專題提升5與垂徑定理有關的輔助線

1、專題提升5與垂徑定理有關的輔助線AB寬為8 cm,輸i如圖所示為一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，若水面 水管底部到水面的距離為2 cm則該輸水管的半徑為（C）A. 3 cmB. 4 cm（第1題）C. 5 cmD. 6 cm【解】 連結(jié)OA過點O作OCL AB交AB于點D設該輸水管的半徑為 r(cm)./ AB寬為 8 cm , AD= 4 cm./ DC= 2 cm,. OD= (r 2) cm , r2= (r 2)2+ 42, r = 5(cm).2.如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xOC為5 m,則水面寬AB為（D）A. 4 mB. 5 m【解】 連結(jié)0AC. 6 mD. 8

2、mT CD= 8, OC= 5,. 0D= 3.2 2 2由已知，得 CDL AB貝U AD= 5 3 , 解得 AD= 4. AB= 8.3.已知O O的直徑CD= 10 cm , AB是O O的弦，ABL CD垂足為 M且AB= 8 cm，貝U AC的 長為(C)A. 2 i15 cm B . 4 .5 cmC. 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 ：3 cm 或 4 3 cm【解】 連結(jié)AO當點C的位置如解圖所示時，易得AC= AM+ ClM= ,42 + 82 = 4 5(cm);當點C的位置如解圖所示時，易得AC= ,；22+ 42= 2 ： 5(cm).（第3題解）4.如圖

3、，O O的直徑為10 cm ,弦AB為8 cm, P是弦AB上一點.若 OP的長是整數(shù)，則滿 足條件的點P有（D）（第4題）A. 2 個B. 3 個C.【解】 過點O作OCL AB于點C,連結(jié)1/ OA= 5, AC= 2AB= 4,. OC= 3. 3w OPc 5,. OP的長為 3 或 4 或 5.當O片3時，點P只能與點C重合；當O圧4時, 2個點P;當OP= 5時，點P與點A或點B重合. 綜上所述，滿足條件的點 P有5個.5.如圖，在以點 O為圓心的同心圓中，大圓的弦 弦心距op= 2cd4個OAD. 5個點P可以在 AC上，也可以在 BC上，有AB交小圓于點 C, D, AB= 2

4、CD弦AB的【解】 連結(jié)OC OAOPL AB1op= cp=2af? / R2= oP+ aP = 50P, AB= 2CD OP= 2CDr2 = OP+ CP= 2OP, R= .5OP r = ：2OP R=-50.6.如圖，O O的半徑OP= 10 cm,弦AB過OP的中點 Q 且/ OQB= 45,則弦 AB的弦心距 為fcm,弦AB的長為5 14cm.（第6題）【解】 過點O作OCL AB于點C,連結(jié)OAO O的半徑OP= 10 cm ,弦AB過OP的中點 Q OQ= 5 cm./ OCQ： 90, / OQ& 45 , OCC為等腰直角三角形， 0C=cm.在Rt AOC中，根

5、據(jù)勾股定理，得 AO ,：0A 00 弓4 cm ,- AB= 2AG= 5 14 cm.7.已知O 0的半徑為2,弦BC= 2 :3 , A是OO上一點，且AB= AC直線A0與 BC交于點D,則AD的長為1或3.【解】VO 0的半徑為2，弦BC= 2 （3, A是O 0上一點，且AB= AC ADL BC1 BD= 2BC= ;3分兩種情況討論：如解圖所示，連結(jié) 0B在 Rt OBD中, bD+ oD= oB, 即（2+ 0D= 22,解得 0D= 1. AD= 0A- 0D= 2 1= 1.（第7題解）0E=0A- 0B_ 6 x 8AB = 7q=4.8E,連結(jié)OC（第8題）如解圖所示

