第九章差分方法

1、 差分方程模型的理論和方法 青島建筑工程學(xué)院 胡京爽 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個(gè)或幾個(gè)離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對(duì)要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動(dòng)性、周期性等），從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。 2、應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實(shí)際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而

2、微分方程模型就可以近似于某個(gè)差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實(shí)際背景。在經(jīng)濟(jì)金融保險(xiǎn)領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。 3、差分方程建模： 在實(shí)際建立差分方程模型時(shí)，往往要將變化過程進(jìn)行劃分，劃分成若干時(shí)段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對(duì)每個(gè)時(shí)段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實(shí)際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每?jī)蓚€(gè)相鄰時(shí)段或幾個(gè)相鄰時(shí)段或者相隔某幾個(gè)時(shí)段的量之間的變化規(guī)律和運(yùn)算關(guān)系（即用相應(yīng)設(shè)定的變量進(jìn)行四

3、則運(yùn)算或基本初等函數(shù)運(yùn)算或取最運(yùn)算等）等式（可以多個(gè)并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可能的關(guān)系），從而 建立起差分方程?；蛘邔?duì)事物系統(tǒng)進(jìn)行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個(gè)子系統(tǒng)中引入恰當(dāng)?shù)淖兞炕蛳蛄浚缓蠓治鼋⑵鹱舆^程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時(shí)段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對(duì)性強(qiáng)的劃分，同時(shí)，對(duì)劃分后的時(shí)段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴(kuò)大對(duì)過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對(duì)已有的、已知的若干量進(jìn)行結(jié)合運(yùn)算、取最運(yùn)算等處理方式，目的是建立起簡(jiǎn)潔、深刻、易于求解分析的差分

4、方程。在后面我們所舉的實(shí)際例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)體會(huì)。 差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對(duì)它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng)遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時(shí)注意與其它數(shù)學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因?yàn)橐环矫娼⒉罘址匠棠Ｐ退玫臄?shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進(jìn)行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等。第一節(jié) 差分方程的基本知識(shí)一、 基本概念1、 差分算子 設(shè)數(shù)列，定義差分算子為在處的向前差分。 而為在處的向后差分。 以后我們都是指向前差分。 可見是的函數(shù)。從而可以進(jìn)一步定義的差分： 稱之為在處的二階差分，它反映的是的增量的增量。

5、類似可定義在處的階差分為： 2、 差分算子 、不變算子、平移算子記，稱為平移算子，為不變算子 。 則有： 由上述關(guān)系可得： （1） 這表明在處的階差分由在，處的取值所線性決定。 反之， 由 得 ： ，得：, 這個(gè)關(guān)系表明：第n+2項(xiàng)可以用前兩項(xiàng)以及相鄰三項(xiàng)增量的增量來表現(xiàn)和計(jì)算。即一個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以用其前面的k 項(xiàng)和包括這項(xiàng)在內(nèi)的k+1 項(xiàng)增量的增量的增量.第k 層增量所構(gòu)成。 . 得： （2） 可以看出： 可以由的線性組合表示出來3、 差分方程 由以及它的差分所構(gòu)成的方程 （3）稱之為k階差分方程。由（1）式可知（3）式可化為 （4） 故（4）也稱為k階差分方程（反映的是未知數(shù)列任意一

6、項(xiàng)與其前，前面k項(xiàng)之間的關(guān)系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等價(jià)的。 我們經(jīng)常用的差分方程的形式是（4）式。4、 差分方程的解與有關(guān)概念（1） 如果使階差分方程（4）對(duì)所有的成立，則稱 為方程（4）的解。（2） 如果（為常數(shù)）是（4）的解，即 則稱為（4）的平衡解或叫平衡點(diǎn)。平衡解可能 不只一個(gè)。平衡解的基本意義是：設(shè)是（4）的解，考慮的變化性態(tài)，其中之一是極限狀況，如果，則方程（4）兩邊取極限（就存在在這里面），應(yīng)當(dāng)有 （3） 如果（4）的解使得既不是最終正的，也不是最終負(fù)的，則稱為關(guān)于平衡點(diǎn)是振動(dòng)解。（4） 如果令：，則方程（4）會(huì)變成 （5）則 成為（5）的平衡點(diǎn)。（5） 如果

