第5章552均方誤差準(zhǔn)則MSE和LMS算法

1、數(shù)字通信輔導(dǎo)材料第5章在有ISI及加性高斯噪聲信道中的數(shù)字信號傳輸1515.5.2均方誤差準(zhǔn)則（MSE）禾口 LMS 算法引言：均方誤差準(zhǔn)則同時考慮 ISI及噪聲的影響，使其最小化。本節(jié)討論問題：1. 均方誤差準(zhǔn)則；2. 無限長LMS均衡器（C（z）, Jmin）；3. 有限長LMS均衡器（Copt，Jmin）；4. LMS算法；5. 均衡器的操作；6. 遞推LMS算法收斂特性的分析。一.均方誤差準(zhǔn)則j -：其中，接收數(shù)據(jù)樣本為：VkkP fnIk. k，k為白噪聲。；估計誤差：:k=Ik-E，；k包括ISI及噪聲定義：估計值I?的均方誤差J = E環(huán)為均衡器的性能指數(shù)均方誤差準(zhǔn)則：使均方誤差

2、性能指數(shù)J最?。↗min）,此準(zhǔn)則同時考慮使ISI 及噪聲影響最小。獲得Jmin的途徑：調(diào)整E ，當(dāng)J =Jm時，C=Cpt（最佳抽頭系數(shù)）尋找Copt的方法：1）根據(jù)正交性原理（線性均方估計）：E ；kvkJH0,所有I。（注:與ZF準(zhǔn)則不同的是，這里的輸入是經(jīng)過兩個輸入濾波器的數(shù)據(jù)樣本vk，這就包含了噪聲）。即E皿0，所有I。、J2）求函數(shù)極值方法：令Or Copt =?EC k2013年5月3日星期五上午講于此處，已經(jīng)是第十次矣。這兩種方法是等價的，證明如下。證明：求導(dǎo)置零方法與正交性原理等價。I?kkjlim VJcK_.- k假如均衡器為有限長，則I?二 VkT c其中-Tvk =黒

3、七vk敬斗III vklil vk*十vk* ，以及-_Tc= C_K C_K 斗Co IH CkCk I oJ(c)= E胡 2=E(Ik-I?k)(I：-I?)*T=E淑4-Vkc)故E 1 ；M !cc另一種方法：J (C)= E| 珠 |2=E(Ik I?)(I ： ?*)=E( I k -二 CiVk 丄)(I k為 CjVk_j)ij2 *= EL -瓦cElkV一瓦c；ElkV廿+瓦瓦 寓申廿iji j= Elk2-E cEIkvk-E gElkVk+瓦 E CjC：EVkM_Jiji j可見，J(c)是Cj的平方函數(shù)(二次型)。求導(dǎo)置零可得：-E l：Vk二 CjE VkjVz

4、 =oQj卄CJj I * *即， 二E ? 11 k 二 CjV k _j v k 丄=,-： | ：2jE ；*Vk_i =0,或E 譏2 =0，一二 i :Vk 二 Vk KVk K4 川 Vk IHVk_K 1結(jié)論：求導(dǎo)方法與正交性原理是等價的,滿足正交條件，就可以獲得最小MSE o、無限長LMS均衡器（C Z , Jmin性能）1.求C z :從正交原理出發(fā),E 丄=0(10-2-27)即QOE(lk - CjVk)vk_l = 0j即oOCj E Vk-jV k-i =E IkVk 丄 |1山川(注：Vkj是收數(shù)據(jù)樣本，其中的噪聲已經(jīng)白化。在（* ）式左邊可以得到: * *-fmI

5、 k_m，k 丄-m=E 二二 fn 唧 k-j( k4-mk_j k_l.n mf f * E L I*/ Nn i mk -j -n k -k-m0 ljn m)正交條件nl 心式中利用了Vk 八 Wkk，E J =0。nj -k斗=6（k - j） = 6jk = 6k,j都是Kroenecker沖激或離散沖激的不同寫法。因此我們有:注:EVk_jV2八 Vn mfn fn,m l -jN lj mLfn fn 1 -jN ljn X_jNlj0, elsefm fm l -j N0|j(A)X(z) =F z F (1/z)，F(xiàn)” z代表了 F z序列的共軛顛倒序列。或者說F zA代表