6、，連結(jié) 0B同理于，得 AD= OAF 0D= 2+ 1 = 3.&如圖，在 Rt AOB,Z 0= 90, 0A= 6, 0B= 8.以點0為圓心，0A長為半徑作圓交 AB 于點C,求BC的長.【解】 過點0作AB的垂線，垂足為ab= ；oA+ oB= 6 + 8 = 10, AE= AC)- OE = ：62 4.8 2= 3.6 , AC= 2AE= 7.2 , BC= AB- AC= 10 7.2 = 2.8.（第9題）9 .如圖，AB為OO的直徑，弦 CD/ AB弦DEL AB求證：AC= BE【解】 過圓心0作OGL CD交O O于點G,交CD于點H/ OGL CD 二 CG= D

7、G又 CD/ AB OGLABAG= BG AC= BDDE!AB且AB是OO的直徑， BD= BE AC= BEk10.如圖，半徑為 5的O P與y軸交于點 MO, 4), NO, 10),函數(shù)y=x(x0)的圖象X過點P,求k的值.【解】 過點P作PAL MN于點A,連結(jié)PM, PN點 M(0 , 4) , N(0, 10) , MN= 6./ PAL MN1 MA= 2MN= 3. - OA= | 4| + 3= 7.在 Rt MPA中 ,PA= PM MA=& 32 = 4 ,點 R 4, 7).一k將點F( 4, 7)的坐標代入y= X,得k= 28.z.11.已知 ABC內(nèi)接于O

8、O且AB= AC O O的半徑等于 6 cm ,點O到BC的距離為2 cm, 求AB的長.【解】 當 ABC是銳角三角形時，如解圖所示，連結(jié) OB OA延長AO交BC于點D, 易知ADL BC在 Rt OBE中, OB= 6 cm , OD= 2 cm , BD *JoB OD= 2 = 4 #2(cm).在 Rt ABD中 , / AD- OAF OD- 6 + 2 = 8(cm) , BD- 4 ,2 cm , AB= ,AD+ BD = .82+( 4 ,2) 2 = 4 . 6(cm).(第11題解)當 ABC是鈍角三角形時，如解圖所示，連結(jié)OB OA OA與 BC交于點D,易知OAL

9、 BC 在 Rt OBD中,/OB= 6 cm, O* 2 cm, BD= OB OD= 62 22= 4、2(cm).在 Rt ABD中,/ AD OA- O* 6 2= 4(cm) , BD 4 2 cm , AB= ：BD+ AD = ； (4 2 ) 2 + 42 = 4 ,3(cm).綜上所述，AB的長為4 :6 cm或4 ：3 cm.12如圖所示為一座橋，橋拱是弧形(水面上的部分)，測量時，只測得橋拱下水面寬AB為16 m，橋拱最高處 C離水面4 m.(1) 求橋拱所在圓的半徑.(2) 若大雨過后，橋下水面寬為12 m,問：水面上漲了多少？(第12題)【解】(1)如解圖，設點 O為

10、AB勺圓心，連結(jié) OA OC OC交AB于點D根據(jù)題意，可得 C是AB勺中點，OCL AB1 1 AD= 2AB= 2x 16 = 8(m).設O O的半徑為x(m)，則在Rt OAD中,OA= aD+ OD,即卩 x2= 82 + (x 4)2,解得x= 10.橋拱所在圓的半徑為 10 m.(第12題解)(2)設河水上漲到 EF的位置，如解圖，這時 EF= 12 m, EF/ AB則OCL ER垂足為 M ,1 EM= 2EF= 6 m.連結(jié)OE則有OE= 10 m. OM= ,OE eM =102 62= 8(m)./ OD= OC- CD= 10 4= 6（m）, DM= 01 OD= 8 6= 2（m）,即水面上漲了 2 m.13.工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個尺寸（單位：cm）如圖所示的工件槽，其中工件槽的兩個底角均為90 .將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有如圖所示的 A, B, E三個接觸點，則該球的大小就符合要求如圖是過球心0及A B, E三點的截面示意圖，已知O 0的直徑就是鐵球的直徑，AB是OO的弦，CD與O 0交于點E, ACL CD BDL CD請你結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，計算這種符合要求的鐵球的直徑.（第13題）