小學奧數(shù)必須掌握的30個知識

1、小學奧數(shù)必須掌握的 30 個知識 1. 和差倍問題 幾個數(shù)的差與倍數(shù) 和差問題 和倍問題 差倍問題 已知條件 幾個數(shù)的和與差 幾個數(shù)的和與倍數(shù) 公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 公式 （和-差片2=較小數(shù) 較小數(shù) +差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) （和 +差尸2=較大數(shù) 較大數(shù) -差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù) 和r倍數(shù)+i）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù) 差r （倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差=大數(shù) (a+b)-(a-b)r2=b b+(a-b)=a (a+b)-b=a (a+b)+(a-b)r2=a a-(a-b)=b (a+b)-a=b (a+b)/(a

2、/b+1)=b b*(a/b)=a (a+b)-b=a (a-b)/(a/b-1)=b b*(a/b)=a b+(a-b)=a 關(guān)鍵點： 求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù) 2. 年齡問題的三個基本特征： 兩個人的年齡差是不變的； (a+n(b+n)=ab 兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的 (a+n(b+n)=ab 兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的； (a+n)/(b+n)不一定等于 a/b 3歸一問題的基本特點： 問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速 度”等詞語來表示。 關(guān)鍵點：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量 ： 例如：“一輛汽車4小時行120千米，照這

3、樣計算，行 180千米要用幾小時？ ”先求 平均1小時行多少千米，再求行 180千米要幾小時. 這個題的單一量就是速度 =路程卻寸間=120千米/4小時=30km/h =30*1000 米十60*60秒=25/3(m/s)讀作3分之25米每秒 解題算式=180- (120-4) =180X4- 120=6(h) =180/(120/4)=180/30=6(h) 注意分子式的運算 4. 植樹問題 基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹， 兩端都植樹 在直線或者不封閉 的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹 基本公式 a. 棵數(shù)二段數(shù)+1 在一條長為

4、 50 米的路上，每隔 2 米種一棵樹，開始結(jié)尾都要種，總共要種 多少棵樹。 段數(shù)=50/2=25 段 棵樹=段數(shù)+1=25+1=26棵 b. 棵距x段數(shù)二總長 棵數(shù)二段數(shù)-1 兩棵樹相距 50米，每隔 2 米種插一桿彩旗，總共要插多少彩旗。 段數(shù)=50/2=25 段 桿數(shù) =25-1=24 桿 c. 棵距x段數(shù)=總長 棵數(shù)二段數(shù) 學校運動會進行50米跑的準備，老師在起點插了一面彩旗，叫同學們每隔 2米插一桿彩旗，問同學們總共要插多少彩旗。 段數(shù)=50/2=25段 桿數(shù)=段數(shù)=25桿 關(guān)鍵點： 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系 5. 雞兔同籠問題 基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、

5、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部 分置換出來； 基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少 ； 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因 ； 再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差 基本公式: 把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù))十(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)) 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù))十(兔腳數(shù)一雞腳 數(shù)) 關(guān)鍵點：找出總量的差與單位量的差。 例：有兔和雞在一個籠子里，從上面數(shù)有頭50個，從下面數(shù)有腳158只， 問雞兔各多少只： 雞=(4*50-158 ) / (4-2 ) =

6、21 兔=(158-2*50)/(4-2)=29 用方程解：設(shè)雞為X只，兔就是50-X只 2*X+(50-X)*4=158 2X+200-4X=158 2X=42 X=21 50-X=29 6盈虧問題 基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種 標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的 關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變 化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量 基本題型： 一次有余數(shù)，另一次不足； 基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）*兩次每份數(shù)的差

7、當兩次都有余數(shù)； 基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）*兩次每份數(shù)的差 當兩次都不足； 基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）*兩次每份數(shù)的差 基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。 關(guān)鍵點：確定對象總量和總的組數(shù)。 例：少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其 中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共 有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？ 分析：這是一個典型的盈虧問題，關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4 個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即：應(yīng)該統(tǒng) 一成每人挖6個樹坑，形成統(tǒng)一的標準。那么它就相當于每