6、了 F z的MF（零時延）X(z)二 F z F (1/z )=(f。+ fl z + 川 + fL z)zL(+ fz+ 川 + 化4 + f,z)LLL LfiZ、=z電芒 fi fL_jzi =0j=0i=0 j =0L L= zLv、fifL_jZi=0 j =0L Lfin _ifn zi =0 nz0LLv fn I fn Z(注：令I(lǐng)二i - n)I =_Ln=0Lx = fn fn I，其支撐為：-L _ I _ Ln =2或者說，可以得到Xk =fn二 f_l fk J八fl fl kIIL八 fn fn k n=0L -k八 fn fn kn z0也可以寫為L 4I -j)

7、L-fn fn I -jfn fn n出(* )式右邊:E(lNk 丄)二 EIF fnlk 一5*八 fn EU44Eg kJn 遏cm式中，kkIT1,當(dāng) n = T0,當(dāng) n 1由此可得-L 0(B)將（A）、（ B）兩式代入（*式:Q0cjX| No、 = f j -上式就是：C ： X N C = _ f取 Z 變換：C z F z F (z J) N0 =F (z )(10-2-31)則MMSE均衡器F (z JF(z)F (z)N。(10-2-32)等效MMSE均衡器:C zJ-F(z)pz ) +N X(z)+N(10-2-33)Cz2.求J min （最小均方誤差）（1）時域

8、J = E聞=Ek（Ik- E） = E% I 訂 - E陰 % jj利用正交原理第二項為零，所以Jmin =E（Ik -E）I； = Elk2-ElkC CjVj）j二c-7 CjEVk_jI；- Cj f_j （利用（B）式）jj令信息符號的平均功率為1，則2c = EL =1I =0Jmin 二1cjf=1-C|：f|Tx, Ch, JCs WFC(z)j uf(e)5jofi(z)= 勺幾丿i=YJ二厶=1%(2)頻域通過z變換及令z二ejT,將Jmin式的Jmin fn 關(guān)系變換成Jmin X ej T關(guān)系(10-2-35)全傳輸系統(tǒng)響應(yīng)：b”Bz=H以z反變換(留數(shù)法)求:bn2j

9、丄 B(z 2n-1dzB(z才dz =X(z) d z X z N0 dz(10-2-36)令z=ej竹，且蘭一,bo=-；x eX ej Tj T NoX ejTee肉(jT )dw(10-2-37)2二：Xej LNod，代入Jmin = 1 - g，得N。X ej T N0d將X(ej T)以信道折疊譜表示。因為Xk =x(kT)二 h(t) ： h (t)2h(t)輕ht)的傅里葉變換為H)，故2二 noo送 xk6(tkT)- t 丄 H I +k =FT 心(t -kT) =Xk、(t -kT)e.k-. k =qQ2叭27fdt = Z xke二 DTFT (Xk)所以X宀專n

10、Hf31T Cj,opt g 0Gj(k)= dJk)為第k次迭代時，J5曲線的梯度jdjk)jGk= =-EO,lm(x)O)定義復(fù)符號函數(shù):i1j (Re( x ) 0,1m (x )v 0 )csgn x(11-1-15)-1 +j (Re(x)c0,lm(x)n0)T - j Re x : 0, Im x : 04均衡器結(jié)構(gòu)五.均衡器的操作過程1.方框圖2. 兩種工作模式（狀態(tài)）(1)訓(xùn)練模式(training mode):二 I k - I?(2)工作模式(run mode):k - I?k, P/10在完成訓(xùn)練之后，進入正常的工作模式情況下，P10，k三lk，即使有錯判，由于厶很小

11、，由此引起的誤調(diào)整影響很小。3. 步長厶選擇與收斂特性:1大一加速初始調(diào)整，接近Jmin :2小一穩(wěn)態(tài)誤差小，J Jmin訓(xùn)練時：糾:九2 d工作時：丄2步長選擇考慮：穩(wěn)定且收斂快穩(wěn)態(tài)MSE小六.遞推LMS算法收斂特性的分析1、引言說明三個問題：要解決什么問題；分析從何入手；分析的方法。(1) 算法表示(A)?k 1 - Ck- kVk( B)理論上LMS算法:實用的遞推算法：梯度向量有噪無偏估計值：Gk = - ；kVk(2) 問題收斂特性與厶的關(guān)系？如何選擇厶，以確保收斂？因為G k二 E也：， 即Gk為真值G k的無偏估計，所以，厶對收斂特性的影響，對(A)( B)兩式是相同的。為數(shù)學(xué)分

