機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)(培訓(xùn)教材)

1、第2章機(jī)器人位置運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1引言本章將研究機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。當(dāng)已知所有的關(guān)節(jié)變量時(shí)，可用正運(yùn)動(dòng)學(xué)來確定機(jī)器人 末端手的位姿。如果要使機(jī)器人末端手放在特定的點(diǎn)上并且具有特定的姿態(tài)，可用逆運(yùn)動(dòng)學(xué) 來計(jì)算出每一關(guān)節(jié)變量的值。首先利用矩陣建立物體、位置、姿態(tài)以及運(yùn)動(dòng)的表示方法，然 后研究直角坐標(biāo)型、圓柱坐標(biāo)型以及球坐標(biāo)型等不同構(gòu)型機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，最后利用 De navit-Harte nberg（D-H）表示法來推導(dǎo)機(jī)器人所有可能構(gòu)型的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。實(shí)際上，機(jī)器手型的機(jī)器人沒有末端執(zhí)行器，多數(shù)情況下，機(jī)器人上附有一個(gè)抓持器。 根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，用戶可為機(jī)器人附加不同的末端執(zhí)行器。顯然，末端執(zhí)行器的大

2、小和長度決 定了機(jī)器人的末端位置，即如果末端執(zhí)行器的長短不同，那么機(jī)器人的末端位置也不同。在 這一章中，假設(shè)機(jī)器人的末端是一個(gè)平板面，如有必要可在其上附加末端執(zhí)行器，以后便稱 該平板面為機(jī)器人的“手”或“端面”。如有必要，還可以將末端執(zhí)行器的長度加到機(jī)器人的 末端來確定末端執(zhí)行器的位姿。2.2機(jī)器人機(jī)構(gòu)機(jī)器手型的機(jī)器人具有多個(gè)自由度（DOF），并有三維開環(huán)鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)。在具有單自由度的系統(tǒng)中，當(dāng)變量設(shè)定為特定值時(shí)，機(jī)器人機(jī)構(gòu)就完全確定了，所有其 他變量也就隨之而定。如圖2.1所示的四桿機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角設(shè)定為120時(shí)，則連桿與搖桿 的角度也就確定了。然而在一個(gè)多自由度機(jī)構(gòu)中，必須獨(dú)立設(shè)定所有的輸入變

3、量才能知道其 余的參數(shù)。機(jī)器人就是這樣的多自由度機(jī)構(gòu)，必須知道每一關(guān)節(jié)變量才能知道機(jī)器人的手處 在什么位置。圖2.1具有單自由度閉環(huán)的四桿機(jī)構(gòu)如果機(jī)器人要在空間運(yùn)動(dòng)，那么機(jī)器人就需要具有三維的結(jié)構(gòu)。雖然也可能有二維多自 由度的機(jī)器人，但它們并不常見。機(jī)器人是開環(huán)機(jī)構(gòu)，它與閉環(huán)機(jī)構(gòu)不同（例如四桿機(jī)構(gòu)），即使設(shè)定所有的關(guān)節(jié)變量，也 不能確保機(jī)器人的手準(zhǔn)確地處于給定的位置。這是因?yàn)槿绻P(guān)節(jié)或連桿有絲毫的偏差，該關(guān) 節(jié)之后的所有關(guān)節(jié)的位置都會(huì)改變且沒有反饋。例如，在圖2.2所示的四桿機(jī)構(gòu)中，如果連桿AB偏移，它將影響O2B桿。而在開環(huán)系統(tǒng)中（例如機(jī)器人），由于沒有反饋，之后的所有(2.1)構(gòu)件都會(huì)發(fā)生

4、偏移。于是，在開環(huán)系統(tǒng)中，必須不斷測量所有關(guān)節(jié)和連桿的參數(shù)，或者監(jiān)控 系統(tǒng)的末端，以便知道機(jī)器的運(yùn)動(dòng)位置。通過比較如下的兩個(gè)連桿機(jī)構(gòu)的向量方程，可以表 示出這種差別，該向量方程表示了不同連桿之間的關(guān)系。O, A AB = 0Q2 O2B可見，如果連桿AB偏移，連桿O2B也會(huì)相應(yīng)地移動(dòng)，式（2.1 ）的兩邊隨連桿的變化而 改變。而另一方面，如果機(jī)器人的連桿 AB偏移，所有的后續(xù)連桿也會(huì)移動(dòng)，除非 O,C有其 他方法測量，否則這種變化是未知的。為了彌補(bǔ)開環(huán)機(jī)器人的這一缺陷，機(jī)器人手的位置可由類似攝像機(jī)的裝置來進(jìn)行不斷測 量，于是機(jī)器人需借助外部手段（比如輔助手臂或激光束）來構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。或者按照常

5、規(guī) 做法，也可通過增加機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)強(qiáng)度來減少偏移，采用這種方法將導(dǎo)致機(jī)器人重量重、體積大、動(dòng)作慢，而且它的額定負(fù)載與實(shí)際負(fù)載相比非常小。何圖2.2 （a）閉環(huán)機(jī)構(gòu)；（b）開環(huán)機(jī)構(gòu)2.3機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的矩陣表示矩陣可用來表示點(diǎn)、向量、坐標(biāo)系、平移、旋轉(zhuǎn)以及變換，還可以表示坐標(biāo)系中的物體 和其他運(yùn)動(dòng)元件。2.3.1空間點(diǎn)的表示空間點(diǎn)P （如圖2.3所示）可以用它的相對(duì)于參考坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)來表示：P 二 aj byj Czk（2.3）其中，ax,by,cz是參考坐標(biāo)系中表示該點(diǎn)的坐標(biāo)。顯然，也可以用其他坐標(biāo)來表示空間點(diǎn)的 位置。圖2.3空間點(diǎn)的表示2.3.2空間向量的表示向量可以由三個(gè)起始和終止

