矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目 矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 _ 學(xué) 院 機(jī)電與信息工程學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 2011級 學(xué) 號 2011117055 姓 名 呂海霞 指 導(dǎo) 教 師 薛海波 成 績 優(yōu) 2014 年 11 月 20 日目 錄摘要iabstract.ii1 前言12 有關(guān)概念及重要結(jié)論12.1矩陣的概念12.2矩陣的秩22.3矩陣的逆32.4 用矩陣表示二次型33 矩陣的應(yīng)用63.1矩陣的高次冪63.1.1 矩陣的冪63.1.2矩陣高次冪的求法73.2 解線性方程組133.2.1線性方程組的有解判定定理133.2.2 線性方程組一般形式的運(yùn)用143.3 解矩陣方程163.4

2、矩陣對角化方法193.4.1 討論對于有個特征單根的階方陣193.4.2 討論對于有特征重根的階方陣21結(jié)論23致謝24參考文獻(xiàn)24 矩陣及應(yīng)用楊燦（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級 重慶萬州 404100）摘要: 矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),又是一門很有實(shí)用價值的數(shù)學(xué)理論.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,這一理論已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量數(shù)據(jù)的有效工具.本文就是利用矩陣的基本理論,把矩陣作為計(jì)算工具,對實(shí)際問題如方程組的解、矩陣的冪、二次型進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究并簡化了一些計(jì)算.關(guān)鍵詞: 矩陣;矩陣的冪;線性方程組matrix and its applicationyang c

3、an(grade 2010, mathematics and applied mathematics, college of mathematics and statistics, chongqing three gorges university, wan zhou, chongqing 404100 )abstract: matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.with the develo

4、pment of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.this article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,t

5、he two type are systematically studied and some simplified calculation.keywords:matrix; the power of matrix; linear equation1 前言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的主要研究對象之一,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具.“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術(shù)語.而實(shí)際上,矩陣在它的課題誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了.18世紀(jì)中期,數(shù)學(xué)家們開始研究二次曲線和二次曲面的方程簡化問題,即二次型的化簡.在這一問題的研究中,數(shù)

6、學(xué)家們得到了與后來的矩陣?yán)碚撁芮邢嚓P(guān)的許多概念和結(jié)論.1748年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(leuler,17071783)在將三個變數(shù)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時,隱含地給出了特征方程的概念.1773年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(jllagrange,17361813)在討論齊次多項(xiàng)式時引入了線性變換.1801年德國數(shù)學(xué)家高斯(cfgauss,1777一1855)在算術(shù)研究中,將歐拉與拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣,給出了兩個線性變換的復(fù)合,而這個復(fù)合的新變換其系數(shù)矩陣是原來兩個變換的系數(shù)矩陣的乘積.另外,高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價概念,在研究兩個互逆變換的過程中孕育了兩個矩陣的互逆概念.在線性

7、方程組的討論中,我們看到,線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上,并且解線性方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.除了線性方程組之外,還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念,并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究,甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題,歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的.這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個極其重要的應(yīng)用廣泛的概念,因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象,也是處理高等數(shù)學(xué)很多問題的有力工具.矩陣的秩是一個基本的概念,也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一,它在初等變換下是一個不變量矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念

8、,無論是在線性代數(shù)中,還是在解析幾何中,甚至在概率論中,都有不可忽略的作用矩陣方冪在高等代數(shù)題解、矩陣穩(wěn)定性討論及預(yù)測、控制等方面有廣泛的應(yīng)用,它的求解原理貫穿于代數(shù)教學(xué)過程的始終,可以用到矩陣各方面的知識.其計(jì)算量往往較大,但方法適當(dāng),可大大簡化其計(jì)算難度.本文將給出六種求矩陣方冪地方法.矩陣方程是矩陣運(yùn)算的一部分,這里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題.掌握簡單的矩陣方程的求法,對于求解復(fù)雜的矩陣方程有很大幫助.2 有關(guān)概念及重要結(jié)論2.1矩陣的概念為了便于敘述并考慮以后的應(yīng)用,我們引進(jìn)矩陣的概念.由個數(shù)排列而成的行（橫的）列（縱的）的表稱為一個矩陣.定義1 把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的