7、（5）的所有解是關(guān)于振動(dòng)的，則稱階差分方程 （5）是振動(dòng)方程。如果（5）的所有解是關(guān)于非振動(dòng)的，則稱階差分方程（5）是非振動(dòng)方程。（6） 如果（5）有解，使得對(duì)任意大的有 則稱為正則解。（即不會(huì)從某項(xiàng)后全為零）（7） 如果方程（4）的解使得，則稱為穩(wěn)定解。5、 差分算子的若干性質(zhì)（1） （2） （3） （4） （5）6、 Z變換定義：對(duì)于數(shù)列，定義復(fù)數(shù)級(jí)數(shù) （6） 這是關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)。它的收斂域是：，其中可以為，可以為0。 稱為的-變換。 由復(fù)變函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)的唯一性可知：變換是一一對(duì)應(yīng)的，從而有逆變換，記為： （7） 變換是研究數(shù)列的有效工具 。變換的若干重要性質(zhì)：（1）線性性 （2）平移

8、性質(zhì) 變換舉例： （1）, 則 （2），則 （3）設(shè)則 （4）設(shè)則 第二節(jié) 差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、 常系數(shù)線性差分方程的解 方程 （ 8） 其中為常數(shù)，稱方程（8）為常系數(shù)線性方程。 又稱方程 （9） 為方程（8）對(duì)應(yīng)的齊次方程。 如果（9）有形如的解，帶入方程中可得： （10） 稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。 顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。 基本結(jié)果如下：（1） 若（10）有k個(gè)不同的實(shí)根，則（9）有通解： ，（2） 若（10）有m重根，則通解中有構(gòu)成項(xiàng)： （3）若（10）有一對(duì)單復(fù)根 ，令：，則（9）的通解中有構(gòu)成項(xiàng)： （4） 若有m 重復(fù)根：

9、，則（9）的通項(xiàng)中有構(gòu)成項(xiàng)： 綜上所述，由于方程（10）恰有k 個(gè)根，從而構(gòu)成方程 （9）的通解中必有k個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。通解可記為： 如果能得到方程（8）的一個(gè)特解：，則（8）必有通解： + （11）（8） 的特解可通過待定系數(shù)法來確定。 例如：如果為n 的多項(xiàng)式，則當(dāng)b不是特征根時(shí)，可設(shè)成形如形式的特解，其中為m次多項(xiàng)式；如果b是r重根時(shí)，可設(shè)特解：，將其代入（8）中確定出系數(shù)即可。2、 差分方程的z變換解法 對(duì)差分方程兩邊關(guān)于取Z變換，利用的Z 變換F（z）來表示出的Z變換，然后通過解代數(shù)方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圓環(huán)域中展開成洛朗級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是所要求的例1 設(shè)差分方

10、程，求 解：解法1：特征方程為，有根： 故：為方程的解。 由條件得：解法2：設(shè)F（z）=Z(),方程兩邊取變換可得： 由條件得 由F（z） 在中解析，有 所以，3、 二階線性差分方程組設(shè)，形成向量方程組 （12）則 （13） （13）即為（12）的解。 為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數(shù)的方法計(jì)算。常用的方法有： （1）如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：。 （2）將A 分解成為列向量，則有 從而，（3） 或者將A相似于約旦標(biāo)準(zhǔn)形的形式，通過討論A的特征值的性態(tài)，找出的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進(jìn)而分析解 的變化規(guī)律，獲得

11、它的基本性質(zhì)。4、 關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)果（1）k 階常系數(shù)線性差分方程（8）的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對(duì)應(yīng)的特征方程（10）所有的 特征根滿足 （2）一階非線性差分方程 （14） （14）的平衡點(diǎn)由方程決定， 將在點(diǎn)處展開為泰勒形式： （15） 故有：時(shí)，（14）的解是穩(wěn)定的， 時(shí)，方程（14）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 第三節(jié) 差分方程建模舉例 差分方程建模方法的思想與與一般數(shù)學(xué)建模的思想是一致的，也需要經(jīng)歷 背景分析、確定目標(biāo)、預(yù)想結(jié)果、引入必要的數(shù)值表示（變量、常量、函數(shù)、積分、導(dǎo)數(shù)、差分、取最等）概念和記號(hào)、幾何形式（事物形狀、過程軌跡、坐標(biāo)系統(tǒng)等），也就是說要把事物的性態(tài)、結(jié)構(gòu)、過