6、的坐標(biāo)來表示。如果一個(gè)向量起始于點(diǎn)A，終止于點(diǎn)B，那么它可以表示為Pab =（Bx-AJi （BAy）j （BAz）k。特殊情況下，如果一個(gè)向量起始于 原點(diǎn)（如圖2.4所示），則有：(2.4)P =axibyjCzk其中ax，by,Cz是該向量在參考坐標(biāo)系中的三個(gè)分量。實(shí)際上，前一節(jié)的點(diǎn)P就是用連接到該點(diǎn)的向量來表示的，具體地說，也就是用該向量的三個(gè)坐標(biāo)來表示圖2.4空間向量的表示向量的三個(gè)分量也可以寫成矩陣的形式，如式（ 示運(yùn)動(dòng)分量：2.5）所示。在本書中將用這種形式來表|by(2.5)這種表示法也可以稍做變化：加入一個(gè)比例因子w,如果x, y, z各除以w,則得到ax,by,Cz于是，這時(shí)

7、向量可以寫為:xl|yz，其中a= -,b,等等 w w(2.6)變量w可以為任意數(shù)，而且隨著它的變化，向量的大小也會(huì)發(fā)生變化，這與在計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 中縮放一張圖片十分類似。隨著 w值的改變，向量的大小也相應(yīng)地變化。如果 w大于1，向 量的所有分量都變大；如果 w小于1,向量的所有分量都變小。這種方法也用于計(jì)算機(jī)圖形 學(xué)中改變圖形與畫片的大小。如果w是1，各分量的大小保持不變。但是，如果 w=0，ax,by,Cz則為無窮大。在這種情況下，x，y和z （以及ax,by,Cz）表示一個(gè)長度為無窮大的向量，它的方向即為該向量所表示 的方向。這就意味著方向向量可以由比例因子 w=0的向量來表示，這里向量

8、的長度并不重要, 而其方向由該向量的三個(gè)分量來表示。例2.1有一個(gè)向量P=3i+5j+2k,按如下要求將其表示成矩陣形式：（1）比例因子為2（2）將它表示為方向的單位向量解：該向量可以表示為比例因子為 2的矩陣形式，當(dāng)比例因子為 0時(shí)，則可以表示為方向向 量，結(jié)果如下：610I 435)22然而，為了將方向向量變?yōu)閱挝幌蛄?，須將該向量歸一化使之長度等于1。這樣，向量的每一個(gè)分量都要除以三個(gè)分量平方和的開方：二 Px2 Py2Pz2=6.16,其中 Px 30.487, Py 5，等等和討6.166.160.487- 0.811Punit =0.324.0 一2.3.3坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系原點(diǎn)

9、的表示一個(gè)中心位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系由三個(gè)向量表示，通常著三個(gè)向量相互垂直，稱 為單位向量n,o,a，分別表示法線（normal）、指向（orientation）和接近（approach）向量（如圖2.5所示）。正如2.3.3節(jié)所述，每一個(gè)單位向量都由它們所在參考坐標(biāo)系著的三個(gè)分量表 示。這樣，坐標(biāo)系F可以由三個(gè)向量以矩陣的形式表示為：nx Ox axF = ny Oy ay（ 2.7）圖2.5坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的表示nz Oz az j2.3.4坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系中的表示如果一個(gè)坐標(biāo)系不再固定參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)（實(shí)際上也可包括在原點(diǎn)的情況），那么該坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置

10、也必須表示出來。為此，在該坐標(biāo)系原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系 原點(diǎn)之間做一個(gè)向量來表示該坐標(biāo)系的位置（如圖2.6所示）。這個(gè)向量由相對(duì)于參考坐標(biāo)系的三個(gè)向量來表示。這樣，這個(gè)坐標(biāo)系就可以由三個(gè)表示方向的單位向量以及第四個(gè)位置向 量來表示。-nxOxaxPxF =nyOyayPy（2.8）nzOzazPz-_0001 一圖2.6 個(gè)坐標(biāo)系在另一個(gè)坐標(biāo)系中的表示如式（2.8）所示，前三個(gè)向量是 w=0的方向向量，表示該坐標(biāo)系的三個(gè)單位向量 n,o,a的方 向，而第四個(gè)w=1的向量表示該坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置。與單位向量不同，向量P的長度十分重要，因而使用比例因子為1。坐標(biāo)系也可以由一個(gè)沒有比例因子的

11、3 4矩陣表示，但不常用。例2.2如圖2.7所示的F坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系中3，5，7的位置，它的n軸與x軸平行，o 軸相對(duì)于y軸的角度為45, a軸相對(duì)于z軸的角度為45。該坐標(biāo)系可以表示為：10030 0.707 0.707 5F =0 0.7070.70770 0 0 1一2.3.5剛體的表示一個(gè)物體在空間的表示可以這樣實(shí)現(xiàn)：通過在它上面固連一個(gè)坐標(biāo)系，再將該固連的坐 標(biāo)系在空間表示出來。由于這個(gè)坐標(biāo)系一直固連在該物體上，所以該物體相對(duì)于坐標(biāo)系的位 姿是已知的。因此，只要這個(gè)坐標(biāo)系可以在空間表示出來，那么這個(gè)物體相對(duì)于固定坐標(biāo)系 的位姿也就已知了（如圖2.8所示）。如前所述，空間坐標(biāo)系可以

12、用矩陣表示，其中坐標(biāo)原點(diǎn) 以及相對(duì)于參考坐標(biāo)系的表示該坐標(biāo)系姿態(tài)的三個(gè)向量也可以由該矩陣表示出來。于是有：-nxOxaxPx!Fobject -nyOyayPy（2.9）nzOzazPz0001 一如第1章所述，空間中的一個(gè)點(diǎn)只有三個(gè)自由度，它只能沿三條參考坐標(biāo)軸移動(dòng)。但在空間的一個(gè)鋼體有六個(gè)自由度，也就是說，它不僅可以沿著X,Y,Z三軸移動(dòng)，而且還可繞這三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，要全面地定義空間以物體，需要用6條獨(dú)立的信息來描述物體原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中相對(duì)于三個(gè)參考坐標(biāo)軸的位置，以及物體關(guān)于這三個(gè)坐標(biāo)軸的姿態(tài)。而式（2.9） 給出了 12條信息，其中9條為姿態(tài)信息，三條為位置信息（排除矩陣中最后一行的

