數(shù)值分析典型例題

1、數(shù)值分析典型例題 第一章典型例題 例3 ln2=0.，精確到10一3的近似值是多少 解精確到10和=,即絕對誤差限是=,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后 三位才可以。ln2 第二章典型例題 例1用順序消去法解線性方程組 2兀 + x2 + 4x3 = -1 3“ + 2x2 + x3 =4 “ + 2x2 + 4x3 = -1 解順序消元 2 1 4 A+rr（-3/2） 2 1 4 -1 2 1 4 -1 Ab= 3 2 1 4 1/2） 0 0.5 一氣 5.5 +印一3）、 1 - 0 0.5 5 5.5 1 2 4 -1 0 1.5 2 -0.5 0 0 17 -17 于是有同解方程組 2Xj +

2、x2 +4乃=一1 O.5x2 -5a3 =5.5 17x3=-17 回代得解 兀3=- 1,%2=U原線性方程組的解為X= (1,1, - I)7 例2取初始向量丹)=(0,0,0)用雅可比迭代法求解線性方程組 M + 2x2 一 2x3 = 1 +3 伙=1,2,3,.) 第1次迭代*=0 盤0) = 0,得到 Yn = (1,3,5/ 第2次迭代,k= x； =-2x3 + 2x5 + l = 5 .垮)=-1-5 + 3 = -3 x；2)=_2xl-2x3 + 5 = -3 Y2) = (5,-3,-3)r 第3次迭代，心2 x；3) =-2x(-3) + 2x(-3) + l =

3、l X= (1,1,1)丁 第4次迭代，k=3 x2 =-2xl + 2xl + l = l =_1 一 1 + 3 = 1 jj21 = -2 x 1 - 2 x 1 + 5 = 1 爐)=(1,1,1卩 而咼斯- 例4證明例2的線性方程組，雅可比迭代法收斂, 賽德爾迭代法發(fā)散。 證明例2中線性方程組的系數(shù)矩陣為 1 2 -2 4=111 2 2 1 _1 0 0 0 0 0 P 2 -2 于是D = 0 1 0 Dl=D L = 1 0 0 u = 0 0 1 .0 0 1_ 2 2 0_ 0 0 0 雅可比迭代矩陣為 1 0 o 0 2 -乞 0 2 -2 Bo= -D*(L + U)

4、= - 0 1 0 1 0 1 = 1 0 1 0 0 1 2 2 0 2 2 0 2 2 -2 2 2 0 RI-BO| = 1 2 1 = 1 2 2 + 1 2 2 2 2 2 2 + 2 =/12(2 + 2)-2(2 + 1)-22 + 2-2(2 + 1) = 23 =0 得到矩陣Bo的特征根人23=0,根據(jù)迭代基本定理4,雅可比迭代法 收斂。 高斯-賽德爾迭代矩陣為 G- (D + L)U 1 0 O 9 2 -丁 1 1 0 0 0 1 = 2 2 1 .0 0 0 2 2 |AI-G|= 0 2-2 - 2 3=2(幾-2)，=0 2-2 解得特征根為1=0, 2尸2。由迭代

5、基本定理4知，高斯-賽德爾迭代 發(fā)散。 例5填空選擇題 1.用高斯列主元消去法解線性方程組 “ + +2x2 +x3 = 0 2x + 2x2 + 3x3 = 3 X 3x?= 2 作第1次消元后的第2, 3個方程分別為 答案： x2 一05入)=一15 一2兀2 + 15入)=3.5 解答選C=2為主元，作行互換，第1個方程變?yōu)椋?2x14-2x2+3x3=3，消元得到 x2 一0.5入3 = -15 * -2x2 + 1.5x3 =3.5 是應(yīng)填寫的內(nèi)容。 3.用高斯-賽德爾迭代法解線性方程組 M + +2x2 一 2x3 = 1 ( (齊 1)! 利=Pn (x) + R (x)=工 (