9、新矩陣, 稱為的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作(或). 即若則. 2.2矩陣的秩 定義2 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩;所謂矩陣的列秩就是指矩陣的列向量組的秩. 引理1 如果齊次方程組的系數(shù)矩陣的行秩,那么它有非零解.定理1 矩陣的行秩與列秩相等.定理2 矩陣的行列式為零的充分必要條件是的秩小于.推論1 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零. 2.3矩陣的逆我們知道,階單位矩陣單位性質(zhì),即對于任意階方陣都有,是否存在階方陣使得呢？即是否與數(shù)域中數(shù)一樣的性質(zhì):.為此,我們引進(jìn)逆矩陣的概念. 定義1 階方陣稱為可逆的,如果有階方陣,使得. （2.3.1）這里是級單位矩陣.并

10、且稱為的一個逆矩陣.定義2 如果矩陣適合（2.3.1）,那么就稱為的逆矩陣,記為.定理1 階矩陣可逆的充分必要條件是非退化,此時,的逆矩陣為. 定理2 給出了矩陣可逆時逆矩陣的計(jì)算公式.下面給出可逆矩陣的一些性質(zhì): 性質(zhì)1 如果階方陣可逆,那么,并且. 性質(zhì)2 如果矩陣同級且都可逆,那么與也可逆,且. 性質(zhì)3 如果階方陣可逆,那么也可逆,并且. 性質(zhì)4 如果階方陣可逆,那么也可逆,并且. 性質(zhì)5 如果階方陣可逆,那么,有. 定理3 是一個矩陣,如果是可逆矩陣,是可逆矩陣,那么 . 推論1 在定3的假設(shè)下有,成立.2.4 二次型及矩陣表示定義1 設(shè)是一個數(shù)域,一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式

11、. （2.4.1）定義2 記,把元二次型（2.4.1）,寫成對稱形式. （2.4.2）這樣,系數(shù)可以構(gòu)成一個對稱矩陣, （2.4.3）稱（2.4.3）為元二次型（1）的矩陣.令,則有, =, =, = , （2.4.4）這就是二次型的矩陣表示.對確定的元二次型（2.4.1）,就確定唯一的對稱矩陣（2.4.3）通過（2.4.4）聯(lián)系起來,即. 因此,一個元二次型（2.4.1）對應(yīng)一個階對稱矩陣.每個二次型都有一個對稱矩陣與之對應(yīng);反之,每個對稱矩陣也有一個二次型與之對應(yīng).二次型與它的矩陣是相互唯一確定的.一般地,關(guān)于二次型的矩陣有下列結(jié)果.定理1 設(shè)是矩陣,則是一個二次型,它的矩陣為.2.5 特

12、征值與特征向量 維線性變換空間與矩陣空間是同構(gòu)關(guān)系,可以通過矩陣來研究線性變換的性質(zhì),我們希望找到一組基使得線性變換在這組基下的矩陣的形式最簡單.這個問題的一個簡單設(shè)想是是否可以是對角形式？即.這個設(shè)想可以歸結(jié)為:對線性空間的線性變換,.這就是線性變換的特征值與特征向量.定義1 設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個線性變換,如果對于數(shù)域中一數(shù),存在一個非零向量,使得.那么稱為的是一個特征值,而稱為的屬于特征值的一個特征向量.定義2 設(shè)是數(shù)域上一級矩陣, 是一個文字. 矩陣的行列式,稱為的特征多項(xiàng)式, 這是數(shù)域上的一個次多項(xiàng)式.上面的分析說明, 如果是線性變換的特征值, 那么一定是矩陣的特征多項(xiàng)式的一個根;

13、 反過來, 如果是矩陣的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中的一個根, 即, 那么齊次線性方程組 (2.5.1) 就有非零解. 這時,如果是方程組(2.5.1)的一個非零解, 那么非零解向量.滿足（2.5.1）式, 即是線性變換的一個特征值, 就是屬于特征值的一個特征向量定理1 設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一個變換,則是的一個特征值當(dāng)且僅當(dāng)是的特征多項(xiàng)式的一個根.定理2 設(shè)是線性空間的線性變換的一個特征值,則集合 (2.5.2)構(gòu)成的一個子空間.在有限維情形,其中,是在在某個基下的矩陣. 定義3 設(shè)是線性空間的線性變換的一特征值,式（2.5.2）定義的的子空間稱為的對應(yīng)特征值的特征子空間因此, 確定一個線性變換的特征

