專題37方案設(shè)計型問題

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年 級： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時數(shù)：3課 題方案設(shè)計型問題教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】方案設(shè)計問題是通過設(shè)置一個世紀(jì)問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案較優(yōu)。方案設(shè)計問題主要考查學(xué)生的動手操作能力和實(shí)踐能力。它包括測方案設(shè)計、作圖方案設(shè)計和經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計。（一）測量方案設(shè)計題，一般限定條件、限定測量工具，讓同學(xué)們設(shè)計一個可行的方案，對某一物體的長度進(jìn)行測量并計算，要注意的是設(shè)計出來的方案要有課操作性。（二）作圖、拼圖方案設(shè)計題，它擺脫了傳統(tǒng)的簡單作圖，它把作圖的技能考查放在一個世紀(jì)生活的大

2、背景下，考查學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力，它給同學(xué)們的創(chuàng)造性思維提供廣闊的空間與平臺。此類題常以某些規(guī)則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形。（三）經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計題，一般有較多種供選擇的解決問題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多。方案設(shè)計題貼近生活，具有角強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，解決此類問題時要慎于思考，要先思考后動手，設(shè)計性問題的結(jié)果不一定唯一，但必須符合實(shí)際情況。近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計題目。這類命題以綜合考查閱讀理解

3、能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動手能力等。二、【考點(diǎn)知識梳理】1“動手操作”類題，多指對某種圖形按照要求完成某些操作，進(jìn)而對結(jié)果進(jìn)行探究，直至解決的一類題型“方案設(shè)計”是指根據(jù)要求，構(gòu)造某種問題的具體解決方案或者對問題給出的若干種解決方法進(jìn)行比較的一類題型2實(shí)際操作型問題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，主要有：(1)裁剪、折疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、對稱性相聯(lián)系；(2)與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問題3方案設(shè)計問題的題型主要包括：(1)根據(jù)實(shí)際問題拼接或分割圖形；(2)利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比較等.

4、三、【中考典例精析】類型一 動手操作題如圖所示，如果將矩形紙沿虛線對折后，沿虛線剪開，剪出一個直角三角形，展開后得到一個等腰三角形則展開后三角形的周長是()a2 b22 c12 d18【點(diǎn)撥】動手操作法【答案】b提示：利用勾股定理即可得出結(jié)果類型二 方案設(shè)計題為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉，學(xué)校計劃拿出不超過1 600元的資金再購買一批籃球和排球已知籃球和排球的單價比為32，單價和為80元(1)籃球和排球的單價分別是多少元？(2)若要求購買籃球和排球的總數(shù)量是36個，且購買的籃球數(shù)量多于25個，有哪幾種購買方案？【點(diǎn)撥】本題綜合考查方程和不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找出題目的等量和不等量關(guān)系是解題

5、的關(guān)鍵注意求n的整數(shù)解時不要漏解【解答】(1)設(shè)籃球的單價為x元，則排球的單價為x元，依題意得xx80，解得x48，x32.即籃球和排球的單價分別是48元和32元(2)設(shè)購買的籃球數(shù)量為n個，則購買的排球數(shù)量為(36n)個由題意得解得25n28.而n為整數(shù)，所以其取值為26、27、28，對應(yīng)的36n的值為10、9、8，故共有三種購買方案方案一：購買籃球26個，排球10個；方案二：購買籃球27個，排球9個；方案三：購買籃球28個，排球8個四、【課堂訓(xùn)練】1如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為

6、第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；，根據(jù)以上操作，若要得到2 011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()a669 b670 c671 d672解析：第n次操作得到3n1個小正方形，所以3n12 011，所以n670.答案：b2(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，矩形abcd中，e是ad的中點(diǎn)，將abe沿be折疊后得到gbe，且點(diǎn)g在矩形abcd的內(nèi)部小明將bg延長交dc于點(diǎn)f，認(rèn)為gfdf，你同意嗎？說明理由(2)【解決問題】保持(1)中的條件不變，若dc2df，求的值(3)【類比探究】保持(1)中的條件不變，若dcndf，求的值解：(1)同意連結(jié)ef

7、.則egfd90，egaeed，efef.rtegfrtedf，gfdf.(2)由(1)知，gfdf.設(shè)dfx，bcy，則有g(shù)fx，ady.dc2df，cfx，dcabbg2x，bfbggf3x.在rtbcf中，bc2cf2bf2，即y2x2(3x)2.y2x，.(3)由(1)知，gfdf，設(shè)dfx，bcy，則有g(shù)fx，ady.dcndf，dcabbgnx.cf(n1)x，bfbggf(n1)x.在rtbcf中，bc2cf2bf2，即y2(n1)x2(n1)x2.y2x，.3君實(shí)機(jī)械廠為青揚(yáng)公司生產(chǎn)a、b兩種產(chǎn)品，該機(jī)械廠由甲車間生產(chǎn)a種產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)b種產(chǎn)品，兩車間同時生產(chǎn)甲車間每天生產(chǎn)的

