東臺(tái)三倉中學(xué)0910學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理144774

1、江蘇省東臺(tái)市三倉中學(xué) 09-10學(xué)年高二下學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理） 一、填空題（共14小題，每小題5分，共計(jì)70分，每題只需寫出結(jié)果） 2 1 .設(shè)z 1 i （i是虛數(shù)單位），則z2 z 2. 在ABC中，若A ,a 2，則上一 6si nB 3. 5個(gè)人排成一排，其中甲不排在排頭也不排在排尾的不同排列方法種數(shù)為 4若 x 0, y 0,且 x y 1，則z x y的最大值是 5.有下列四個(gè)命題：（1） “若b 3，則b29 ”的逆命題；（2） “全等三角形的面積相等” 的否命題；（3） “若 c 1，則 x2 2x c 0有實(shí)根” ；（4） “若A B A，貝U A B ”的逆否命題。 其中

2、真命題的 個(gè)數(shù)是 6.在 ABC中，已知（a b c）（a b c） ab，貝U C的大小為 7.如右圖，在正方體 ABCD AB1C1D1中，E為棱DD1 G為棱A,Bi上任意一點(diǎn)，則直線 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“11 2 原等式的左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 AE與直線FG所成的角為 1 1 3 L 歹 P（n）”，從 棱BC中點(diǎn), 時(shí) 9.橢圓的焦點(diǎn)為F、F2,過點(diǎn)Fi作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段 MN長為32 , 5 MF2N的周 在 ABC中，已知 a 2 3 , c 62 , B 45o，求 b 及 A. 長為20,則橢圓的離心率為. 20 10.求和：（12n） = 11 已知

3、f(x) n 0 12.已知 f(x) ln x 2 x，若 x 0 f(x) 2 a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x x 1 y 3 y，貝U x y的最大值為 14.如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成: 線CA1, A1A2, A2A3分別是以 代B,C為圓心，AC, BA1, CA2為半徑 曲線CA1A2A3稱為螺旋線，然后又以A為圓心， AA3為半徑畫 這樣畫到第 n圈，則所得螺旋線CA1,A1A2,A2A3,-, ABC是邊長為1的正 角形，曲 A2 畫的弧, 弧 A3 A1 A3n 2 A3n 1 , A3n 1A3n的總長度為 二、解答題（共 15.（本題滿

4、分 6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 14分) 16. （本題滿分14分） 如圖，在正方體 ABCA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn). （1）求直線BQ與DE所成角的余弦值； C1 C 求二面角E BQ D的余弦值. 17. （本題滿分15分） 已知等差數(shù)列a*中，a3 a6 17, a1a 838且a1 a8. （1）求an的通項(xiàng)公式； （2） 調(diào)整數(shù)列a*的前三項(xiàng)a1,a2,a3的順序，使它成為等比數(shù)列 bn的前三項(xiàng)，求bn的前n項(xiàng)和. 18. （本題滿分15分） 2 2 1(a b 0)的長軸AB 長為4,離心 直.P是橢 延長HP到 如圖，已知橢圓C :篤每

5、 a b 率e 3， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 圓上異于a、B的任意一點(diǎn)， 點(diǎn) Q 使得 HP PQ ，連結(jié) AQ 延長交直線 l 于點(diǎn) M ， N 為 MB 的中點(diǎn) ( 1)求橢圓 C 的方程； (2) 證明Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓0上； ( 3)試判斷直線 QN 與圓 O 的位置關(guān)系 19. (本題滿分 16 分) 已知 x 1是函數(shù) f(x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中 m,n R,m 0， ( 1)求 m 與 n 的關(guān)系式； ( 2)求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間； (3) 當(dāng)x 1,1時(shí)，函數(shù)y f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍 20. (本題

6、滿分 16 分) 在金融危機(jī)中 ,某鋼材公司積壓了部分圓鋼 ,經(jīng)清理知共有 2009 根. 現(xiàn)將它們堆放在一起 (1)若堆放成縱斷面為正三角形 (每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多 1 根), 并使剩余的圓鋼盡可能地少 ,則剩余 了多少根圓鋼 ? （2）若堆成縱斷面為等腰梯形（每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根）,且不少于七層, （I）共有幾種不同的方案 （n）已知每根圓鋼的直徑為10cm為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m貝U選擇哪個(gè)方案，最能節(jié) 省堆放場地? 東臺(tái)市三倉中學(xué)2009-2010學(xué)年度第二學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué) （理）試卷 （教師版） （滿分 160分，完成時(shí)間 120分鐘） 命題人: 林