14、值與特征向量的方法可以分成一下幾步: (1)在線性空間中取一組基, 寫出在這組基下的矩陣; (2)求出的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中全部的根, 它們也就是線性變換的全部特征值; (3)把所得的特征值逐個代入方程組（2.5.1）式, 對于每一個特征值, 解方程組（2.5.1）式,求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo), 這樣, 我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量 矩陣的特征多項(xiàng)式的根有時也稱為的特征值, 而相應(yīng)的線性方程組（2.5.1）式的解也就稱為的屬于這個特征值的特征向量3 矩陣的應(yīng)用3.1矩陣的高次冪3.1.1 矩陣的冪 定義1 設(shè)方陣, 規(guī)

15、定稱為的次冪. 方陣的冪滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）: (1) (2) 注意: 一般地, 為自然數(shù) 命題1 設(shè)均為階矩陣, 則有 為自然數(shù),反之不成立. 3.1.2 矩陣高次冪的求法 矩陣方冪在高等代數(shù)題解、矩陣穩(wěn)定性討論及預(yù)測、控制等方面有廣泛的應(yīng)用,它的求解原理貫穿于代數(shù)教學(xué)過程的始終,可以用到矩陣各方面的知識.其計(jì)算量往往較大,但方法適當(dāng),可大大簡化其計(jì)算難度.本文將給出六種求矩陣方冪地方法. 3.1.2.1 利用凱萊哈密爾頓（cayleyhamilton）定理求方陣的冪 定理1 （cayleyhamilton定理）設(shè)a是n階矩陣,是a的特征多項(xiàng)式,則. 設(shè)是數(shù)域上階方陣,其特

16、征多項(xiàng)式為,為求an（n是正整數(shù)）,令,做帶余除法,.由定理1知,并且的次數(shù)小于的次數(shù),進(jìn)而可得. 利用上定理求冪時在計(jì)算過程中可分為兩種情形: 1、所求矩陣的冪指數(shù)相對較低,可直接利用定理1及余式定理求出. 例1 已知 ,求. 解 令矩 陣的 特 征 多 項(xiàng) 式 為 做帶余除法, 于是,由定理1知 2、所求矩陣的冪指數(shù)相對較高,不便用上法直接求出余式.此種情形下矩陣的特征多項(xiàng)式有重根和無重根時分別給出下面的解法. (1)矩陣的特征多項(xiàng)式無重根. 對于,以其個不同的特征值分別代入此式即可求出. 例2 已知,求. 解 令. 矩陣的特征多項(xiàng)式為. 做帶余除法,注意到的次數(shù)是3,即. 以分別代入上式

17、得 . . . 所以.由定理1 ,. （3）矩陣的特征多項(xiàng)式有重根. 同上法,為獲得足夠的信息求出,可對求導(dǎo). 例3 已知,求. 解 a的特征多項(xiàng)式是 令,做帶余除法 以分別代入上式,有 為求,就對求導(dǎo)得 以代入上式,有,從而求得 ,于是 . 3.1.2.2 對于秩為1的n階方陣a有下面定理 定理1 對于n階方陣a,若,那么a可分解為一個列向量與一個行向量的乘積,其中. 例4 已知,求. 解 顯然,并且, 而,所以. 3.1.2.3 可分解為數(shù)量矩陣和零冪矩陣之和的情況 要點(diǎn) 觀察推敲矩陣,看其是否可以分解為一個數(shù)量矩陣與一個零冪矩陣之和,即,其中,但,因?yàn)閿?shù)量矩陣和可以交換,于是由二項(xiàng)式定理