12、程、成分等用數(shù)學(xué)概念、原理、方法來表現(xiàn)、分析、求解。當(dāng)然，由于差分方程的特殊性，首先應(yīng)當(dāng)把系統(tǒng)或過程進(jìn)行特別分解，形成表現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)部分的離散取值形式，或形成變化運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間或距離的分化而得到離散變量。然后通過內(nèi)在的機(jī)理分析，找出變量所能滿足的平衡關(guān)系、增量或減量關(guān)系及規(guī)律，從而得到差分方程。另外，有時(shí)有可能 通過多個(gè)離散變量的關(guān)系得到我們關(guān)心的變量的關(guān)系，這實(shí)際上建立的是離散向量方程，它有著非常重要的意義。有時(shí)還需要找出決定變量的初始條件。有時(shí)還需要將問題適當(dāng)分成幾個(gè)子部分，分別求解。模型1 種群生態(tài)學(xué)中的蟲口模型： 在種群生態(tài)學(xué)中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目的變化 ，他的變化規(guī)律

13、是：每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化成一個(gè)蟲子。建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)蟲子數(shù)目的變化規(guī)律。 模型假設(shè)與模型建立：假設(shè)第n年的蟲口數(shù)目為，每年一個(gè)成蟲平均產(chǎn)卵c個(gè)（這個(gè)假設(shè)有點(diǎn)粗糙，應(yīng)當(dāng)考慮更具體的產(chǎn)卵分布狀況），則有：，這是一種簡(jiǎn)單模型； 如果進(jìn)一步分析，由于成蟲之間會(huì)有爭(zhēng)斗以及傳染病、天敵等的威脅，第n+1年的成蟲數(shù)會(huì)減少，如果考慮減少的主要原因是蟲子之間的兩兩爭(zhēng)斗，由于蟲子配對(duì)數(shù)為，故減少數(shù)應(yīng)當(dāng)與它成正比，從而有： 這個(gè)模型可化成：，這是一階非線性差分方程。這個(gè)模型的解的穩(wěn)定性可以用相應(yīng)一階差分方程的判斷方法，即（14）式來獲得。 如果還考慮其它的影響成蟲孵卵及成活的

14、因素的定量關(guān)系，這個(gè)模型在此基礎(chǔ)上仍可進(jìn)一步改進(jìn)，更加符合實(shí)際情形。這種關(guān)系一方面可以通過機(jī)理分析，確定減少量與影響因素的定量關(guān)系，另一方面也可以用統(tǒng)計(jì)的方法來線性估計(jì)影響程度。或者還可以用影響曲線的方法來直觀表現(xiàn)影響的比例關(guān)系、周期關(guān)系、增量關(guān)系等等。 模型2 具周期性的運(yùn)動(dòng)過程的差分方程模型 建立差分方程描述振動(dòng)臺(tái)上的乒乓球垂直運(yùn)動(dòng)的方程，即把運(yùn)動(dòng)過程中的某些離散變化取值的變量的變化規(guī)律表現(xiàn)出來。 假設(shè)：乒乓球與振動(dòng)臺(tái)之間的振動(dòng)恢復(fù)系數(shù)為振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的上下位移是，乒乓球初始時(shí)刻在離臺(tái)面垂直距離為H處為自由落體運(yùn)動(dòng)。 又假設(shè)為第j 次碰撞時(shí)刻，第 j次碰撞前的速度為，碰撞后的速度為。假設(shè)。振動(dòng)

15、臺(tái)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)速度為；又記，則有：， （3.1）另外，由碰撞規(guī)律分析可知： 該式經(jīng)簡(jiǎn)化處理后可得： （3.2）由（1）和（2）式聯(lián)立可得二階差分非線性方程組 模型3 蛛網(wǎng)模型（1） 經(jīng)濟(jì)背景與問題：在自 由市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，有些商品的生產(chǎn)、銷售呈現(xiàn)明顯的周期性。農(nóng)業(yè)產(chǎn)品往往如此，在工業(yè)生產(chǎn)中，許多商品的生產(chǎn)銷售是有周期性的，表現(xiàn)在：商品的投資、銷售價(jià)格、產(chǎn)量、銷售量在一定時(shí)期內(nèi)是穩(wěn)定的，因而整個(gè)某個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)這些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關(guān)心的是商品的銷售價(jià)格與生產(chǎn)產(chǎn)量這兩個(gè)指標(biāo)，它們是整個(gè)經(jīng)營(yíng)過程中的核心因素，要想搞好經(jīng)營(yíng)，取得良好的經(jīng)濟(jì)效益，就必須把握好這兩個(gè)因素的規(guī)律，