13、比例因子, 因?yàn)樗鼈儧]有附加信息）。顯然，在該表達(dá)式中必定存在一定的約束條件將上述信息數(shù)限制為6。因此，需要用6個(gè)約束方程將12條信息減少到6條信息。這些約束條件來自于目前尚未 利用的已知的坐標(biāo)系特性，即：三個(gè)向量n,o,a相互垂直每個(gè)單位向量的長度必須為1圖2.8空間物體的表示我們可以將其轉(zhuǎn)換為以下六個(gè)約束方程：（1）n o =0（2）n a =0（3）a o = 0（4） |n =1 （向量的長度必須為1）（2.10）（5）o|=1（6）a =1因此，只有前述方程成立時(shí)，坐標(biāo)系的值才能用矩陣表示。否則，坐標(biāo)系將不正確。式（2.10） 中前三個(gè)方程可以換用如下的三個(gè)向量的叉積來代替：n o

14、= a（ 211）例2.3對(duì)于下列坐標(biāo)系，求解所缺元素的值，并用矩陣來表示這個(gè)坐標(biāo)系。_ ?0?50. 707?3F =? 0 2.00 0 解：顯然，表示坐標(biāo)系原點(diǎn)位置的值 5, 3, 2對(duì)約束方程無影響。注意在三個(gè)方向向量中只有三個(gè)值是給定的，但這也已足夠了。根據(jù)式（2.10），得：nx Ox+ ny 0廣 nz oz0或nx（ 0 曠 0. 7 0）y7 f n） Oz 千）nx a* ny a, a0比心乂)0.7 07y(憶 ay Qy 予 0 =)nx2 0. 7 07 nz 2二102 oy 2 oz 2= 1ax2 ay 20 2=10.707oy nzoz =0nxax 0.

15、707ay =0ayOy =022nx nz 0.522Oy Oz 1a 2 + a 2 = 1xy解這六個(gè)方程得：nx 二 0.707,nz =0,oy =0,oz =1,ax 二-0.707和ay 二-0.7070應(yīng)注意，nx和ax0.70700.7 07_-0. 70700.7 fl-0.70700.7 073F =0. 70 700.70-010t20 1020001或0 001 一3F =必須同號(hào)。非唯一解的原因是由于給出的參數(shù)可能得到兩組在相反方向上相互垂直的向 量。最終得到的矩陣如下：由此可見，兩個(gè)矩陣都滿足約束方程的要求。但應(yīng)注意三個(gè)方向向量所表述的值不是任 意的，而是受這些約

16、束方程的約束，因此不可任意給矩陣賦值。同樣，可通過n與o叉乘并令其等于a，即n o=a來求解，表示如下：nxOxnyOyzrz或表示為:i(nyOz -nzOy) - j(nxOz -。%) kOy -nyOx) = aj ayjazk將值代入方程得:i( 0. 7 07- n o -)j n O ) k xn yO ) xa i ya j k同時(shí)解下面這三個(gè)方程:_nxo z = a 氐0=0以此來代替三個(gè)點(diǎn)乘方程。聯(lián)立三個(gè)單位向量長度的約束方程，便得到六個(gè)方程，求解這六 個(gè)方程，可得到相同的未知參數(shù)的解。2.4齊次變換矩陣由于各種原因，變換矩陣應(yīng)寫成方型形式，3 3或4 4均可。首先，如后

17、面看到的，計(jì)算方形矩陣的逆要比計(jì)算長方形矩陣的逆容易得多。其次，為使兩矩陣相乘，它們的維數(shù)必 須匹配，即第一矩陣的列數(shù)必須與第二矩陣的行數(shù)相同。如果兩矩陣是方陣則無上述要求。 由于要以不同順序?qū)⒃S多矩陣乘在一起得到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程，因此，應(yīng)采用方陣進(jìn)行計(jì)算。為保證所表示的矩陣為方陣，如果在同一矩陣中既表示姿態(tài)又表示位置，那么可在矩陣 中加入比例因子使之成為4 4矩陣。如果只表示姿態(tài)，則可去掉比例因子得到 3 3矩陣，或 加入第四列全為0的位置數(shù)據(jù)以保持矩陣為方陣。這種形式的矩陣稱為齊次矩陣，它們寫為：nx0xaxny0yayPx(2.12)nz0z0az0Pz2.5變換的表示變換定義為空間的一個(gè)

18、運(yùn)動(dòng)。當(dāng)空間的一個(gè)坐標(biāo)系（一個(gè)向量、一個(gè)物體或一個(gè)運(yùn)動(dòng)坐 標(biāo)系）相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，這一運(yùn)動(dòng)可以用類似于表示坐標(biāo)系的方式來表示。這 是因?yàn)樽儞Q本身就是坐標(biāo)系狀態(tài)的變化（表示坐標(biāo)系位姿的變化），因此變換可以用坐標(biāo)系來 表示。變換可為如下幾種形式中的一種：純平移繞一個(gè)軸的純旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合為了解它們的表示方法，我們將逐一進(jìn)行探討。2.5.1純平移變換的表示如果一坐標(biāo)系（它也可能表示一個(gè)物體）在空間以不變的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，那么該坐標(biāo)就是純 平移。在這種情況下，它的方向單位向量保持同一方向不變。所有的改變只是坐標(biāo)系原點(diǎn)相 對(duì)于參考坐標(biāo)系的變化，如圖 2.9所示。相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系的新的坐標(biāo)系的