8、a種產(chǎn)品比乙車間每天生產(chǎn)的b種產(chǎn)品多2件，甲車間3天生產(chǎn)的a種產(chǎn)品與乙車間4天生產(chǎn)的b種產(chǎn)品數(shù)量相同(1)求甲車間每天生產(chǎn)多少件a種產(chǎn)品？乙車間每天生產(chǎn)多少件b種產(chǎn)品？(2)君實(shí)機(jī)械廠生產(chǎn)的a種產(chǎn)品的出廠價為每件200元，b種產(chǎn)品的出廠價為每件180元現(xiàn)青揚(yáng)公司需一次性購買a、b兩種產(chǎn)品共80件，君實(shí)機(jī)械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產(chǎn)8天，若青揚(yáng)公司出廠價購買a、b兩種產(chǎn)品的費(fèi)用超過15 000元而不超過15 080元請你通過計算為青揚(yáng)公司設(shè)計購買方案解：(1)設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x件b種產(chǎn)品，則甲車間每天生產(chǎn)(x2)件a種產(chǎn)品根據(jù)題意3(x2)4x，解得x6.x28.因此，甲車間每天生產(chǎn)

9、8件a種產(chǎn)品，乙車間每天生產(chǎn)6件b種產(chǎn)品(2)設(shè)青揚(yáng)公司購買b種產(chǎn)品m件，則購買a種產(chǎn)品(80m)件15 000200(80m)180m15 080，解得46m50.m為整數(shù)，m為46或47或48或49.又乙車間8天只能生產(chǎn)48件，m為46或47或48.故共有三種購買方案：方案1: 購買a種產(chǎn)品32件，b種產(chǎn)品48件；方案2: 購買a種產(chǎn)品33件，b種產(chǎn)品47件；方案3: 購買a種產(chǎn)品34件，b種產(chǎn)品46件4有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了4個相同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4(如圖所示)，另有一個不透明的口袋裝有分別標(biāo)有數(shù)0、1、3的三個小球(除數(shù)不同外，其余都相同)小亮轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停

10、止后指針指向某一扇形，扇形內(nèi)的數(shù)是小亮的幸運(yùn)數(shù)，小紅任意摸出一個小球，小球上的數(shù)是小紅的吉祥數(shù)，然后計算這兩個數(shù)的積(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩個數(shù)的積為0的概率；(2)小亮與小紅做游戲，規(guī)則是：若這兩個數(shù)的積為奇數(shù)，小亮贏；否則，小紅贏你認(rèn)為該游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請你修改該游戲規(guī)則，使游戲公平解：(1)畫樹狀圖如下：或列表如下：由圖(表)知，所有等可能的結(jié)果有12種，其中積為0的有4種，所以積為0的概率為p.(2)不公平因?yàn)橛蓤D(表)知，積為奇數(shù)的有4種，積為偶數(shù)的有8種，所以積為奇數(shù)的概率為p1；積為偶數(shù)的概率為p2.因?yàn)?，所以該游戲不公平游戲?guī)則可修改如下：若這兩

11、個數(shù)的積為0，則小亮贏；積為奇數(shù)，則小紅贏(只要正確即可)七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】1（10龍巖）我校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽，計劃購買a、b兩種籃球共20個供學(xué)生訓(xùn)練使用若購買a種籃球6個，則購買兩種籃球共需費(fèi)用720元；若購買a種籃球12個，則購買兩種籃球共需費(fèi)用840元（1）a、b兩種籃球單價各多少元？ （2）若購買a種籃球不少于8個，所需費(fèi)用總額不超過800元請你按要求設(shè)計出所有的購買方案供學(xué)校參考，并分別計算出每種方案購買、b兩種籃球的個數(shù)及所需費(fèi)用2（10常州）如圖所示，小吳和小黃在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，準(zhǔn)備了兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤甲、乙，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形區(qū)域，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)

12、上數(shù)字，游戲規(guī)則： 同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針?biāo)干刃螀^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為4，5或6時，則小吳勝否則小黃勝。（如果指針恰好在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗?）這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由；（2）請你設(shè)計一個對雙方都公平的游戲規(guī)則.3為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣、兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元改造一所類學(xué)校和兩所類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所類學(xué)校和一所類學(xué)校共需資金205萬元（1）改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？（2）若該縣的類學(xué)校不超過5所，則類學(xué)校至少有多少所？（3）我市計劃今年對該縣