16、作好計(jì)劃。試分析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營(yíng)者根據(jù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，如何建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)和分析市場(chǎng)趨勢(shì)的。（2） 模型假設(shè)與模型建立 將市場(chǎng)演變模式劃分為若干段，用自然數(shù)n來表示；設(shè)第n個(gè)時(shí)段商品的數(shù)量為，價(jià)格為，n=1,2.;由于價(jià)格與產(chǎn)量緊密相關(guān)，因此可以用一個(gè)確定的關(guān)系來表現(xiàn)：即設(shè)有 （3. 3）這就是需求函數(shù)，f 是單調(diào)減少的對(duì)應(yīng)關(guān)系; 又假設(shè)下一期的產(chǎn)量是決策者根據(jù)這期的價(jià)格決定的，即：設(shè)，h是單調(diào)增加的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 從而，有關(guān)系： （3.4）g 也是單調(diào)增加的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 因此可以建立差分方程： （3.5） （3.6） 這就是兩個(gè)差分方程。屬一階非線性差分方程。（3） 模型的幾何表現(xiàn)與分析。 為了表

17、現(xiàn)出兩個(gè)變量和的變化過程，我們可以借助已有的函數(shù)f和g ,通過對(duì)應(yīng)關(guān)系的幾何表現(xiàn)把點(diǎn)列，和在坐標(biāo)系中描繪出來，進(jìn)而分析它們的變化規(guī)律、趨勢(shì)、找穩(wěn)定點(diǎn)等等。其中 將點(diǎn)列連接起來，就會(huì)形成象蛛網(wǎng)一樣的折線，這個(gè)圖形被稱作為蛛網(wǎng)模型?？梢栽O(shè)想，這種形式可作為差分方程分析與求解的重要手段，它的主要數(shù)學(xué)技術(shù)是：圖形的描繪，曲線上點(diǎn)列的描繪（設(shè)法由前一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)分量來算出下一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)分量，并確認(rèn)它在哪條曲線上，就可以畫出這個(gè)點(diǎn)；有時(shí)或者可由前兩個(gè)點(diǎn)決定下一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)分量），也就是通過直觀、幾何形式，把我們關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因?yàn)樵谇€上如果知道了

18、一個(gè)分量，就可以作出另一個(gè)分量?？梢妿缀涡问奖硎居嘘P(guān)系的變量是既方便又有意義的。ypgPOfx 易見：如果點(diǎn)列最后收斂于點(diǎn)，則，并且就是兩條曲線的交點(diǎn)，從而穩(wěn)定的。這也表明，市場(chǎng)在長(zhǎng)期運(yùn)行之后會(huì)保持一種穩(wěn)定的狀態(tài)，說明市場(chǎng)處于飽和狀態(tài)。要想進(jìn)一步發(fā)展就必須打破這種平衡，在決策機(jī)制和方法上有所改進(jìn)。 幾何上的進(jìn)一步分析表明，如果曲線和在交點(diǎn)處切線的斜率的絕對(duì)值記為：，則 當(dāng)時(shí)，是穩(wěn)定的； 當(dāng) 時(shí)，是不穩(wěn)定的。(4) 模型的差分方程分析設(shè)點(diǎn)滿足：，在點(diǎn)附近取函數(shù)的一階近似： 合并兩式可得： 這是關(guān)于 的一階線性差分方程。當(dāng)然它是原來方程的近似模型。作為數(shù)學(xué)模型，本來就是客觀實(shí)際問題的近似模擬，現(xiàn)在

19、為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的。 其中，為f 在點(diǎn)處的切線斜率；為g(x)在點(diǎn)處切線的斜率。 方程（3.9）遞推可得： 所以，點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是：即： 這個(gè)結(jié)論與蛛網(wǎng)模型的分析結(jié)果是一致的。（4） 模型推廣 如果決策時(shí)考慮到與都有關(guān)系，則可假設(shè) 這時(shí)數(shù)學(xué)模型為： 對(duì)此模型仍用線性近似關(guān)系可得：首先求出平衡點(diǎn)，即解方程 則有： 再結(jié)合（3.7）可得： 即： 特征方程為： 特征根為： 所以：時(shí)，此時(shí)解不穩(wěn)定。 時(shí)，則時(shí)， 從而解是穩(wěn)定的。 這個(gè)條件比原來的模型解的穩(wěn)定性條件放寬了。說明決策水 平提高了。 進(jìn)一步來看，對(duì)這個(gè)模型還可以進(jìn)行進(jìn)一步的分析：考慮下一年的產(chǎn)量時(shí)，還可以近三年的價(jià)格