8、人挖6個樹坑，就要 差（6-4） *2=4個樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就是3+4=7,所以，有少先隊員7/ （6-5） =7名，共挖了 5*7+3=38個坑。 解答：盈虧總數(shù)等于3+(6-4) *2=7,少先隊員有7/ (6-5) =7名，共挖了 5*7+3=38個樹坑。 設(shè)總?cè)藬?shù)為X X*5+3=2*4+(X-2)*6 5X+3=8+6X-12 X=7X*5+3=38 7. 牛吃草問題 基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出 其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草 量。 基本特點：原草量和新草生長速度是不變的； 關(guān)鍵點： 確定兩個不變的

9、量。 基本公式： 生長量=(較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù))十(長時間-短 時間)； 原草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量； 例：一個牧場長滿青草，牛在吃草而草又不斷勻速生長，27頭牛6天可以 把牧場上的草全部吃完；23頭牛吃完牧場全部的草則要 9天，若21頭牛來吃， 幾天吃完？ 草每天生長量=(9*23-6*27)/(9-6)=45/3=15 原草量=(9*23)-(9*15)=72或根據(jù)：路程差=速度差X追及時間 原草量=(27-15) *6=72 或(23-15) *9=72 21天可吃天數(shù)=72/(21-15)=12 天 牛吃草也是速度追及問題 草生長量是一

10、個速度，牛吃草是一個速度， 吃多少天就是追及時間=路程差速度差 8. 周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。 關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。 閏年：一年有366天； 年份能被4整除； 如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除； 平年：一年有365天。 年份不能被4整除； 如果年份能被100整除，但不能被400整除; 例一：有 8名隊員按順時針圍成一圈做傳球游戲， 從 1號開始按順時針傳球， 傳球的同時開始報數(shù)，當報到 76 時球那在幾號隊員手上？ 例二：某年 2 月有 5 個星期天，問這年 6 月一日是星期

11、幾？ 9. 平均數(shù) 基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量寧總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量十平均數(shù) 平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和寧總份數(shù) 基本算法： 求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算 . 基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù) ；一般選與所有數(shù) 比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù) ;以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的 差；再求出所有差的和 ；再求出這些差的平均數(shù) ；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù) 的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。 10. 抽屜原理 抽屜原則一：如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至 少放有 2 個物體。 例：把 4

12、個物體放在 3個抽屜里， 也就是把 4 分解成三個整數(shù)的和， 那么就 有以下四種情況： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式， 我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點： 總有那么一個抽屜 里有 2個或多于 2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有 2個物體 抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中nm,那么必有一個 抽屜至少有 : k=n/m +1個物體：當n不能被m整除時。 k=n/m個物體：當n能被m整除時 理解知識點：X表示不超過X的最大整數(shù)。 例4.351=4;0.321=0;2.9999=2; 關(guān)鍵問題： 構(gòu)造物體和抽屜。 也就是找到代表物體

13、和抽屜的量， 而后依據(jù)抽 屜原則進行運算。 11. 定義新運算 基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本 合）運算。 基本思路： 嚴格按照新定義的運算規(guī)則， 把已知的數(shù)代入， 轉(zhuǎn)化為加減乘除 的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。 關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義 注意事項：新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。 每個新定義的運算符號只能在本題中使用 12. 數(shù)列求和 等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就 叫做等差數(shù)列。 基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用 al表示; 項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用 n 表示

14、; 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用 d 表示; 通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用 an 表示; 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用 Sn表示. 基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：al ,an, d, n,s n,通項公式中涉及四個量, 如果己知其中三個，就可求出第四個 ;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三 個,就可以求這第四個。 基本公式：通項公式： an = a1+(n-1)d; 通項二首項+(項數(shù)一 1) x公差； 數(shù)列和公式：sn,= (a1+ anX n寧2; 數(shù)列和=(首項+末項)x項數(shù)十2; 項數(shù)公式：n= (an+ a1) d+1; 項數(shù)=(末項-首項)十公差+