6、x) + ： 二 +i (x) A-0 當(dāng)7!加一1時，嚴(yán)）（兀）=0, 7?n（X）=0,所以 jxkW = xm A-0 注意：對于次數(shù)不超過斤的多項式 Q =+ + y + 5 , 利用上結(jié)果，有 Qn W = % + C +. + aYx + a。 +-iSz*w-1+“+ix）無 +“oix） A-0X-020i-0 nft =工/（切知燈 +%盡+. + axk + /0 J =Qn （xk ）1 k （x） DX:-0 上式Q”w（x）正是Q3的拉格朗日插值多項式。可見，03的 A-0 拉格朗日插值多項式就是它自身，即次數(shù)不超過H的多項式在”+ 1 個互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項

7、式就是它自身。 例5已知數(shù)據(jù)如表的第2, 3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 解計算列入表中。斤=5。他“滿足的法方程組是 k Xk yk Xkyk 1 1 4 1 4 2 2 4 9 3 3 6 9 18 4 4 8 16 32 5 5 25 15 31 55 5a0 +15d =31 0川必2,兀)(兀 一 X1)(Xl)(x - xn) f 5+1）（占） gm需 (D)一 XO)(X - X)(X 一 也)(兀一無-1)9 一 心) 答案：（A）, （D）o見教材有關(guān)公式。 第四章典型例題 例1試確定求積公式j(luò):/（x）dy+）+/（*的代數(shù)精度。 依定義，對 =0,1,2,3,.）,找公式

8、精確成立的R數(shù)值 解當(dāng).心）取1忑汽時，計算求積公式何時精確成立。 取.心）=1,有 左邊=L /血=匸皿=2，右邊=/（一 ）+ /（-）= 1 + 1 = 2 取有 左邊=/dx = f；pdx = O,右邊二 /（-吉）+ /（吉）=一咅 + 寺=0 例6選擇填空題 左邊=打(勸山=卜(1 = 0,右邊=/( (4) 取7U)/,有 -卻+ /(卻十護(hù)+啣=0 (5) 取 y(x)=x4,W 左邊=/()=占匕=|右邊二八-卻-掃尸+(井 當(dāng)幻求積公式精確成立，而疋公式不成立，可見該求積公式 具有3次代數(shù)。 例 5 試確定求積公式 /(x)cLv f (0) + /(/?) + alrl

9、fiQ) - f(li)中的參 數(shù)色并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。 解 公式中只有一個待定參數(shù)心 當(dāng)f(x)=,x時，有 fidA = -l + l + 0,艮卩 h=h Jo 2 Jxldt = 0 + 力+ ah2 (1 一 1),=牛 不能確定/再令滄)事,代入求積公式得到 a 2dv = - 0 + /?2 + air(2 x 0- 2h)，即 = -2ahs Jo232 1hI/ 2 得 g 邁求積公式為 /(x)dx jl/(0) + /(/:) + 掃廣(0) - fh) 將代入上求積公式，有 f-3ch- = -lO + /?3 + (3xO-3Zz2) Jo 212 可見

10、，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。再將代入上公式 中，有 x4ch-|-0 + /?4 + -(4x0-4/I3) 所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。 1.牛頓-科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn) 是O 解答：牛頓-科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計 其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。 第五章典型例題 例1證明方程1 - X-Siiu = 0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個根，使用二分法求 誤差不超過xlO-4的根要迭代多少次 證明令./(x) = 1 -%- siiiv /(0)=10, /(l)=-sinl0(x0, 1),故/(x) = 0 在區(qū)間0, 1內(nèi)有 唯一實根

11、。 給定誤差限=xl0-4,有 ln(,)-lng_i = -ln0.5 + 41nl0_i = i32877 In 2In2 只要取= 14o 例2用迭代法求方程R -鐵- 2 = 0的最小正根。計算過程保 留4位小數(shù)。 分析容易判斷1, 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式 r4 _ 7r5 _ 7S r4 X = 即(pg = -l(xe (1,2),此時迭代 444 發(fā)散。 建立迭代格式 A =如 + 2,(p(x) = V4x + 2,p(x) = , 4i(1 2),此時迭代收斂。 5V(4x + 2)45 解建立迭代格式 x = V4x + 2, y(x) = y/4x + 2 材Cv)| = _尸 (lx0,取 xo=代驚：屮6砂心8881.37662川 = 1.46348- 1.46348一1463482-1 1.463483 -1.463482 -1.4888