2019-2020普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試—數(shù)學(理)解析版

1、普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，第i卷第1至2頁，第ii卷第3至第4頁。滿分150分，考試時間120分鐘?？忌⒁猓?.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫答題卡上?？忌J真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致。2.第i卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。第ii卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效。3.考試結(jié)束，務必將試卷和答題卡一并上交。參考公式：錐體體積公式v=13

2、sh，其中s為底面積，h為高。第i卷一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若集合a=-1，1，b=0，2，則集合zz=x+y,xa,yb中的元素的個數(shù)為a5b.4c.3d.22.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=13x定義域相同的函數(shù)為ay=13.若函數(shù)f(x)=2，則f(f(10)=x1x1nxsinxb.y=c.y=xexd.sinxxxx2+1x1a.lg101b.bc.1d.04.若tanq+1tanq=4,則sin2q=13111ab.c.d.5425.下列命題中，假命題為a.存在四邊相等的四邊形不是正方形bz1,z2c，z1+z

3、2為實數(shù)的充分必要條件是z1,z2互為共軛復數(shù)c.若x,ycr，且x+y2，則x,y至少有一個大于1d對于任意nn,c0+.c1+cn都是偶數(shù)nnn26觀察下列各式：a+b=1.a+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,，則a10+b10=a.28b.76c.123d.1991|pa|2+|pb|27.在直角三角形abc中，點d是斜邊ab的中點，點p為線段cd的中點，則=|pc|2a.2b.4c.5d.108.某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元

4、0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為a.50,0b.30.0c.20,30d.0,50xyy9.樣本（x1,x2，n）的平均數(shù)為x，樣本（y1，2，n）的平均數(shù)為y(xy)。若樣本（x1,x2，2xn，y1，y2，yn）的平均數(shù)z=ax+(1-a)y，其中01，則n，m的大小關(guān)系為a.nmb.nmc.n=md.不能確定10.如圖，已知正四棱錐s-abcd所有棱長都為1，點e是側(cè)棱sc上一動點，過點e垂直于sc的截面將正四棱錐分成上、下兩部分。記se=x（0x1），截面下面部分的體積為v（x

5、），則函數(shù)y=v（x）的圖像大致為2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學第卷注：第卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答。若在試題卷上作答，答案無效。二。填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。211.計算定積分(x2+sinx)dx=_。1-112.設數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=_。13橢圓x2y2+2ab21f=（ab0）的左、右頂點分別是a,b,左、右焦點分別是f1，2。若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.14下圖為某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是_.三、選做題

6、：請在下列兩題中任選一題作答。若兩題都做，則按第一題評閱計分。本題共5分。15.（1）（坐標系與參數(shù)方程選做題）曲線c的直角坐標方程為x2y2-2x=0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立積坐標系，則曲線c的極坐標方程為_。15.（2）（不等式選做題）在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集為_。四解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項和sn=-12n2+kn(kn*),且sn的最大值為8.2n（1）確定常數(shù)k，求an；9-2a（2）求數(shù)列n的前n項和t。n17.（本小題滿分12分）在abc中，角

7、a,b,c的對邊分別為a，b，c。已知，a=ppp,bsin(+c)-csin(+b)=a。444（1）求證：b-c=p2（2）若a=2，求abc的面積。18.（本題滿分12分）如圖，從a1（1,0,0），a2（2,0,0），b1（0，2，0），b2（0,2,0），c1（0,0,1），c2（0,0,2）這6個，點中隨機選取3個點，將這3個點及原點o兩兩相連構(gòu)成一個“立體”記該“立體”的體積為隨機變量v（如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積v=0）。3（1）求v=0的概率；(2)求v的分布列及數(shù)學期望。19.（本題滿分12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=a

8、a1=5，bc=4，在a1在底面abc的投影是線段bc的中點o。（1）證明在側(cè)棱aa1上存在一點e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的長；（2）求平面a1b1c與平面bb1c1c夾角的余弦值。20.（本題滿分13分）已知三點o（0,0），a（-2,1），b（2,1），曲線c上任意一點m（x，y）滿足(+)+.ma+mb=omoaob2（1）求曲線c的方程；（2）動點q（x0，y0）（-2x02）在曲線c上，曲線c在點q處的切線為l向：是否存在定點p（0，t）（t0），使得l與pa，pb都不相交，交點分別為d,e，且qab與pde的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。421