19、位置可以用 原來坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩陣形式，新坐標(biāo)系的表示可以 通過坐標(biāo)系左乘變換矩陣得到。由于在純平移中方向向量不改變，變換矩陣T可以簡單地表dx示為：dy1 0(2.13)dz0 1 T =0 0.0 0圖2.9空間純平移變換的表示其中dx,dy,dz是純平移向量d相對(duì)于參考坐標(biāo)系x,y,z軸的三個(gè)分量?？梢钥吹?，矩陣的前列表示沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（等同于單位陣）新的坐標(biāo)系位置為:j00dx 11OxaxPxlOxax +Pxd010dyXnyOyayPynyoyay +Pyd001dznzOzazPznzOzaz +Pzd衛(wèi)001_1000*0001XyzFnew而

20、最后一列表示平移運(yùn)動(dòng)。(2.14)這個(gè)方程也可用符號(hào)寫為:Fn ew二 T r a(is xdyd R F d(2.15)首先，如前面所看到的，新坐標(biāo)系的位置可通過在坐標(biāo)系矩陣前面左乘變換矩陣得到，后面 將看到，無論以何種形式，這種方法對(duì)于所有的變換都成立。其次可以注意到，方向向量經(jīng) 過純平移后保持不變。但是，新的坐標(biāo)系的位置是 d和P向量相加的結(jié)果。最后應(yīng)該注意到,齊次變換矩陣與矩陣乘法的關(guān)系使得到的新矩陣的維數(shù)和變換前相同。例2.4坐標(biāo)系F沿參考坐標(biāo)系的x軸移動(dòng)9個(gè)單位，沿z軸移動(dòng)5個(gè)單位。求新的坐標(biāo)系位-_ 0.5270.369-0.5740.8190.6280.439513F =-0.

21、76600.64380001 一解：由式（2.14）或式（2.15）得:區(qū)=Tra ns(dx,dy,dz)氐 Tran s(9,0,5)卩。罔090.527-0.5270.6285100X0.3690.8190.439315-0.76600.643801 一0001一1 00 1 F =0 0.0 00.527-0.5740.628140.3690.8190.43931-0.76600.64313.0001 一2.5.2繞軸純旋轉(zhuǎn)變換的表示為簡化繞軸旋轉(zhuǎn)的推導(dǎo)，首先假設(shè)該坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)并且與之平行，之后 將結(jié)果推廣到其他的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的組合。假設(shè)坐標(biāo)系（n,o,a）位于參考坐標(biāo)系

22、（x,y,z）的原點(diǎn)，坐標(biāo)系（n,o,a）繞參考坐標(biāo)系 的x軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度再假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（n,o,a）上有一點(diǎn)P相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為 Pc,R,FZ，相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為Pn,Po,Pa。當(dāng)坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，坐標(biāo)系上的點(diǎn)P也 隨坐標(biāo)系一起旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)之前，P點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是相同的（這時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系位 置相同，并且相互平行）。旋轉(zhuǎn)后，該點(diǎn)坐標(biāo)Pn,Po,Fa在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（x ,y ,z）中保持不變，但 在參考坐標(biāo)系中Px，F(xiàn)y,FZ卻改變了（如圖2.10所示）。現(xiàn)在要求找到運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后 P相對(duì) 于固定參考坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。讓我們從x軸來觀察在二維平面上的同一點(diǎn)的坐標(biāo)，圖2.1

23、0顯示了點(diǎn)P在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)。點(diǎn)P相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是 P（,Py,Pz，而相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（點(diǎn)P所固連的坐標(biāo)系）的坐標(biāo)仍為Pn，Po，R。由圖2.11可以看出，Px不隨坐標(biāo)系統(tǒng)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，而Py和PZ卻改變了，可以證明Pc =Pn(2.16)Py 斗 -12 二 Rcosv - Pa sin巳=l3 I4 二 Rsin Pacost寫成矩陣形式為:_100 1Pn!Py=0cos日-s in 日Po1 Psin日cos日faj(2.17)圖2.10在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)的坐標(biāo)a可見，為了得到在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的點(diǎn)P （或向量P）的坐標(biāo)必須左乘旋轉(zhuǎn)矩陣。這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩

24、陣只適用于繞參考坐標(biāo)系的x軸做純旋轉(zhuǎn)變換的情況，它可表示為：匕yz=Ro（t,*）Poa（ 2.18）注意在式（2.17）中，旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列表示相對(duì)于 x軸的位置，其值為1，0，0，它表示沿 x軸的坐標(biāo)沒有改變。為簡化書寫，習(xí)慣用符號(hào)Cd表示cos，以及用Sr表示Sins因此，旋轉(zhuǎn)矩陣也可寫為：1 0 0(2.19)Ro(t x 0 ec - es0 st C9 J可用同樣的方法來分析坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系 y軸和z軸旋轉(zhuǎn)的情況，可以證明其結(jié)果為:100Rot(x,e)=0ceS和0STC日J(rèn)100Rot(x)=0CT-S90STC日 J(2.20)式（2.18）也可寫為習(xí)慣的形式，以便于理解不

25、同坐標(biāo)系間的關(guān)系，為此，可將該變換口丁DR表示為Tr （讀作坐標(biāo)系R相對(duì)于坐標(biāo)系U（ Uni verse）的變換），將Pnoa表示為P（ P相對(duì)于坐標(biāo)系R），將Pxyz表示為uP（ P相對(duì)于坐標(biāo)系U ），式（2.18）可簡化為:(2.21)u p = u_R 疋 Rp由上式可見，去掉R便得到了 P相對(duì)于坐標(biāo)系U的坐標(biāo)。例2.5旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中有一點(diǎn)P（2 3 4/，此坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)90度。求旋轉(zhuǎn)后 該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)，并且用圖解法檢驗(yàn)結(jié)果。解：由于點(diǎn)P固連在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，因此點(diǎn)P相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)在旋轉(zhuǎn)前后保持不變。 該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：Px|Py?zj100co