15、1; 公差公式：d =(an-a1) (n-1); 公差=(末項-首項)-(項數(shù)-1); 關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式 ; 13. 二進制及其應(yīng)用 十進制：用09十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含 義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2 102+3 X 10+4。 =AnX 10n-1+An-1 X 10n-2+An2 X 10n-3+An3 X 10n-4+Arh4 X 10n-5+An6 X 10n-7+A3X 102+A2X 101+A1X 100 注意：N0=1;N仁N其中N是任意自然數(shù)） 二進制：用 01 兩

16、個數(shù)字表示，逢 2 進 1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含 義。 (2)= AnX 2n-1+An-1 X 2n-2+An-2X 2n-3+An-3X 2n-4+An-4X 2n-5+An-6X 2n-7 +A3X 22+A2X 21+A1X 20 注意： An 不是 0 就是 1 。 十進制化成二進制： 根據(jù)二進制滿 2進 1的特點，用 2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為 0，然后把 每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差為 0，按照二進制展開式特點即可寫出。 14. 加法乘法原理和幾何計數(shù) 加法原理

17、：如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在第一類方法中有 m1 種不同方 法，在第二類方法中有m2種不同方法,在第n類方法中有mn種不同方法， 那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2 +mn種不同的方法。 關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。 基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。 乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個步驟進行，做第 1 步有 m1 種方 法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法 不管前面n-1步用哪 種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有： mix m2 x mn 種不同的方法。 關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟 基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分 直線：一點在直線或空間

18、沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。 直線特點：沒有端點，沒有長度 線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點 線段特點：有兩個端點，有長度 射線：把直線的一端無限延長 射線特點：只有一個端點 ;沒有長度 數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+（點數(shù)一 1）; 數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一 1）; 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)X寬的線段數(shù): 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=ix 1+2X 2+3X 3+行數(shù)X列數(shù) 15. 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫 做素數(shù)。 合數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。 質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某

19、個數(shù)的約數(shù)， 那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)： 把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來， 叫做分解質(zhì)因數(shù)。 通常 用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。 分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中al、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì) 因數(shù)，且a1 求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1)x (r2+1)x (r3+1)x X (rn+1) 互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。 16. 約數(shù)與倍數(shù) 約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù) ;其中最大的一個，叫 做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

20、 最大公約數(shù)的性質(zhì)： 1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。 2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。 3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。 4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最 大公約數(shù)乘以 m。 例如： 12的約數(shù)有 1、 2、 3、 4、 6、 12; 18 的約數(shù)有： 1、 2、 3、 6、 9、 18; 那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、 2、 3、 6; 那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作 （12，18）=6; 求最大公約數(shù)基本方法： 1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

21、2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。 3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是 所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個，叫 做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 12的倍數(shù)有：12、24、36、48; 18的倍數(shù)有：18、36、54、72; 那么 12 和18 的公倍數(shù)有： 36、 72、 108 那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作 12，18=36; 最小公倍數(shù)的性質(zhì)： 1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。 求最小公倍數(shù)基本方法： 1、短除法求最小

22、公倍數(shù) ;2、分解質(zhì)因數(shù)的方法 17. 數(shù)的整除 一、基本概念和符號： 1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒 有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。 2、常用符號：整除符號“ |”，不能整除符號“”；因為符號“t”，所以 的符號“二”; 、整除判斷方法： 1. 能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、5 整除 2. 能被 4、 25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、25 整除 3. 能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、125 整除 4. 能被 3、9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9 整除 5. 能被 7 整除： 7

23、 整除 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2 倍后能被 7 整除 6. 能被 11 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 11 整 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被 11 整除 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被 11 整除 7. 能被 13 整除： 13整 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除 三、整除的性質(zhì)： 1. 如果a b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除 2. 如果a能被