9、.（本小題滿分14分）若函數(shù)h(x)滿足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）對任意a0,1，有h(h(a)=a；（3）在（0,1）上單調(diào)遞減。1-xp1則稱h(x)為補函數(shù)。已知函數(shù)h(x)=()p(l-1,p0)1+lxp（1）判函數(shù)h(x)是否為補函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若存在m0,1，使得h(m)=m，若m是函數(shù)h(x)的中介元，記p=1n(nn*)時h(x)的中介元為xn，且s=x，若對任意的nn，都有sn1，所以f(10)=lg10=1.所以f(f(10)=f(1)=12+1=2.【點評】對于分段函數(shù)結(jié)合復合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因為內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層

10、函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量x的取值對應著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡單的分段函數(shù)并能應用，來年需要注意分段函數(shù)的5分段區(qū)間及其對應區(qū)間上的解析式，千萬別代錯解析式.4.d【解析】本題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.=+=4，所以.sin2q=.因為tanq+11sinqcosqsin2q+cos2q11tanqcosqsinqsinqcosq2sin2q2【點評】本題需求解正弦值，顯然必須切化弦，因此需利用公式tanq=sinqcosq轉(zhuǎn)化；另外，sin2q+cos2q在轉(zhuǎn)化過程中常與“1”互相代換，從而達到化簡的目的；關(guān)于正弦、余弦的.齊次分式，

11、常將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切，即弦化切，達到求解正切值的目的體現(xiàn)考綱中要求理解三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式.來年需要注意二倍角公式的正用，逆用等.5.b【解析】本題以命題的真假為切入點，綜合考查了充要條件，復數(shù)、特稱命題、全稱命題、二項式定理等.（驗證法）對于b項，令z=-1+mi,z=9-mi(mr),顯然z+z=8r，但z,z不121212互為共軛復數(shù)，故b為假命題,應選b.【點評】體現(xiàn)考綱中要求理解命題的概念，理解全稱命題，存在命題的意義.來年需要注意充要條件的判斷，邏輯連接詞“或”、“且”、“非”的含義等.6.c【解析】本題考查歸納推理的思想方法.觀察各等式的右邊,它們分別為1,3,4

12、,7,11，發(fā)現(xiàn)從第3項開始，每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,，故a10+b10=123.【點評】歸納推理常?？山柚皫醉椀墓残詠硗瞥鲆话阈缘拿}.體現(xiàn)考綱中要求了解歸納推理.來年需要注意類比推理等合情推理.7.d【解析】本題主要考查兩點間的距離公式，以及坐標法這一重要的解題方法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令ac=bc=4,則ab=42,cd=11ab=22,pc=pd=|cd|=2,pa=pb=|ad|2+|pd|2=22(22)+(2)=2210,所以|pa|2+|pb|210+10=10.

13、|pc|22【點評】對于非特殊的一般圖形求解長度問題，由于是選擇題，不妨嘗試將圖形特殊化，以方便求解各長度，達到快速求解的目的.體現(xiàn)考綱中要求掌握兩點間的距離公式.來年需要注意點到直線的距離公式.8.b【解析】本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應用，同時考查了數(shù)學建模的思想方法以及實踐能力.設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為6z=(0.554x-1.2x)+(0.36y-0.9y)=x+0.9y.線性約束條件為x0,x+y50,1.2x+0.9y54,y0.即作出不等式組表示的可行域,易求得點x0,x0,x+y50,x+y50,4x+3y180,y4x+3180

14、,y0.)(a(0,50b,)(30,c20).,y00,45平移直線z=x+0.9y，可知當直線yz=x+0.9經(jīng)過點b(30,20),即x=30,y=20時,z取得最大值,且zmax=48（萬元）.故選b.【點評】解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟可歸納為：(1)審題仔細閱讀，明確有哪些限制條件，目標函數(shù)是什么？(2)轉(zhuǎn)化設元寫出約束條件和目標函數(shù);(3)求解關(guān)鍵是明確目標函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系；(4)作答就應用題提出的問題作出回答體現(xiàn)考綱中要求會從實際問題中抽象出二元線性規(guī)劃.來年需要注意簡單的線性規(guī)劃求最值問題.9.a【解析】本題考查統(tǒng)計中的平均數(shù)，作差法比較大小以及整