20、來決定，例如：設(shè)，；另外還可以考慮引入投資額，并建立有關(guān)的離散方程關(guān)系。模型4 人口的控制與預(yù)測(cè)模型 背景分析：人口數(shù)量的發(fā)展變化規(guī)律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現(xiàn)和模擬。但在實(shí)際應(yīng)用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應(yīng)用。人口數(shù)量的變化取決于諸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性別比、人口基數(shù)等。試建立離散數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。 模型假設(shè)：以年為時(shí)間單位記錄人口數(shù)量，年齡取周歲。（1） 設(shè)這個(gè)地區(qū)最大年齡為m歲（2） 第t年為i歲的人數(shù)為， 這個(gè)數(shù)量指標(biāo)是整個(gè)問題分析、表現(xiàn)的目標(biāo)和載體，我們的目的就是找出這些變量的變化規(guī)律、內(nèi)在的普遍聯(lián)系。（3） 設(shè)第t年為

21、i歲的人口平均死亡率為，即這一年中i歲人口中死亡數(shù)與基數(shù)之比： 即： （4） 設(shè)第t 年i歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒 數(shù)為 ，為生育區(qū)間。 為第t年i歲人口的女性比（占全部i歲人口數(shù)） 由此可知：第t 年出生的人數(shù)為： （5） 記第t 年嬰兒的死亡率為，則（6） 設(shè)，它表示i歲女性總生育率，則，如果假設(shè)年后女性出生率保持不變，則 可見，表示每位婦女一生中平均生育的嬰兒數(shù)，稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。 模型建立：根據(jù)上面的假設(shè) . 為了全面系統(tǒng)地反映一個(gè)時(shí)期內(nèi)人口數(shù)量的狀況， 令 則此向量滿足方程： 即：這是一階差分方程 其中是可控變量，是狀態(tài)變量，并且關(guān)于和都是線

22、性的，故稱其為雙線性方程。 模型分析： 在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下，死亡率 、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設(shè)為不變的，故為常數(shù)矩陣。從而， 只要總生育率確定下來，則人口的變化規(guī)律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關(guān)信息，下面再引入一些重要的指標(biāo)：（1） 人口總數(shù)：（2） 人口平均年齡：（3） 平均壽命：，這里假定從第t年分析，如果以后每年的死亡率是不變的，即：則表示 t 年出生的人活到第j+1年期間的死亡率，這也表明其壽命為j歲，j=1,2m.而表示壽命。 通過求出的變化規(guī)律，就可以對(duì)上面引入的3個(gè)指標(biāo)進(jìn)行更具體的分析，從而對(duì)人口的分布狀況、變化趨勢(shì)、總體特征等有科學(xué)的認(rèn)識(shí)和把握。具體

23、求解分析這里不再進(jìn)行。 模型5 線性時(shí)間離散彌漫網(wǎng)絡(luò)模型 引言：一個(gè)國(guó)家在一定時(shí)間段內(nèi)的財(cái)富依賴于許多因素，不同國(guó)家的相互交流是重要的方面。建立數(shù)學(xué)模型，表現(xiàn)國(guó)家財(cái)富的變化與國(guó)家間財(cái)富的流動(dòng)之間的關(guān)系。 模型假設(shè)：設(shè)有n個(gè)國(guó)家，用表示在時(shí)期的財(cái)富。假設(shè)只考慮這些國(guó)家之間僅僅兩兩國(guó)家之間有交流關(guān)系。并且假設(shè)財(cái)富流動(dòng)的系數(shù)是。 模型的建立：國(guó)家間的財(cái)富關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足 . 用矩陣形式表示： 令表示時(shí)期t 各個(gè)國(guó)家的財(cái)富狀態(tài)； 令則有： 記 ，則 模型計(jì)算與分析： 計(jì)算可知 的特征值為； 的特征值為 對(duì)應(yīng)的特征向量為 其中 為討論方便起見，引入如下記號(hào)： 則有：n 為偶數(shù)時(shí)： n 為奇數(shù)時(shí)： 記：為由張