26、s t-sin vsin。 cos。Fa如圖2.12所示，根據(jù)前面的變換，得到旋轉(zhuǎn)后P點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為2, -4, 3.圖2.12相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)2.5.3復(fù)合變換的表示復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組 成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。例如，為了完成所要求的 變換，可以先繞x軸旋轉(zhuǎn)，再沿x, y,z軸平移，最后繞y軸旋轉(zhuǎn)。在后面將會(huì)看到，這個(gè)變換順序很重要，如果顛倒兩個(gè)依次變換的順序，結(jié)果將會(huì)完全不同為了探討如何處理復(fù)合變換，假定坐標(biāo)系（n,O,a ）相對(duì)于參考坐標(biāo)系（x, y,z ）依次進(jìn) 行了下面三

27、個(gè)變換：（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)度；（2）接著平移H 12 131 （分別相對(duì)于x,y,z軸）；（3）最后繞y軸旋轉(zhuǎn)：度。比如點(diǎn)Pnoa固定在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，開始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。隨著坐標(biāo)系（n,0,a）相對(duì)于參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者平移時(shí)，坐標(biāo)系中的P點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，P點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用下列方程進(jìn)行計(jì)算。R,xyz = Rot（X,XPnoa心才其中，P,xyz是第一次變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。第二次變換后，該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是：P2xyz=TranS,l 21,超八心時(shí) T r a 両 2,13）。 REotnNa

28、P同樣，第三次變換后，該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：Pxyz= P, xyW R0t ,y ） 2,P xyz 代。,T1） S2l, B ） l ： R 0 t 睥 a P可見，每次變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)都是通過用每個(gè)變換矩陣左乘該點(diǎn)的坐標(biāo)得到的。當(dāng)然，矩陣的順序不能改變。同時(shí)還應(yīng)注意，對(duì)于相對(duì)于參考坐標(biāo)系的每次變換, 矩陣都是左乘的。因此，矩陣書寫的順序和進(jìn)行變換的順序正好相反。例2.6固連在坐標(biāo)系(n,o,a)上的點(diǎn)P 7 32)t經(jīng)歷如下變換，求出變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；接著繞y軸旋轉(zhuǎn)90 度;(3) 接著再平移4，-3, 7 0 解：表示該變換的

29、矩陣方程為：Pxy尸 T r afiS- 3, 7 )Rot( y 9nQ0P1 00 1I0 0.0 00100-0從圖2.13可以看到,(n,o,a )坐標(biāo)系首先繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，接著繞y軸旋轉(zhuǎn)，最后相對(duì)于參考坐標(biāo)系的x,y,z軸平移。坐標(biāo)系中的P點(diǎn)相對(duì)于n,O,a軸的位置如圖所示，最后該點(diǎn)在x, y,z軸上的坐標(biāo)分別為4+2=6，-3+7=4，7+3=10。請(qǐng)確認(rèn)也能從圖中理解上述結(jié)果圖2.13三次順序變換的結(jié)果T例2.7根據(jù)上例，假定(n,o,a)坐標(biāo)系上的點(diǎn)P(7 3 2)經(jīng)歷相同變換，但變換按如下不同 順序進(jìn)行，求出變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。(1) 繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；（2）

30、接著平移4，-3，7；（3）接著再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度。解： 表示該變換的矩陣方程為：Pyz = Rot（y,90）Trans（4, -3,7） Rot（z,90） Pnoa =00-1010010000100001010 0 0y340 0 10A.2-10 0 0 1 一1 _11 一079040-3712.6完全相同，但由于變換的順序變了，該點(diǎn)最終坐標(biāo)不難發(fā)現(xiàn)，盡管所有的變換與例0變換的順序改變將改變最終結(jié)果因此向下旋轉(zhuǎn)了，坐標(biāo)系上點(diǎn) P的位置也顯示在圖中。圖 2.14與前例完全不同。用圖2.14可以清楚地說明這點(diǎn)，這時(shí)可以看出，盡管第一次變換后坐標(biāo)系 的變化與前例完全相同，但第二次變換后結(jié)

31、果就完全不同，這是由于相對(duì)于參考坐標(biāo)系軸的 平移使得旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系n,o,a向外移動(dòng)了。經(jīng)第三次變換，該坐標(biāo)系將繞參考坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn),2.5.4相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換到目前為止，本書所討論的所有變換都是相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系。也就是說，所有平移、 旋轉(zhuǎn)和距離（除了相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的點(diǎn)的位置）都是相對(duì)參考坐標(biāo)系軸來測量的。然而事 實(shí)上，也有可能做相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的軸的變換。例如，可以相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo) 系（也就是當(dāng)前坐標(biāo)系）的n軸而不是參考坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)90度。為計(jì)算當(dāng)前坐標(biāo)系中的 點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的變化，這時(shí)需要右乘變換矩陣而不是左乘。由于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中 的點(diǎn)或物體的位置總是相對(duì)于運(yùn)

32、動(dòng)坐標(biāo)系測量的，所以總是右乘描述該點(diǎn)或物體的位置矩陣?yán)?.8假設(shè)與例2.7中相同的點(diǎn)現(xiàn)在進(jìn)行相同的變換，但所有變換都是相對(duì)于當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)坐 標(biāo)系，具體變換出如下。求出變換完成后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。（1）繞a軸旋轉(zhuǎn)90度；（2）然后沿n,o,a軸平移4，-3, 7；（3）接著繞o軸旋轉(zhuǎn)90度。解：在本例中，因?yàn)樗髯儞Q是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，因此右乘每個(gè)變換矩陣，可得表示該 坐標(biāo)的方程為：PXyz = Rot（a,90）Trans（4,3,7） Rot（o,90） Pna 二0 -1 0 010 0400 107010 0 0X0 10-30 10 0X360 0 100 0 17-10 0