15、體思想.由統(tǒng)計學知識，可得x+x+x=nx,y+y+y=my,12n12mx+x+x+y+y+12n12+ym=(m+n)z=(m+n)ax+(1-a)y.=(m+n)ax+(m+n)(1-a)y，所以nx+my=(m+n)ax+(m+n)(1-a)y.7m=(m+n)(1-a).n=(m+n)a,所以故n-m=(m+n)a-(1-a)=(m+n)(2a-1).因為0a1,所以2a-10.所以n-m0.即nm.2.【點評】要牢固掌握統(tǒng)計學中一些基本特征：如平均數(shù)，中位數(shù)，方差，標準差等的求法體現(xiàn)考綱中要求會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.來年需要注意頻率分布直方圖中平均值，標準差等

16、的求解等.10.a【解析】本題綜合考查了棱錐的體積公式，線面垂直，同時考查了函數(shù)的思想,導數(shù)法解決幾何問題等重要的解題方法.（定性法）當0x12時，隨著x的增大，觀察圖形可知，v(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越快；當12xsin0=0成立，a=1,t=t+a=1,k=2,2sinp2=1不成立，a=0,t=t+a=1,k=3,3sinp=0不成立，a=0,t=t+a=1,k=4,4sin=-1成立，a=1,t=t+a=2,k=5,滿足判斷條件，繼續(xù)循環(huán);25p第五次:sin=1sin2p=0成立，a=1,t=t+a=2,k=6，60，所以r=2cosq.【點評】公式x=rcosq,y=rsi

17、nq是極坐標與直角坐標的互化的有力武器.體現(xiàn)考綱中要求能進行坐標與直角坐標的互化.來年需要注意參數(shù)方程與直角坐標的互化，極坐標與直角坐標的互化等.915.（2）xr|-32x3【解析】本題考查絕對值不等式的解法以及轉(zhuǎn)化與劃歸、分類211討論的數(shù)學思想.x-,-x,x,.或2或原不等式可化為2221-2x-2x-16,2x-1-2x-16,2x-1+2x+16,由得-311113x-；由得-x；由得x,222222綜上，得原不等式的解集為xr|-x.3232【點評】不等式的求解除了用分類討論法外，還可以利用絕對值的幾何意義數(shù)軸來求解；后者有時用起來會事半功倍.體現(xiàn)考綱中要求會用絕對值的幾何意義求

18、解常見的絕對值不等式.來年需要注意絕對值不等式公式a+ba+b,a-ba-c+c-b的轉(zhuǎn)化應用.16.【解析】解:（1）當n=kn*時，s=-n111n2+kn取最大值，即8=-k2+k2=k2，故k=4，222從而a=s-snn9792-n(n2)，又a=s=2，所以a=211nn-1=-n2n2n-12222n-22n-122n-22n-12n-22n-12n-19-2an23n-1nn=（2）因為b=，t=b+b+b=1+nn12n11n1nn+2所以t=2t-t=2+1+-=4-=4-nnn【點評】本題考查數(shù)列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應用.利用sn-sn-1

19、s(n=1),a=1n來實現(xiàn)a與s的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意nna=s-snnn-1不能用來求解首項a，首項a一般通過a=s來求解.運用錯位相減法求數(shù)列1111解：（1）證明：由bsin(p的前n項和適用的情況：當數(shù)列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數(shù)列、另一項是等比數(shù)列.17.【解析】p+c)-csin(+b)=a及正弦定理得：44ppsinbsin(+c)-sincsin(+b)=sina，4410即sinb(22222sinc+sinc)-sinc(sinb+sinb)=22222整理得：sinbcosc-cosbsinc=1，所以sin(b-c)=1，又0b,c

