含參不等式的解法

1、不等式(3)-含參不等式的解法 當(dāng)在一個不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時的參數(shù)可以從以下兩個方 面來影響不等式的求解，首先是對不等式的類型(即是那一種不等式)的影響，其次是字母對這個不等式的 解的大小的影響。 我們必須通過分類討論才可解決上述兩個問題，同時還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式 的解，而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容。 (一)幾類常見的含參數(shù)不等式 一、含參數(shù)的一元二次不等式的解法： 例1:解關(guān)于的x不等式(m - 1)x? -4x 1遼0(m ：= R) 分析：當(dāng)m+1=0時,它是一個關(guān)于 x的一元一次不等式；當(dāng)

2、m+1 = 1時，還需對 m+10及m+10來分類 討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論：當(dāng)m0，圖象開口向下， 與x軸有兩個不同交點(diǎn)，不等式的解集取兩邊。當(dāng)一 1m0,圖象開口向上，與 x 軸有兩個不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng)m=3時，=4 (3 m) =0，圖象開口向上，與 x軸只有一 個公共點(diǎn)，不等式的解為方程 4x? -4x=0的根。當(dāng)m3時，=4 ( 3 m) 0,圖象開口向上全部在 x 軸的上方，不等式的解集為.。 11 解：當(dāng)m=1時,原不等式的解集為x|x_; I4j 當(dāng) m-1 時,(m *1)x2 -4x，1 二 0的判別式.：=4(3 m); 貝V當(dāng) mc1

3、時，原不等式的解集為 丿x | x Z 23 _m 或x蘭2+丫3_口卜 m+1m+1 當(dāng)-1 wm m+1m+1 當(dāng)m=3時，原不等式的解集為 $x | X = 1； 當(dāng)m3時，原不等式的解集為.一。 小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對判別式分類討論。 利用函數(shù)圖象必須明確：圖象開口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值(如 取0、取正值、取負(fù)值)對不等式實(shí)際解的影響。 牛刀小試：解關(guān)于 x的不等式ax2 -2(a 1)x 4 0,(a 0) 思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。具體解答請同學(xué)們自己完 成。

4、二、含參數(shù)的分式不等式的解法： 例2：解關(guān)于x的不等式 :X T0 x 一 x -2 分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對ax 1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序 軸標(biāo)根法。 解：原不等式等價(jià)于(ax -1)(2)(x 1)0 當(dāng)a=0時，原不等式等價(jià)于(x -2)(x 1) ： 0 解得-1 ： x ： 2，此時原不等式得解集為x| -1 ： x ： 2； 1 當(dāng)a0時,原不等式等價(jià)于(x_丄)(x_2)(x J) .0, a 則：當(dāng)a =-時，原不等式的解集為Cx|x . -1且x=2?; 2 當(dāng)0或 a 一1 ：x ：2 當(dāng)a丄時，原不等式的解集為 2 1 、 x | -

5、1 ： x 或 x 2 a 第2頁(共5頁) 1 當(dāng)a0時，原不等式等價(jià)于(x_丄)(x_2)(x 1) ：0 , a 則當(dāng)a = -1時，原不等式的解集為 *|x ：2且x = -V; 當(dāng)-仁a 0時，原不等式的解集為 x|x ：或-仁：x ：2 ； 當(dāng)a c1時，原不等式的解集為xlxC或丄cx1和a1分為兩類，再在a1 的情況下，又要按兩根 廠2與2的大小關(guān)系分為a : 0,a二0和0 a 1三種情況。有很多同學(xué)找不到分類 a 1 的依據(jù)，缺乏分類討論的意識，通過練習(xí)可能會有所啟示。具體解答請同學(xué)們自己完成。 三、含參數(shù)的絕對值不等式的解法： 例3：解關(guān)于x的不等式|ax-2|_bx,(

6、a 0,b 0) 分析：解絕對值不等式的思路是去掉絕對值符號，本題要用到同解變形 |f(x)|丄g(x) f (x) g(x)或f(x)亠g(x)，首先將原不等式化為不含絕對值符號的不等式，然后就a、b兩 個參數(shù)間的大小關(guān)系分類討論求解。 解：|ax-2|丄bx= ax-2_-bx或ax-2_bx= (a b)x2或(a-b)x_2 當(dāng)a b 0時, (a b)x_2或(a-b)x_2= x - 此時原不等式的解集為 *x| x 蘭 2 2 或x _亠 a b a -b 2 當(dāng) a =b - 0時，由(a b)x _2得x _ ,而(a - b)x 亠 2無解， a +b 此時原不等式的解集為

7、 2 a b 當(dāng) 0 : a : b時，(a b)x 豈 2或(a - b)x _ 2 ：= x或x a +b 2 x a -b 此時此時原不等式的解集為 x|xV 綜上所述，當(dāng)a b 0時，原不等式的解集為 2 ；當(dāng)b _ a . 0時，原不等式的解 x*2- a +b 小結(jié)：去掉絕對值符號的方法有定義法: a (a _0) |a|=*Q)平萬法：| f(x)|g(x)|= 第5頁（共5頁） 22 f (x) 2log2 x + p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。 例10 : 對于（0, 3） 上的一切實(shí)數(shù)x,不等式（x-2m：2x-1恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 分析： 一般的思路是求 x的表達(dá)式，利用條件求 m的取值范圍。但求 x的表達(dá)式時，兩邊必須除以有 關(guān)m的式子，涉及對 m討論，顯得麻煩。 五、數(shù)形結(jié)合法 / 1 例11：若不等式3x? -Iogaxc0在x壬0, i內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。 3丿 六、構(gòu)建函數(shù)、猜想、歸納、證明等其他方法 8、這個世界并