33、 0200 0 0 1 一0 0 0 1 一0 0 0 1一1_11 一如所期望的，結(jié)果與其他各例完全不同，不僅因?yàn)樗髯儞Q是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，而且也 因?yàn)榫仃図樞虻母淖儭Ｏ旅娴膱D展示了這一結(jié)果，應(yīng)注意它是怎樣相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)來完成這 個(gè)變換的。同時(shí)應(yīng)注意，在當(dāng)前坐標(biāo)系中p點(diǎn)的坐標(biāo)7, 3, 2是變換后得到相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo) 0， 6，0 的。第V吸啞換后圖2.15相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的變換例2.9坐標(biāo)系B繞x軸旋轉(zhuǎn)90，然后沿當(dāng)前坐標(biāo)系a軸做了 3英寸的平移，然后在繞z 軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿當(dāng)前坐標(biāo)系o軸做5英寸的平移。（a）寫出描述該運(yùn)動(dòng)的方程。(b)求坐標(biāo)系中的點(diǎn)p (1, 5, 4)相對(duì)

34、于參考坐標(biāo)系的最終位置。 解：在本例中，相對(duì)于參考坐標(biāo)系以及當(dāng)前坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)是交替進(jìn)行的 (a)相應(yīng)地左乘或右乘每個(gè)運(yùn)動(dòng)矩陣，得到：uTB=Rot (乙90)Rot(x,90)Trans(0,0,3)Trans(0,5,0)(b)帶入具體的矩陣并將它們相乘,0010Up 二UTbBp 二010衛(wèi)-1000得到:0 100100V1000一10001-1001000105000013001001_0001_0001_0010001710 0 10 10 10-0 0 0 12.6變換矩陣的逆正如前面所提到的，在機(jī)器人分通過析中有很多地方要用到矩陣的逆，在下面的例子中 可以看到一種涉及變換矩陣的情

35、況。在圖 2.16中，假設(shè)機(jī)器人要在零件p上鉆孔而須向零件 p處移動(dòng)。機(jī)器人基座相對(duì)于參考坐標(biāo)系 u的位置用坐標(biāo)系R來描述，機(jī)器人手用坐標(biāo)系 H 來描述，末端執(zhí)行器(即用來鉆孔的鉆頭的末端)用坐標(biāo)系E來描述，零件的位置用坐標(biāo)系P來描述。鉆孔的點(diǎn)的位置于參考坐標(biāo)系 U可以通過兩個(gè)獨(dú)立的路徑發(fā)生聯(lián)系：一個(gè)是通過 該零件的路徑，另一個(gè)是通過機(jī)器人的路徑。因此，可以寫出下面的方程：(2.24)這就是說，該零件中點(diǎn)E的位置可以通過從U變換到P,并從P變換到E來完成，或者從U 變換到R,從R變換到H，再從H變換到E。事實(shí)上，由于在任何情況下機(jī)器人的基座位置在安裝時(shí)就是已知的，因此變換UTr(坐標(biāo)系R相對(duì)于

36、坐標(biāo)系U的變換)時(shí)已知的。比如，一個(gè)機(jī)器人安裝在一個(gè)工作臺(tái)上，由于它被緊固在 工作臺(tái)上，所以它的基座的位置時(shí)已知的。即使機(jī)器人時(shí)可移的或放在傳送帶上，因?yàn)榭刂破魇冀K掌控著機(jī)器人基座的運(yùn)動(dòng)，因此它在任意時(shí)刻的位置也是已知的。由于用于末端執(zhí)行 器的任何器械都是已知的，而且其尺寸和結(jié)構(gòu)也是已知的，所以hte （機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于機(jī)器人手的變換）也是已知的。此外，UTp （零件相對(duì)于全局坐標(biāo)系的變換）也是已知的，還必須要知道將在其上面鉆孔的零件的位置，該位置可以通過將該零件放在鉆模上，讓 后用照相機(jī)，視覺系統(tǒng)，傳送帶，傳感器或其他類似儀器來確定。最后需要知道零件上鉆孔 的位置，所以pTe也是已知的

37、。此時(shí)，唯一未知的變換就是RTh （機(jī)器人手相對(duì)于機(jī)器人基座 的變換）o因此，必須找出機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量（機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角度以及滑動(dòng)關(guān)節(jié)的連桿長 度），以便將末端執(zhí)行器定位在要鉆孔的位置上?？梢?，必須要計(jì)算出這個(gè)變換，它指出機(jī)器 人需要完成的工作。后面將用所求出的變換來求解機(jī)器人關(guān)節(jié)的角度和連桿的長度。不能像在代數(shù)方程中那樣來計(jì)算這個(gè)矩陣， 即不能簡單的用方程的右邊除以方程的左邊, 而應(yīng)該用合適的矩陣的逆并通過左乘或右乘來將它們從左邊去調(diào)。因此有：（uTr）（uTrRTh HTE）（HTEr=（UTRrJ（UTpPTE）（HTE）由于（UTr）（UTr） =1和（HTe）（hTe）=1，式（2

38、.25）的左邊可簡化為rTh，于是得：(2.26)RU 1U P H 1TH 二 T R Ip TE TE該方程的正確性可以通過認(rèn)為E|h與CTe），相同來加以檢驗(yàn)。因此，該方程可重寫為:RUTrJ U(2.27)顯然為了對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，需要能夠計(jì)算變換矩陣的逆。 我們來看看關(guān)于x軸的簡單旋轉(zhuǎn)矩陣的求逆計(jì)算情況。關(guān)于 x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣是：1 0 0Ro（t x 0 ec BS（2.28）0 S日 C6 J必須采用一下的步驟來計(jì)算矩陣的逆：計(jì)算矩陣的行列式；將矩陣轉(zhuǎn)置；將轉(zhuǎn)置矩陣的每個(gè)元素用它的子行列式（伴隨矩陣）代替；用轉(zhuǎn)換后的矩陣除以行列式。將上面的步驟用到該旋轉(zhuǎn)，得到：= 1（C 勺