24、成的子空間， 則： 由此式進(jìn)一步分析可以獲得：當(dāng)時(shí)，的漸進(jìn)變化狀態(tài)規(guī)律(略)。 模型 6 金融問題的差分方程模型1、 設(shè)現(xiàn)有一筆p萬(wàn)元的商業(yè)貸款，如果貸款期是n年，年利率是 ，今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算每月的還款數(shù)是多少？模型分析：在整個(gè)還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個(gè)變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。 模型假設(shè)：設(shè)貸款后第 k個(gè)月后的欠款數(shù)是元，月還款為元，月貸款利息為。模型建立：關(guān)于離散變量，考慮差分關(guān)系有： ， 即： （3.15） 這里已知有： 模型求解：令，則 這就是差分方程（3.15）的解。把已知數(shù)據(jù)代入中，可以求出月還款額。例如： 時(shí)，可

25、以求出：元。模型的進(jìn)一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標(biāo)的改變、某些特殊結(jié)果等。如果令，則，并且 當(dāng)時(shí)，總有，即表明：每月只還上了利息。只有當(dāng)時(shí)，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。2、 養(yǎng)老保險(xiǎn)模型 問題：養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供以選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。也就是說，分析如果已知所交保費(fèi)和保險(xiǎn)收入，按年或按月計(jì)算實(shí)際的利率是多少？也就是說，保險(xiǎn)公司需要用你的保費(fèi)實(shí)際獲得至少多少利潤(rùn)才能保證兌現(xiàn)你的保險(xiǎn)收益？ 模型舉例分析：假設(shè)每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時(shí)月養(yǎng)老金105

26、6元；試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際收益率。 模型假設(shè)：這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時(shí)是確定的。整個(gè)過程可以按月進(jìn)行劃分，因?yàn)榻毁M(fèi)是按月進(jìn)行的。假設(shè)投保人到第月止所交保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險(xiǎn)費(fèi)的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。 模型建立：在整個(gè)過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：， 在這里實(shí)際上表示從保險(xiǎn)人開始交納保險(xiǎn)費(fèi)以后，保險(xiǎn)人帳戶上的資金數(shù)值，我們關(guān)心的是，在第M個(gè)月時(shí)， 能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險(xiǎn)公司獲得收益；如為負(fù)數(shù)，則表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧

27、損。當(dāng)為零時(shí)，表明保險(xiǎn)公司最后一無所有，表明所有的收益全歸保險(xiǎn)人，把它作為保險(xiǎn)人的實(shí)際收益。從這個(gè)分析來看，引入變量，很好地刻畫了整個(gè)過程中資金的變化關(guān)系，特別是引入收益率 ，雖然它不是我們所求的保險(xiǎn)人的收益率，但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對(duì)象：保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)效益，以此作為整個(gè)過程中各種量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。 模型計(jì)算：以25歲起保為例。假設(shè)男性平均壽命為75歲，則有 ，初始值為，我們可以得到：在上面兩式中，分別取和并利用可以求出： 利用數(shù)學(xué)軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為： 同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為 練習(xí)題： 1、金融公司支付基金的流動(dòng)模型：

28、某金融機(jī)構(gòu)設(shè)立一筆總額為540 萬(wàn)的基金，分開放置位于A城和B城的兩個(gè)公司，基金在平時(shí)可以使用，但每周末結(jié)算時(shí)必須確?？傤~仍為540 萬(wàn)。經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)行，每過一周，A城公司有10%的基金流動(dòng)到B城公司，而B城公司則有12%的基金流動(dòng)到A城公司。開始時(shí)，A城公司基金額為260萬(wàn)，B城公司為280萬(wàn)。試建立差分方程模型分析：兩公司的基金數(shù)額變化趨勢(shì)如何？進(jìn)一步要求，如果金融專家認(rèn)為每個(gè)公司的支付基金不能少于220萬(wàn)，那么是否需要在什么時(shí)間將基金做專門調(diào)動(dòng)來避免這種情況？ 2、某保險(xiǎn)公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險(xiǎn)計(jì)劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險(xiǎn)費(fèi)1540元，交費(fèi)期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時(shí)（投保滿5年）可獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時(shí)（投保滿10年）可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼。另外，在投保人去世或殘廢時(shí)，其受益人可獲保險(xiǎn)金20000元 。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險(xiǎn)費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？而壽命若為74歲時(shí)，實(shí)際年利率又是多少？3、Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型 已知一種昆蟲每?jī)芍墚a(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給除了變化過程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的