傅里葉變換_百度文庫(kù).

1、傅里葉變換 ,拉普拉斯變換和 Z 變換的意義 來(lái)源:于理?yè)P(yáng)的日志 傅里葉變換 在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼 學(xué)、聲學(xué)、 光學(xué)、 海洋學(xué)、 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用 （例如在信號(hào)處 理中, 傅里葉變換的典 型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量。 傅里葉變換能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù) （正弦和 /或余弦函 數(shù) 或者它 們的積分的線(xiàn)性組合。 在不同的研究領(lǐng)域 , 傅里葉變換具有多種不同的 變體形式 , 如連續(xù)傅 里葉變換和離散傅里葉變換。 傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法 ,一種工具 ,一種看待問(wèn)題的角度。理解的關(guān) 鍵是:一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)

2、個(gè)小信號(hào)的疊加 , 從時(shí)域疊加與從頻域疊加都 可以組成原來(lái) 的信號(hào) ,將信號(hào)這么分解后有助于處理。 我們?cè)瓉?lái)對(duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的 ,不知不覺(jué)中 ,其實(shí)是按照時(shí) 間把信 號(hào)進(jìn)行分割 , 每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值 , 一個(gè)信號(hào)是一組這 樣的分量的疊加。 傅里葉變換后 , 其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題 , 只不過(guò)是從頻率的角度去 疊加, 只不過(guò)每個(gè)小信號(hào)是 一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào) , 但他確有固定的周 期,或者說(shuō) ,給了一個(gè)周期 ,我們就 能畫(huà)出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào) ,那么給定一組周 期值（或頻率值 ,我們就可以畫(huà)出其對(duì) 應(yīng)的曲線(xiàn),就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一 樣 ,不

3、過(guò)如果信號(hào)是周期的話(huà) ,頻域的更簡(jiǎn) 單,只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了 ,時(shí)域則 需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。 傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式;逆傅里 葉變換恰 好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以,當(dāng)然把 證明看懂了更好。 對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換 ,可以得到其頻域特性 ,包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅 度是表 示這個(gè)頻率分量的大小 , 那么相位呢 , 它有什么物理意義 ?頻域的相位與時(shí)域 的相位有關(guān)系 嗎 ?信號(hào)前一段的相位 （頻域與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻 率成正比關(guān)系。 傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào) ,分解成無(wú)數(shù)的正弦波 （或者

4、余弦波信號(hào)。也就是說(shuō) 用 無(wú)數(shù)的正弦波 , 可以合成任何你所需要的信號(hào)。 想一想這個(gè)問(wèn)題 :給你很多正弦信號(hào) ,你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢 ?答案是要 兩個(gè) 條件, 一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度 , 另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。 所以 現(xiàn)在應(yīng)該明白 了吧 ,頻域上的相位 ,就是每個(gè)正弦波之間的相位。 傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析 ,一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模 型 ,而數(shù) 字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣 ,而通過(guò)傅立葉變換很容易得到信號(hào) 的頻率域特性。 傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相 位、頻率的 基本正弦 （余弦信號(hào)組合而成 ,傅里葉變換的目

5、的就是找出這些基本正弦 （余弦信號(hào)中 振幅較大 （能量較高信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率 ,從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中的主 要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。 如減速機(jī)故障時(shí) , 通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析 , 根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn) 速、 齒數(shù)與雜音頻譜中振幅 大的對(duì)比 ,可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。 拉普拉斯變換 ,是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。 它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè) 實(shí)變量函 數(shù)作拉普拉斯變換 , 并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算 , 再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯 反變換來(lái)求得實(shí)數(shù) 域中的相應(yīng)結(jié)果 , 往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。 拉普拉斯變換 的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線(xiàn)性微分方

6、程尤為有效 , 它可把微分方程化 為容易求解的代數(shù)方程 來(lái)處理 ,從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中 ,對(duì)控制系統(tǒng)的 分析和綜合 , 都是建立在拉普 拉斯變換的基礎(chǔ)上的。 引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn) , 是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系 統(tǒng)的特性。 這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào) 流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu) 圖、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 （見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法 以及綜合控制系統(tǒng)的 校正裝置 （見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法提供了可能性。 拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用 :應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程 ,可 以將微 分方程化為代數(shù)方程 ,使問(wèn)題得以解決。 在工程學(xué)上

