法5. 如圖所示，b、c是線段ad上的兩點(diǎn)，且，ac35cm，bd44cm，求線段ad的長(zhǎng)【答案與解析】解：設(shè)abx cm，則或于是列方程，得解得：x18，即ab18(cm)所以bc35-x35-1817(cm)(cm)所以adab+bc+cd18+17+2762(cm)【總結(jié)升華】根據(jù)題中的線段關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列方程求解2.分類(lèi)的思想方法 6. 同一直線上有a、b、c、d四點(diǎn)，已知addb，accb，且cd4cm，求ab的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再?gòu)膱D上直觀的看出各線段的關(guān)系及大小【答案與解析】解：利用條件中的addb，accb，設(shè)db9x，cb5y，則ad5x，ac9y，分類(lèi)討論：（1）當(dāng)點(diǎn)d，c均在線段ab上時(shí)，如圖所示： abad+db14x，abac+cb14y， xy cdacad9y5x4x4， x1， ab14x14(cm)（2）當(dāng)點(diǎn)d，c均不在線段ab上時(shí)，如