39、 S2 巧 0=11 0 0Ro（t X ） =06c 日 S0 -S日c町現(xiàn)在計(jì)算每一個(gè)子行列式（伴隨矩陣）。例如，元素2, 2的子行列式是-0=cr，元 素1, 1的子行列式C S =1。可以注意到，這里的每一個(gè)元素的子行列式與其本身相同， 因此有：Rot(x 卩)mior =Rot x(d,T )由于原旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式為 1因此用Rot(X)Tminor矩陣除以行列式仍得出相同的結(jié)果。因此，關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣的逆的行列式與它的轉(zhuǎn)置矩陣相同，即：Rot(x,二宀 Rot(x,RT( 2.29)當(dāng)然，如果采用附錄A中提到的第二種方法也能得到同樣的結(jié)果。具有這種特征的矩陣 稱為酉矩陣，也就是說

40、所有的旋轉(zhuǎn)矩陣都是酉矩陣。因此，計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣的逆就是將該矩陣 轉(zhuǎn)置?？梢宰C明，關(guān)于y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣同樣也是酉矩陣。應(yīng)注意，只有旋轉(zhuǎn)矩陣才是酉矩陣。如果一個(gè)矩陣不是一個(gè)簡單的旋轉(zhuǎn)矩陣，那么它也 許就不是酉矩陣。以上結(jié)論只對(duì)簡單的不表示位置的3X3旋轉(zhuǎn)矩陣成立。對(duì)一個(gè)齊次的 4X4變換矩陣而言，它的求逆可以將矩陣分為兩部分。矩陣的旋轉(zhuǎn)部分仍是酉矩陣，只需簡單的轉(zhuǎn)置；矩陣 的位置部分是向量P分別與n,o, a向量點(diǎn)積的負(fù)值，其結(jié)果為:-nOxaxPx 1F =nyOyayPy(2.30)nzOzazPz0001 _-nxnynz-PF =OxOyOzP Oaxayaz-P a0001一如上所示，

41、矩陣的旋轉(zhuǎn)部分是簡單的轉(zhuǎn)置，位置的部分由點(diǎn)乘的負(fù)值代替，而最后一行(比例因子)則不受影響。這樣做對(duì)于計(jì)算變換矩陣的逆是很有幫助的，而直接計(jì)算4X4矩陣的逆是一個(gè)很冗長的過程。例2.10計(jì)算表示Rot(x,40 )的矩陣解：繞x軸旋轉(zhuǎn)40的矩陣為:-100Rot(x,40 )=00.766-0.64300.6430.7660100.0 0 0 1其矩陣的逆是:Rot(x,40 )=0.7660.643-0.643 0.766需注意的是，由于矩陣的位置向量為0,它與n,o,a向量的點(diǎn)積也為零例2.11計(jì)算如下變換矩陣的逆-0.500.866310.8660-52T =010510001解：根據(jù)先前

42、的計(jì)算，變換矩陣的逆是:一 0.50.8660T J =0010.866-0.50.000-(3 0.5 2 0.866 5 0) _(3疋0 + 2疋0 + 5 匯 1) (3x0.866 + 20.5 + 5x0)10. 50. 86 6 -03. 2001- 50. 8 66 0. 5 -01. 598.0 0 0 1 一可以證明TT是單位陣?yán)?.12 個(gè)具有六個(gè)自由度的機(jī)器人的第五個(gè)連桿上裝有照相機(jī)，照相機(jī)觀察物體并測定它 相對(duì)于照相機(jī)坐標(biāo)系的位置，然后根據(jù)以下數(shù)據(jù)來確定末端執(zhí)行器要到達(dá)物體所必須完成的 運(yùn)動(dòng)。.0-1 3 -10 0 0 0 5 0 0 1_00 00 01 40 1

43、0 0 1 2110 0 010 0 2H0 10 0Te =0 10 400130 0 0 1一ii0 0 0 1衛(wèi)0camTobj解：參照式（2.24），可以寫出一個(gè)與它類似的方程，它將不同的變換和坐標(biāo)系聯(lián)系在一起。HER5-pTETobj _ 5=cam由于方程兩邊都有rT5，所以可以將它消去。除了 ETobj之外所有其他矩陣都是已知的，所以：j00011 1001H十101005十1-1000HTe =5Th=001001-40001 _10001 一將矩陣及矩陣的逆代入前面的方程，得:一1000010000 -1300120100-10000-1001002丸=001-3001-4-

44、100501040001 _0001 _0001_0001 一.0 0 0-2【1412.7機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)假設(shè)有一個(gè)構(gòu)型已知的機(jī)器人，即它的所有連桿長度和關(guān)節(jié)角度都是已知的，那么計(jì)算 機(jī)器人手的位姿就稱為正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。換言之，如果已知所有機(jī)器人關(guān)節(jié)變量，用正運(yùn)動(dòng)學(xué) 方程就能計(jì)算任一瞬間機(jī)器人的位姿。然而，如果想要將機(jī)器人的手放在一個(gè)期望的位姿， 就必須知道機(jī)器人的每一個(gè)連桿的長度和關(guān)節(jié)的角度，才能將手定位在所期望的位姿，這就 叫做逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，也就是說，這里不是把已知的機(jī)器人變量代入正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，而是 要設(shè)法找到這些方程的逆，從而求得所需的關(guān)節(jié)變量，使機(jī)器人放置在期望的位姿。事實(shí)上，

45、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程更為重要，機(jī)器人的控制器將用這些方程來計(jì)算關(guān)節(jié)值，并以此來運(yùn)行機(jī)器人 到達(dá)期望的位姿。下面首先推導(dǎo)機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后利用這些方程來計(jì)算逆運(yùn)動(dòng)學(xué) 方程。對(duì)正運(yùn)動(dòng)學(xué)，必須推導(dǎo)出一組與機(jī)器人特定構(gòu)型 （將構(gòu)件組合在一起構(gòu)成機(jī)器人的方法） 有關(guān)的方程，以使得將有關(guān)的關(guān)節(jié)和連桿變量代入這些方程就能計(jì)算出機(jī)器人的位姿，然后 可用這些方程推出逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。根據(jù)第一章中的相關(guān)內(nèi)容，要確定一個(gè)剛體在空間的位姿，須在物體上固連一個(gè)坐標(biāo)系， 然后描述該坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置和它三個(gè)軸的姿態(tài)，總共需要六個(gè)自由度或六條信息來完整地 定義該物體的位姿。同理，如果要確定或找到機(jī)器人手在空間的位姿，也必須在機(jī)器