20、3p4所以b-c=p2（2）由（1）及b+c=3p5ppp可得b=,c=，又a=,a=24884個平面上的選法有c1c3=12種，因此v=0的概率p(v=0)=12205asinb5pasincp所以b=2sin,c=2sin，sina8sina815pppp2p1所以三角形abc的面積=bcsina=2sinsin=2sincos=sin=28888242【點評】本題考查解三角形，三角形的面積，三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應用.高考中，三角解答題一般有兩種題型：一、解三角形：主要是運用正余弦定理來求解邊長，角度，周長，面積等；二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：主要是運用和角公式，倍角公式

21、，輔助角公式進行三角恒等變換，求解三角函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，最值（值域）等.來年需要注意第二種題型的考查.18.【解析】解：（1）從6個點中隨機地選取3個點共有c3=20種選法，選取的3個點與原點o在同一63=341124（2）v的所有可能值為0,，因此v的分布列為6333v016124333p35120320320120ev=031由v的分布列可得：11323419+=562032032032040.【點評】本題考查組合數(shù)，隨機變量的概率，離散型隨機變量的分布列、期望等高考中，概率解答題一般有兩大方向的考查.一、以頻率分布直方圖為載體，考查統(tǒng)計學中常見的數(shù)據(jù)特征：如平均數(shù)，中位數(shù)，頻數(shù)

22、，頻率等或古典概型；二、以應用題為載體，考查條件概率，獨立事件的概率，隨機變量的期望與方差等.來年需要注意第一種方向的考查.19.【解析】11解：（1）證明：連接ao，在aoa中，作oeaa于點e，因為aa/bb，得oebb,11111因為ao平面abc，所以aobc,因為ab=ac,ob=oc,11z得aobc,所以bc平面aao,所以bcoe,1a1c1所以oe平面bbcc,11b1又ao=ab2-bo2=1,aa=5,1e5cbo由（1）可知ae=aa得點e的坐標為(,0,)，由（1）可知平面bbcc的法向量是55所以cos=oenao25x得ae=aaa1y(2)如圖所示，分別以oa,

23、ob,oa所在的直線1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則a(1,0,0),c(0,-2,0),a1(0.0,2),b(0,2,0,0,)，設平面abc的法向量n=(x,y,z)，11nab=0-x+2y=0由，得，令y=1，得x=2,z=-1，即n=(2,1,-1)nac=0y+z=0130=|oe|n|10即平面平面a1b1c與平面bb1c1c夾角的余弦值是3010?！军c評】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應用以及空間想象的能力.高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積

24、與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.20.【解析】解：（1）依題意可得ma=(-2-x,1-y),mb=(2-x,1-y)，|ma+mb|=(-2x)2+(2-2y)2,om(oa+ob)=(x,y)(0,2)=2y，由已知得(-2x)2+(2-2y)2=2y+2，化簡得曲線c的方程：x2=4y（2）假設存在點p（0，t）（t0）滿足條件，則直線pa的方程是y=t-1x+t，直線pb的2121-t方程是y=x+t，曲線c在點q處的切線l的方程為y=2xx20x-0,它與y軸的

25、交點為2442f(0,-x2x0)，由于-2x2，因此-10102222當-1t0時，-1xt-11t-1-，存在x(-2,2)，使得0=0，即l與直線pa平行，故當-1t0時不符合題意當t-1時，t-1x1-tx-10，所以l與直線pa，pb一定相交，分別聯(lián)立方2222y=x+ty=x+tx2y=0x-02(x+1-t)2(x+t-1)t-11-t22,程組，xxx2y=0x-02424x2+4tx2+4t0解得d，e的橫坐標分別是x=,x=0de00則x-x=(1-t)edx2+4t0x2-(t-1)20x2，又|fp|=-0-t，428(t-1)2-x2有spde11-t(x2+4t)2

26、=|fp|x-x|=0ed0，又sqab1x24-x2=4(1-0)=0242于是ssqabpde4(x2-4)x2-(t-1)24x4-4+(t-1)2x2+4(t-1)200=001-t(x2+4t)21-tx4+8tx2+16t20004(t-1)2=16t2-4-(t-1)2=8t對任意x(-2,2)，要使qabpde的面積之比是常數(shù)，只需t滿足，0解得t=-1，此時qabpde的面積之比為2，故存在t=-1qabpde的面積之比是常數(shù)2?！军c評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學思想.高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，定點，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標準方程，準線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申