7、芝才 2010.5.8. 一、填空題（共14小題，每小題5分，共計(jì)70分，每題只需寫出結(jié)果） 1. 設(shè)z 1 i （i是虛數(shù)單位），則-z2 1 i.（課本111頁第3題改編） z 2. 在 ABC中，若A ,a .2，則上 2 2 .（課本10頁第3題改編） 6sin B 3. 5個(gè)人排成一排，其中甲不排在排頭也不排在排尾的不同排列方法種數(shù)為 72 （課本29頁第5題改編） 4.若 x 0, y 0,且 x y 1,則z x y的最大值是_1_.（課本80頁練習(xí)1原題） 5.有下列四個(gè)命題：（1） “若b 3，則b2 9 ”的逆命題；（2） “全等三角形的面積相等”的否命題；（3） “若 c

8、 1，則 x2 2x c 0有實(shí)根” ；（4） “若A B A，則A B”的逆否命題。其中真命題的 個(gè)數(shù)是1 2 6.在 ABC中，已知（a b c）（a b c） ab，貝U C的大小為.（課本15頁第3題改編） 7.如右圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中, G為棱AB上任意一點(diǎn)，則直線 AE 第7題改編） 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明 與直線 1 2n 棱BC中點(diǎn), （課本101頁 k 1時(shí)原 等式的左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 2k 32 9.橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2, MF2N的周 過點(diǎn)F1作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段MN長為32 , 5 3 長為20,則橢圓的離心率為 3 5 10.

9、求和: 11 已知 f(x) 1_x2，則猜想 142（q3f（x）l）的解析式為 n個(gè) 14fM(x)L) n個(gè) x 1 nx2 20 （1 2n）=-399.（課本第45頁第2題原題） n 0 x 12.已知 f (x) lnx 2 x，若x 0 f（x） a2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）U（1,）. 13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x x 1 y 3 y ,則x y的最大值為 的正三角形， AC,BA, CA2 心，AA3為半 n（13n）. 14如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成： ABC是邊長為1 曲線CA1, A1A2, A2A3分別是以A, B,C為圓心， 為半徑畫的弧，曲線 CA

10、1A2A3稱為螺旋線，然后又以 A為圓 徑畫弧這樣畫到第n圈，則所得螺旋線 CA1 , A1 A2 , A2 A3,，A3n 2 A3n 1 , A3n 1 A3n 的總長度為 二、解答題（共6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 15.（本題滿分14分） 在 ABC中，已知a 2.3 , c 62 , B 45o，求b及A.（課本16頁第1題改編） 解： b2 a2 c2 2accosB = （2 3）2 （ 6 2）2 2 2 3 （ 6 2） cos 45 =12 ( 62)2 4 3( 3 1) = 8 5 分 Qb0 b 2 2. 7 分 求A可以利用余弦定

11、理，也可以利用正弦定理: 解法 cos A 2bc (2.2)2 ( .6)2 (2.3)2 2 2血(蟲V2) 1 2, 12分 又 A 0o,180 A 60. 14分 解法二： sin A bsinB 殳2sin450, 10分 又/ .62 2.4 1.4 3.8, 2.3 v 2 1.8 3.6, a v c，即 00 v A v 90, A 60 16.（本題滿分14分） 如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn). （1）求直線B1C與DE所成角的余弦值； 求二面角E B1C D的余弦值.（課本98頁例4改編） 解：以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z

12、軸， 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為a則 14分 C1 Cy 1 D(0,0,0),E(a, a, 0),C(0,a,0),B 1 (a,a,a) 2 uuur (1)BC ( a,0, uuir uuir cos BQ, DE uuur 1 a) , DE (a,，a,0) uuur uuur B.C DE uuir uuur |BQ|DE| ，則 直線BiC與DE uuu (2) EC 則由aX ax ir 貝V cos n1 2a a20 0 02 玄2 所成角的余弦值為罟 (a,a,0), 2 1 門 ay 0 2 ay 0 uu 2 ,巧 uuir RC ir ,得n1

13、(a,0, a), 設(shè)平面 (1,2, 1).同理平面 2、33 . 所以求二面角EB1CD的余弦值為于 ur B1EC的法向量為q (x,y,z), uu B1DC 的法向量 n (1,0, 1). 13分 14分 38 且 a a8. 17. (本題滿分15 分) 已知等差數(shù)列an中，a3 a617,a 8 (1 )求an的通項(xiàng)公式; (2)調(diào)整數(shù)列a*的前三項(xiàng)aa2,a3的順序，使它成為等比數(shù)列 0的前三項(xiàng)，求g的前n項(xiàng)和. 解：(1)由已知，得求得a 2, as 19 an的公差 d=3 - an=a1+(n 1)d= 2+3(n 1)=3n 5. (2)由(1),得 a3=a2+d=

