全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽代數(shù)題匯總

1、nk1 ， n 1,2,二、求證不等式：1 (2) ln nk 1 k12三、（本題滿分50 分）0 ， k2008設(shè) ak1,2,2008 。證明：當(dāng)且僅當(dāng)ak1 時(shí)，存在數(shù)列xn 滿足以下條件：k 1（） 0 x0xnxn 1 ， n1,2,3, ；（） lim xn 存在；n20082007（） xn xn 1ak xn kak 1 xn k ， n1,2,3,。k 1k 0 證 必要性：假設(shè)存在xn 滿足（），（），（ iii ）注意到（）中式子可化為2008xn k 1 ) ， nN*xnxn 1ak ( xn k， 其中 x00 k1將上式從第1 項(xiàng)加到第 n 項(xiàng)，并注意到x00

2、得xna1( xn1x1)a2 (xn2x2 )a2008 ( xn2008x2008 ) 10 分由（）可設(shè) blim xn ，將上式取極限得n20082008b a1 (bx1 )a2 (bx2 )a2008 (bx2008 )bak( a1x1a2 x2a2008 x2008 )bak ，k1k1因此2008ak120 分k 1充分性：假設(shè)20081定義多項(xiàng)式函數(shù)如下：2008ak sk ， s0,1，akf (s)1k1k 1則 f ( s) 在 0,1 上是遞增函數(shù)，且f (0)10 ， f (1)20080 1k 1ak因此方程 f ( s)0 在 0,1 內(nèi)有唯一的根 ss0 ，

3、且0s01，即 f ( s0 ) 030 分下取數(shù)列 xn，則明顯地 x 為xnk ， n 1,2,滿足題設(shè)條件（） ，且ns0nk 1nn 1xns0ks0s0k 11s0因， 故n 1， 因 此s0sn0 1s 0 ， 即的極限存在，滿足0s0 1l i ms0lim xnlimxn01s01s0nnn（）40 分2008最后驗(yàn)證 xn 滿足（），因 f ( s0 ) 0 ，即ak s0k1 ，從而k1200820082008xnxn 1s0n(ak s0k ) s0nak s0n kak (xn kxn k 1 ) k1k 1k 1綜上，存在數(shù)列 xn 滿足（），（），（）50 分在此記

4、號(hào)系統(tǒng)下，原方程組的第一個(gè)方程為ps2（ 3.1）于是50a, b, cf (x) x3ax 2bx cx1 , x2 , x3x2 x1x31x2 )2a 327c9ab3 3( x1322f(x)=f(x) f(x 3)=(xx3)x22+(a+x 3)x+x 3 +ax3+b22x1,x2x +(a+x 3)x+x 3 +ax3+bx2 x1=(a+x)24(x2+ax3+b)=32223x3 +2ax3+4ba =0x31(x1+x 2)x31 a4a 212b 3 2 ( )234a212b-3 2 0( )10f(x)=x 3+ax2+bx+c= ( xa )3( a 2b)( x

5、a)2 a 3c1 ab20333273f(x 3 )=01 ab2 a 3c( x3a) 3( a 2b)( x3a )( )327333( )x3a14a212b322 3a 2b233334p= a 2b( ) ( )p21 ab2 a3c2 3p2( p2 )343279421 ab2 a 323 y( y 2 32 )y=py 0c30432794y 33 2y2= y 33 2y ( ) 33 2= ( y) 2 ( y ) 04442422123c332a327c 9ab3340aba1832327a=23 ,b=2,c=0,=2f(x)=x 3+ax2+bx+c3131 02a

6、 327c9ab1336333(483 )282a327c9ab3350320 in2knxi1,2, , nxi1xi2xk xji 11 k j nji 1nnkn( xi ) 2xi22xk x j 1xi 1i 1i 11 k j nji 1nixi 1 xj 0 j ix110ii 1nkyk2xkk yk2kyk y j 1k 11k j ny1 y2yna1nny2yna2Mxkk ykk1k 1ynan?a12a22an2130nan 10Mk ( akak 1 )k 1nnnnnk akk ak 1k akk 1ak( kk 1) akk 1k 1k 1k 1k1n1n1n1M ( kk 1 ) 2 2(ak2 ) 2( kk 1 ) 2 2k1k 1k1a12ak2an2?( kk 1 )2( nn 1 ) 21a12a22an2ak2akkk 11 ( 21