12、析方便，我們 只研究(A)式的收斂特性。(3) 收斂特性的分析方法采用反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析方法：建立以Cki輸出的閉環(huán)系統(tǒng)模型，定性分析厶的影響;建立系統(tǒng)的差分方程，定量分析八的影響2、閉環(huán)系統(tǒng)模型定性分析收斂特性算法：Ck 1 - Ck -八G k(A)式中，G k = rC k- E = -( E - rC k)(B)r-接收信號自相關(guān)矩陣，由EVk_jVk_L確定。E互相關(guān)矩陣，由ElkVkd確定。分析：由(A )式可看出(1) C k的迭代過程可以看作：每次迭代增量(、；Ck二Gk)的累積過程由保持器實現(xiàn)；(2) 第k時刻計算的增量(k)應(yīng)在第(k+1)時刻反映出來由延遲(Z 1)來實

13、現(xiàn)。圖3結(jié)論：對閉環(huán)輸出ck1收斂特性影響因素：厶，r3、系統(tǒng)的差分方程定量分析收斂特性由（A）式Ck i = Ck - Gk=5 -上（rCk- E）得Cki（lr）Ck r E（ A ） （11-1-20）為一階差分方程組，即-;1Ck卅-1 :1-+ 一-I Il 1CCk+JJ 一11)因為r不是對角矩陣，故，（2K+1）個一階差分方程是相互耦合的，必須聯(lián)解 所以，用解聯(lián)立方程組來定量分析收斂特性是困難的。解決方法：利用線性變換（酉變換）來解耦。r為Hermite （厄米特）矩陣，可用U（酉矩陣）表示為r= u au(U-1)(11-1-21)式中，u（酉矩陣）由r的特征向量確定。a（

14、對角矩陣）的對角元素為r的特征值，特征值 j為特征方程r-?a= 0 的根。 再利用U矩陣的性質(zhì)：U U= I （U-2） 將（U-1）式代入（A J式，兩邊再乘U ,然后利用（U-2）式，可得C k i = (I - : A)Ck * 二 了(11-1-22)式中,Ck 1=U Ck 1C “ U C kE 二 U EC，止反映迭代產(chǎn)生的變化量（與k有關(guān)）+也E信道特性不隨迭代而變化（與k無關(guān)）說明：（1）因為A為對角矩陣，所以一階差分方程組是線性不相關(guān)的（即解耦）（2）收斂特性取決于其齊次方程組：Ck1 =（I - ：A）Ck（11-1-23）即表示成（2K+1）個一階差分方程組:-C C

15、C_K,(k+)+1-亠 1h-C-K,(k)b+C CC0,(k+)+=1 -0IIbC0,(k)b+-CK：k 出)-1q13-bCK ,(k)-可見，（2K+1 ）個 J與（2K+1 ）個G對應(yīng)對第j個抽頭系數(shù)Cj的差分方程為Cj,(k 1)j 一心II , 0U Kk =0,1,12，其相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)模型為:Cj,(k -1)Cj,(k)系統(tǒng)函數(shù)為：11 -(1- S Z令=0，得極點：z=1-j要使迭代過程收斂，應(yīng)使極點在單位圓內(nèi)，即1山打 1(11-1-24)即,一1 ：1 ：1又因為 j為r的(2K+1)個特征值；而r為自相關(guān)矩陣、Hermite型、正定2的，因此，0 (all j),則 0 ： j又因為各抽頭用統(tǒng)一的步長:，為保證穩(wěn)定收斂，以max確定厶因此，若步長厶滿足：0 則遞推算法是穩(wěn)定的，收斂的。式中，max是的最大特征值，其上界為Kmaxj = trace r= (2 K 1)】j,j =(2K1)(x0 N。)j #】j,j -0,0 =(2K1)(x)N0), all j4、收斂特性的分析（1）收斂特性.:在滿足穩(wěn)定遞推運算條件下（即0 ： .:一 ）,max收斂速度迪如、口*矛盾解決方法：分厲2（ 一般1/10 ）J穩(wěn)、心2差|LMS算法的優(yōu)點：簡單，