14、1+3=4 , a1= 2, a2=1, a3=4. 依題意可得：數(shù)列bn的前三項(xiàng)為 b1=1, b2= 2, b3=4 或 b1=4 , b2= 2, b3=1 (i)當(dāng)數(shù)列b n的前三項(xiàng)為 b1=1 , b2= 2, b3=4時(shí)，貝U q= 2 . b1(1 qn) 1 1 ( 2)n 1( 2)n -31 ( 2). S11 q 1 ( 2) 12分 (ii)當(dāng)數(shù)列bn的前三項(xiàng)為b1=4, b2= 2, b3=1 時(shí)，則 q八嚀 21 q 1 41 ( -)n81 汁訥(1門 1(-)32 2 15分 18. (本題滿分15分) 如圖，已知橢圓 l與x軸垂直. 軸，H為垂足， 直線l于點(diǎn)

15、M , 2 詁 1(a b o)的長軸AB長為 P是橢圓上異于 A、B 延長HP到點(diǎn)Q使得HP N為MB的中點(diǎn). B的直線 (1) (2) (3) 求橢圓C的方程； 證明Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O 上; 試判斷直線QN與圓O的位置關(guān)系. 解: ( 1) 由題設(shè)可得2a 4,C 3 , a 2 C的方程為 PH x 延長交 4,離心率e -2 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 解得a 2,c3 , b 1 .-橢圓 (2) P xo, yo, yo21. / HP X0,2y . OQ X。2 2y02 2 . Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的的圓上. 在以AB為直徑的圓O上. (3) 設(shè) P Xo, yoX。

16、2，則 Q Xo,2yo , yo21. 2,0 , 直線AQ的方程為y 2y 2 Xo 2，得 2 8y ,Xo 2 .又 B 2,0 N為MB的中點(diǎn)， 2, 4y 2 Xo 2So Xo2 Xo Xo2Xo 2Xoo . LULT OQ UULT NQ . 直線QN與圓O相切. 15分 uuiruur OQ Xo ,2 yo , NQ uuir lur OQ NQ Xo Xo 2 2yoyXo X 2 2 4xy Xo Xo 2 Xo 2 Xo 2 2 Xo 4Xo Xo2 (用其他方法證明的同學(xué)按標(biāo)準(zhǔn)給分) 19. (本題滿分16分) 已知x 1是函數(shù)f(x) mx3 3(m 1)x2

17、nx 1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中 m, n R,m 0, (I )求m與n的關(guān)系式； (II )求f (x)的單調(diào)區(qū)間； (iii )當(dāng)x 1,1時(shí)，函數(shù)y f (x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍. 2 解(I) f (x) 3mx 6(m 1)x n因?yàn)閤 1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f o ,即 3m 6(m 1) n 0，所以 n 3m 6 2 2 (II )由(I )知，f (x) 3mx 6(m 1)x 3m 6 = 3m(x 1) x 14 分 m 2 當(dāng)m 0時(shí)，有1 1，當(dāng)x變化時(shí)，f (x)與f (x)的變化如下表: m x ,1 - m 1 J m

18、 1 -,1 m 1 1, f (x) - 0 + 0 - f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 8分 2 故有上表知，當(dāng) m 0時(shí)，f (x)在 ,1單調(diào)遞減， m 2 在(1,1)單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減 10分 m 2 (III )由已知得 f (x) 3m，即 mx 2(m 1)x 20 12分 2 222 22 又 m 0所以 x若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余 了多少根圓鋼？ 若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層， (I)共有幾種不同的方案 ？ (n)已知每根圓鋼的

19、直徑為10cm,為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m貝U選擇哪個(gè)方案，最能節(jié) 省堆放場地？ 解：(1)當(dāng)縱斷面為正三角形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差 (m 1)x0 即 x2 (m 1)x0,x1,1 數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于 n根，從而由 2009啦n 2且n n(n 1) 2009 2 N*得，當(dāng)n 62時(shí)，使剩余的圓 mmmm 設(shè) g(x) x2 2(1 丄“ 2 , mm 其函數(shù)開口向上， 由題意知式恒成立， 13分 g( 1) 0 2 2 1 2 0 4小 4 所以 m m解之得 m又m 0所以 m 0 g(1) 0 1 0 3 3 即m的取值范圍為 4 0 -16分 ,0 3 20.(本題滿分 16分) 在金融危機(jī)中，