7、,拉普拉斯變換的重大意 義在于 :將一 個(gè)信號(hào)從時(shí)域上 ,轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域 (s 域上來(lái)表示 ;在線(xiàn)性系統(tǒng) ,控制自動(dòng)化 上都有廣泛的 應(yīng)用。 在數(shù)字信號(hào)處理中 , Z 變換是一種非常重要的分析工具。 但在通常 的應(yīng)用中 , 我們往往只需要分析信號(hào)或系統(tǒng)的頻率響應(yīng) , 也即是說(shuō)通 常只需要進(jìn)行傅里葉變換 即可。那么 ,為什么還要引進(jìn) Z 變換呢 ? Z 變換和傅里葉變換之間有存在什么樣的關(guān) 系呢?傅里葉變換的 物理意義非常清晰 :將通常在時(shí)域表示的信號(hào) , 分解為多個(gè)正弦 信號(hào) 的疊加。每個(gè)正弦信號(hào)用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉 變換之 后的信號(hào)通常稱(chēng)為頻譜 , 頻譜包括幅度譜和相位譜

8、, 分別表示 幅度隨頻率的分布及 相位隨頻率的分布。 在自然界 , 頻率是有明確的 物理意義的 , 比如說(shuō)聲音信號(hào) , 男同 胞聲音低沉雄渾 , 這主要是因?yàn)?男聲中低頻分量更多 ; 女同胞多高亢清脆 , 這主要是 因?yàn)榕曋懈哳l 分量更多。 對(duì)一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō) , 就包含的信息量來(lái)講 , 時(shí)域信號(hào)及其 相 應(yīng)的傅里葉變換之后的信號(hào)是完全一樣的。 那傅里葉變換有什么作用 呢 ?因?yàn)?有的信號(hào)主要在時(shí)域表現(xiàn)其特性 , 如電容充放電的過(guò)程 ; 而 有的信號(hào)則主要在頻域 表現(xiàn)其特性 ,如機(jī)械的振動(dòng) ,人類(lèi)的語(yǔ)音等。 若信號(hào)的特征主要在頻域表示的話(huà) , 則 相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)看起來(lái)可能雜 亂無(wú)章, 但在頻域則

9、解讀非常方便。 在實(shí)際中 , 當(dāng)我們采集到一段信 號(hào)之后, 在 沒(méi)有任何先驗(yàn)信息的情況下 , 直覺(jué)是試圖在時(shí)域能發(fā)現(xiàn)一 些特征, 如果在時(shí)域無(wú)所 發(fā)現(xiàn)的話(huà) , 很自然地將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域再看 看能有什么特征。 信號(hào)的時(shí)域描述與頻 域描述 , 就像一枚硬幣的兩面 , 看起來(lái)雖然有所不同 , 但實(shí)際上都是同一個(gè)東西。 正 因?yàn)槿绱?, 在通 常的信號(hào)與系統(tǒng)的分析過(guò)程中 ,我們非常關(guān)心傅里葉變換。 既然人們只關(guān)心信號(hào)的頻域表示 ,那么 Z 變換又是怎么回事呢 ? 要說(shuō)到 Z 變換, 可能還要先追溯到拉普拉斯變換。拉普拉斯變換是 以法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的 一種變換方法 , 主要是針對(duì)連續(xù)信號(hào)的 分析。

10、 拉普拉斯和傅里葉都是同時(shí)代的人 , 他們所處的時(shí)代在法國(guó)是 處于拿破侖時(shí)代 , 國(guó)力鼎盛。 在科學(xué)上也取代英國(guó)成為當(dāng) 時(shí)世界的中 心,在當(dāng)時(shí)眾多的科學(xué)大師中 ,拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他 們中 間最為璀璨的三顆星。 傅里葉關(guān)于信號(hào)可以分解為正弦信號(hào)疊加 的論文 ,其評(píng)審人 即包括拉普拉斯和拉格朗日。 回到正題 ,傅里葉變換雖然好用 ,而且物理意義明確 ,但有一個(gè) 最大的問(wèn)題是其存 在的條件比較苛刻 , 比如時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才 可能存在傅里葉變換。 拉普拉斯 變換可以說(shuō)是推廣了這以概念。 在自 然界, 指數(shù)信號(hào) exp(-x 是衰減最快的信號(hào)之 一, 對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信 號(hào)之后, 很容易滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件。 因此將原始信號(hào)乘上 指數(shù)信號(hào) 之后一般都能滿(mǎn)足傅里葉變換的條件 ,這種變換就是拉普拉斯變換。 這種 變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 , 在 18世紀(jì)計(jì)算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā) 明的時(shí)候, 意義非常重大。 從上面的分析可以看出 , 傅里葉變換可以 看做是拉 普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為exp(O。也即是說(shuō)拉普拉斯變換是傅 里葉變換的推廣 ,是一種更普遍的表達(dá)形 式。 在進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的分析過(guò)程中 , 可 以先得到拉普拉斯變換這種 更普遍的結(jié)果 , 然后再得到傅里葉變換這種特殊的結(jié) 果。 這種由普遍 到特殊的解決辦法 , 已經(jīng)