18、得.例5 已知矩陣,求.解 觀察矩陣的特點(diǎn),可先將其分塊寫成,其中,則,下面就先求和.顯然,即,這里,且,所以.至于,滿足,代入上述給出的二 次項(xiàng)式公式.因此本題得解 .3.1.2.4 歸納法 例6 已知,求其次冪. 解 先來計(jì)算的較低次冪和,由矩陣乘法直接計(jì)算得 ,由此猜想. 以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.（1）當(dāng)時成立.（2）歸納假設(shè)結(jié)論對時亦成立,即.所以當(dāng)時,而,即當(dāng)時成立,從而證明結(jié)論成立.即.3.1.2.5 利用相似變換法 要點(diǎn) 若已知矩陣可以經(jīng)過相似變換化為對角陣時,即存在可逆矩陣,使,其中為對角陣,其對角線上元素為矩陣的特征值.由上可得,.于是求的方冪就轉(zhuǎn)化為求過渡矩陣和對角陣,而

19、對于和陣,我們應(yīng)用代數(shù)知識要好求得多了,具體如下: 例7 已知,求其次冪. 解 經(jīng)過計(jì)算,矩陣的特征值和,對于特征值有線性無關(guān)特征向量和.對于特征值有特征向量. 令, 即可逆,且有 于是計(jì)算得 .3.1.2.6 利用jordan標(biāo)準(zhǔn)形 例8 已知,求. 解 第一步:首先求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.由 . 從而初等因子為,故的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 第二步:求可逆矩陣使,即.設(shè),所以有 . 由得,設(shè),則由 , 而有解,故,又,從而即 , 于是有,所以得.令,則.于是,再解. 于是求得. 第三步:由第二步得. .3.2 解線性方程組3.2.1線性方程組的有解判定定理 定理1 （克拉默法則） 如果線性方程組 （4

20、.2.1）的系數(shù)矩陣的行列式那么線性方程組（4.2.1）有解,并且解是唯一的,解可以通過系數(shù)表為其中是矩陣中第列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式,即 定理(線性方程組的有解判定定理) 線性方程組有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.3.2.2 線性方程組一般形式的運(yùn)用 例9 求下述齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣: 于是方程組的一般解為: 其中是自由未知量.令得 得 得這里就是方程組的一個基礎(chǔ)解系. 例10 解線性方程組: 解 把此方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣: 從而得到此方程組的一般解為: 其中是自由未知量. 對

21、于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的非齊次線性方程組,如果它的系數(shù)行列式不為零,我們還可以用克萊姆法則求解.但是這種方法計(jì)算量很大,因此我們一般不用它,只是對少數(shù)字母系數(shù)的方程組采用克萊姆法來進(jìn)行求解. 例11 非齊次線性方程組 求當(dāng)為何值時方程組有解？此時有多少解？ 解 把方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣: 顯然,當(dāng)時,方程組無解;當(dāng)時,方程組無解,此時由于階梯形矩陣的非零行有2行,而未知量有4個,所以方程組有無窮多個解,易求出一般解為 其中是自由未知量.3.3 解矩陣方程矩陣方程是矩陣運(yùn)算的一部分,這里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題.掌握簡單的矩陣方程的求法,對于求解復(fù)雜的矩陣方程

22、有很大幫助.簡單的矩陣方程有三種形式:如果這里的、都是可逆矩陣,則求解時需要找出矩陣的逆,注意左乘和右乘的區(qū)別.它們的解分別為例如,求解方程先考察是否可逆,如果可逆時,方程兩邊同時左乘,得即這里要注意只能左乘不能右乘,因?yàn)榫仃嚨某朔ú粷M足交換律.同樣,對于方程只能右乘,得即而對于方程只能是左乘而右乘,得即看下面解矩陣方程例題: 例12 解 先求出,則則 例13 解 先求出,則則 例14 解 先求出,則, 則 當(dāng)矩陣方程中的、不是方陣或者是不可逆的方陣時,前面的方法就不能用了.這時,我們需要用待定元素法來求矩陣方程.設(shè)未知矩陣的元素為,即,然后由所給的矩陣方程列出所滿足的線性方程組,通過解線性方