46、人手上 固連一個(gè)坐標(biāo)系并確定機(jī)器人手坐標(biāo)系的位姿，這正是機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程所要完成的任務(wù)。 換言之，根據(jù)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)的構(gòu)型配置，可用一組特定的方程來建立機(jī)器人手的坐標(biāo)系 和參考坐標(biāo)系之間的聯(lián)系。圖2.17所示為機(jī)器人手的坐標(biāo)系、參考坐標(biāo)系以及它們的相對(duì)位 姿，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系與機(jī)器人的構(gòu)型有關(guān)。當(dāng)然，機(jī)器人可能有許多不同的構(gòu)型，后 面將會(huì)看到將如何根據(jù)機(jī)器人的構(gòu)型來推導(dǎo)出與這兩個(gè)坐標(biāo)系相關(guān)的方程。為使過程簡化，可分別分析位置和姿態(tài)問題，首先推導(dǎo)出位置方程，然后再推導(dǎo)出姿態(tài)方程，再將兩者結(jié)合在一起而形成一組完整的方程。最后，將看到關(guān)于Den avit-Harte nberg表示法的應(yīng)用，

47、該方法可用于對(duì)任何機(jī)器人構(gòu)型建模。2.7.1位置的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)于機(jī)器人的定位，可以通過相對(duì)于任何慣用坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。比如，基于直角坐 標(biāo)系對(duì)空間的一個(gè)點(diǎn)定位，這意味著有三個(gè)關(guān)于x, y, z軸的線性運(yùn)動(dòng)，此外，如果用球坐標(biāo)來 實(shí)現(xiàn)，就意味著需要有一個(gè)線性運(yùn)動(dòng)和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。常見的情況有：（a）笛卡爾（臺(tái)架，直角）坐標(biāo)（b）圓柱坐標(biāo)（c）球坐標(biāo)（d）鏈?zhǔn)剑〝M人或全旋轉(zhuǎn)）坐標(biāo)2.7.1.1笛卡爾（臺(tái)架，直角）坐標(biāo)這種情況下有三個(gè)沿x,y,z軸的線性運(yùn)動(dòng)，這一類型的機(jī)器人所有的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)都是線性的 （比如液壓活塞或線性動(dòng)力絲杠），這時(shí)機(jī)器人手的定位是通過三個(gè)線性關(guān)節(jié)分別沿三個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)來完成的（

48、如圖2.18所示）。臺(tái)架式機(jī)器人基本上就是一個(gè)直角坐標(biāo)機(jī)器人，只不過是當(dāng)然，如果沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，表示向 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變換矩陣是一種簡單的平移變換矩陣，下 面將可以看到這一點(diǎn)。注意這里只涉及坐標(biāo)系原點(diǎn)的定位，而不涉及姿態(tài)。在直角坐標(biāo)系中， 表示機(jī)器人手位置的正運(yùn)動(dòng)學(xué)變換矩陣為：100 衛(wèi) 其中RTp是參考坐標(biāo)系與手坐標(biāo)系原點(diǎn)RTp = Tcart01000010PxPyPz1(2.31)P的變換矩陣，而Tcart表示直角坐標(biāo)變換矩陣。對(duì)于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解，只需簡單地設(shè)定期望的位置等于P.例2.13要求笛卡爾坐標(biāo)機(jī)器人手坐標(biāo)系原點(diǎn)定位在點(diǎn)P=I3 4 7T，計(jì)算所需要的笛卡兒坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)定正運(yùn)動(dòng)學(xué)方

49、程用式（2.31）中的rTp矩陣表示，根據(jù)期望的位置可得知如下結(jié)果:RTp100衛(wèi)01000010j00衛(wèi)0100001031471或巳=3,Py=4,R = 72.7.1.2圓柱坐標(biāo)圓柱型坐標(biāo)系統(tǒng)包括兩個(gè)線性平移運(yùn)動(dòng)和一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其順序?yàn)椋合妊豿軸移動(dòng)r,再繞z軸旋轉(zhuǎn)角，最后沿z軸移動(dòng)丨，如圖2.19所示。這三個(gè)變換建立了手坐標(biāo)系與參考坐標(biāo) 系之間的聯(lián)系。由于這些變換都是相對(duì)于全局參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的，因此由這三個(gè)變換所 產(chǎn)生的總變換可以通過依次左乘每一個(gè)矩陣而求得：TP =Tcyi (r, ： ,1) =Trans(0,0, l)Rot(z, ： )Trans(r,0,0)(2.32)-

50、1 0 0 0-3-S 0 010 0 r0 10 08C。0 00 10 0Tp =*0 0 110 0 1 00 0 10-0 0 0 1 一0 0 0 1一10 0 0 1R(2.33)C：-S 0 rC |Rgg0rS。f 001l.0001一經(jīng)過一系列變換后，前三列表示了坐標(biāo)系的姿態(tài)，然而我們只對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置即最 后一列感興趣。顯然，在圓柱型坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)中，由于繞 z軸旋轉(zhuǎn)了角，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的姿態(tài)也 將改變，這一改變將在后面討論。實(shí)際上，可以通過繞n,o,a坐標(biāo)系中的a軸旋轉(zhuǎn)角度使坐標(biāo)系回轉(zhuǎn)到和初始參考坐標(biāo) 系平行的狀態(tài)，它等效于圓柱坐標(biāo)矩陣右乘旋轉(zhuǎn)矩陣（a,=），其結(jié)果是，該坐標(biāo)系的位置仍 在同一地方，但其姿態(tài)再次平行于參考坐標(biāo)系，如下所示：