13、、兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到、兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元請你通過計算求出有幾種改造方案？4一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點(diǎn)，每個點(diǎn)安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市問：（1）能否找到這樣的4個安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？（2）至少需要選擇多少個安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請你在解答時，畫出

14、必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）5（10河北）某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售若只在國內(nèi)銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為：y =x150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為w內(nèi)（元）（利潤=銷售額成本廣告費(fèi)）若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10a40），當(dāng)月銷量為x（件）時，每月還需繳納x2元的附加費(fèi)， 設(shè)月利潤為w外（元）（利潤=銷售額成本附加費(fèi)

15、）（1）當(dāng)x=1000時，y= 元/件，w內(nèi)= 元；（2）分別求出w內(nèi)，w外與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）；（3）當(dāng)x為何值時，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？6.如圖，小明想用皮尺測量池塘a、a間的距離，但現(xiàn)有皮尺無法直接測量，學(xué)習(xí)有關(guān)知識后，他想出了一個方法：先在地上取一個可以直接到達(dá)a、b兩點(diǎn)的點(diǎn)o，連接oa、ob，分別在oa、ob上取中點(diǎn)c、d，連接cd，并測得cd=a，由此他即知道a、b間的距離是（ ）

16、a.； b.； c.； d.7.如圖，轉(zhuǎn)盤被分成六個扇形區(qū)域，并在上面依次寫上數(shù)字1、2、3、4、56，轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止請你用這個轉(zhuǎn)盤設(shè)計一個游戲（六等分扇形不變），使自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的區(qū)域的概率是2/3，并說明你的設(shè)計理由（設(shè)計方案可用土所示，也可以用文字表述）。產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值甲4.5萬元乙7.5萬元8.市康智牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研,決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實(shí)行“限產(chǎn)壓庫”,要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)品20件,這20件的總價值p(萬元)滿足:110p120已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量? 收地運(yùn)地cd待添加

17、的隱藏文字內(nèi)容3總計ax噸200噸b300噸總計240噸260噸500噸9.我市某鄉(xiāng)a，b兩村盛產(chǎn)柑橘，a村有柑橘200噸，b村 有柑橘300噸?，F(xiàn)在將這些柑橘運(yùn)到c，b兩個冷藏倉庫。已知c倉庫可儲存240噸，d倉庫可儲存260噸：從a村運(yùn)到c，d兩處的費(fèi)用分別為每噸20元至25元，從b村運(yùn)到c，d兩處的費(fèi)用分別為每噸15至18元。設(shè)從a村運(yùn)到c倉庫的柑橘質(zhì)量為x噸，a，b兩村運(yùn)往兩倉庫的柑橘費(fèi)用分別為ya元和yb元（1）請?zhí)顚懴卤聿⑶蟪鰕a和yb與x之間的函數(shù)關(guān)系式（2） 試討論a，b兩個村中，那個村的運(yùn)費(fèi)少；（3） 考慮到b村的經(jīng)濟(jì)承受能力，b村的的柑橘不超過4830元。在這種情況下，請問

18、怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)最??？求出最小值。10.如圖，在人民公園人工湖兩側(cè)的a，b兩點(diǎn)欲建一座觀賞橋，由于受條件限制，無法直接度量a，b間的距離，請你用學(xué)過的知識，在圖中設(shè)計三種測量方案要求：（1）畫出你設(shè)計的測量平面草圖；（2）在圖形中標(biāo)出測量的數(shù)據(jù)（長度用a,b,c角度用，.表示）并寫出測量的依據(jù)及ab的表達(dá)式。11.如圖,在rtabc中,acb=900, cab=300,用圓規(guī)和直尺作圖,用兩種方法把它分成兩個三角形,且要求其中一個三角形是等腰三角形(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明)12.如圖,某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有b、c、d三家食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)a處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且ab=cd=900m，ad=bc=1700m。自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道an，b、c兩廠之間的公路與自來水管道交于e處，ec=500m。若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價800元。（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖形中畫出。(2)求出各廠所建的自來水管道的最低的造價各是多少？13.某工廠現(xiàn)有甲種原料226kg，乙種原料250kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)a、b兩種產(chǎn)品共40件，生產(chǎn)a、b兩種產(chǎn)品用料情況如下表：需要甲原料需要乙原料一件a產(chǎn)品7kg4kg一件b產(chǎn)品3kg10