23、程組求出所有元素,從而得到所求矩陣. 例15 解矩陣方程 解 利用元素法,先確定的行數(shù)等于左邊矩陣的行數(shù)3,的列數(shù)等于積矩陣的列數(shù)2,則是的矩陣. 設(shè),則. 即,于是得方程組.解得,所以,其中為任意實(shí)數(shù). 例16 解矩陣方程其中,.解 由于,所以是不可逆矩陣,需要用元素法求解.設(shè)則,即.比較第一列元素得,解得 同樣,比較第二、三列元素可得對應(yīng)方程組,分別解得,所以可得,其中是任意實(shí)數(shù).總之,對于矩陣方程,當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時,先判斷是否可逆.如果可逆,則可以利用左乘或右乘逆矩陣的方法求未知矩陣,如果方陣不可逆或是系數(shù)矩陣不是方陣,則需要用待定元素法通過解方程確定未知矩陣.3.4 矩陣對角化方法3

24、.4.1 討論對于有個特征單根的階方陣3.4.1.1 基本原理引理 設(shè)是秩為的階矩陣,且 其中是秩為的行滿秩矩陣,則齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系即為矩陣所含的個行向量.引理 矩陣的特征矩陣經(jīng)過一系列行初等變換可化為上三角形的矩陣,且的主對角線上元素乘積的多項(xiàng)式的解為矩陣的全部特征根.引理 對于數(shù)域上的階方陣,若的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個單根,則由特征向量構(gòu)成的階可逆矩陣,使得定理 若數(shù)域上的階方陣的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個單根,則可通過如下方法對角化:設(shè)為上三角形矩陣,則有方陣的特征根即為中主對角線上各個元素乘積的解;對于方陣的每一個特征根,總有中零行向量所對應(yīng)的中的行向量與之對應(yīng).3.4.1.2舉例說明

25、例17 設(shè),問方陣是否可以化為對角形,若可以,求出其對角化后的方陣.解 =由題意知=0, ,此時方陣有個特征單根,故方陣可以化為對角形;將代入中知的第三行為零,由定理知的第三行向量即為屬于的特征向量,同理可知分別為屬于的特征向量.于是可得,使得.3.4.2 討論對于有特征重根的階方陣對于有特征重根的方陣,可以通過上述方法將其化為上三角形矩陣,接著再對上三角形矩陣施行一系列初等變換將其化為對角形矩陣,這樣就避免了上三角形矩陣中非零行向量可能不構(gòu)成行滿秩的情形.3.4.2.1基本定理 定理 設(shè),則且為對角形矩陣,則有對于的每個特征根,中與的零行對應(yīng)的行向量即為屬于的特征向量;設(shè)為的所有不同的特征根

26、,重?cái)?shù)分別為,則可以化成對角形中的零行數(shù)目等于的重?cái)?shù).由此我們不難得到對于有特征重根的方陣化為對角形方陣的簡單步驟如下:作,其中,則的特征根恰為的根;若的特征根全在內(nèi),且每個有中零行數(shù)目等于的重?cái)?shù),則可以化為對角形方陣,否則不可以化為對角形方陣;對于每個特征根,在中取出與中零行對應(yīng)的行向量得屬于的特征向量且都是線性無關(guān)的.3.4.2.2 舉例說明例18 ; 問方陣和是否可以化為對角形,若可以,試求出其對角化后的方陣.解 由題意知,因?yàn)橹辛阈袛?shù)目的重?cái)?shù),故不可以化為對角形方陣. .由題意知,此時中零行數(shù)等于的重?cái)?shù),故可以化為對角形方陣; 將代人中知的第一行和第三行為零,由定理知的第一行向量和第三行向量即為屬于的特征向量,同理可知為屬于的特征向量. 由此可知使得.結(jié) 論 通過以上對矩陣的學(xué)習(xí),我們知道,想要在學(xué)習(xí)過程中靈活應(yīng)用矩陣思想,首先要理解矩陣思想,在此基礎(chǔ)上,遇到難解的數(shù)學(xué)問題,能發(fā)現(xiàn)矩陣是可以解決此類問題的關(guān)鍵,最后能正確無誤的利用矩陣思想把數(shù)學(xué)問題得以解決.矩陣是代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象,他對于研究矩陣的相