24、b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除 18. 余數(shù)及其應(yīng)用 基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a*b=qr,且0 余數(shù)的性質(zhì)： 余數(shù)小于除數(shù)。 若a、b除以c的余數(shù)相同，貝U c|a-b或c|b-a。 a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除 以 c 的余數(shù)。 a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。 19. 余數(shù)、同余與周期 一、同余的定義： 若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于

25、模m同余 已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a =b(mod m),讀作 a同余于 b模 m。 二、同余的性質(zhì)： 自身性： a= a(mod m); 對稱性：若 a= b(mod m),貝U b = a(mod m); 傳遞性：若 a= b(mod m), b= c(mod m),貝U a= c(mod m); 和差性：若 a= b(mod m) ,c= d(mod m),貝U a+尸 b+d(mod m), a-c= b-d(mod m); 相乘性：若 a= b(mod m), c= d(mod m),貝U ax c= bx d(mod m); 乘方性：若

26、a= b(mod m),貝U an三 bn(mod m); 同倍性 若 a= b(mod m),整數(shù) c,貝U ax c= bx c(mod mx c); 三、關(guān)于乘方的預備知識： 若 A=ax b，貝U MA=MaX b=(Ma)b 若 B=c+d則 MB=Mc+d=McX Md 四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征： M = n (mod 9)或(mod 丫表示M的各個偶 且 a 不能被 p 整除， 一個自然數(shù)M , n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則 3); 一個自然數(shù) M， X 表示 M 的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和， 數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod 11);

27、五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù)),a是自然數(shù)， 則 ap-1= 1(mod p)。 20. 分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用 基本概念與性質(zhì)： 分數(shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù) 分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù) （0 除外 ），分數(shù)的 大小不變。 分數(shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。 百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。 常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。 對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法： 把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。 最常見的是 轉(zhuǎn)換成比例和

28、轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系 ;把不同的標準 （在分數(shù)中一般指的是一倍量 ）下的 分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。 假設(shè)思維方法： 為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或 者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 量不變思維方法： 在變化的各個量當中， 總有一個量是不變的， 不論其他 量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況： A、分量發(fā)生變化, 總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化， 但分量之間的差量不變化。 替換思維方法： 用一種量代替另一種量， 從而使數(shù)量關(guān)系單一化、 量率關(guān) 系

29、明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理 濃度配比法： 一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。 21. 分數(shù)大小的比較 基本方法： 通分分子法： 使所有分數(shù)的分子相同， 根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系 比較。 通分分母法： 使所有分數(shù)的分母相同， 根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系 比較。 基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較 分子和分母大小比較法： 當分子和分母的差一定時， 分子或分母越大的分 數(shù)值越大。 倍率比較法： 當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小， 除了運用以 上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化 規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比

30、較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。 倍數(shù)比較法： 用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和 1 進行比較。 大小比較法： 用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0 比較。 倒數(shù)比較法： 利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較 22. 分數(shù)拆分 將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式： =+; =+（d為自然數(shù)）; 23. 完全平方數(shù) 完全平方數(shù)特征： 1. 末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2. 除以 3余 0或余 1;反之不成立。 3. 除以 4余 0或余 1;反之不成立。 4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù) ;反之成立

31、。 5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù) ;反之不成立。 6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù) ;偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù) 7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù) 平方差公式： X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式： （X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式： （X-Y）2=X2-2XY+Y2 24. 比和比例 比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。 比號前面的數(shù)叫比的前項， 比號后面的數(shù) 叫比的后項。 比值：比的前項除以后項的商，叫做比值 比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù) （零除外 ），比值不變 比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或 比例的性質(zhì)：兩個外項

32、積等于兩個內(nèi)項積 （交叉相乘 ），ad=bc。 正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A 與 B 成正比。 反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A 與 B 成反比。 比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。 按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 25. 綜合行程 基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程 三者之間的關(guān)系 . 基本公式：路程=速度X時間；路程十時間=速度;路程十速度=時間 關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。 相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式） 追及問

33、題：追及時間=路程差十速度差（寫出其他公式） 流水問題：順水行程=（船速+水速）x順水時間 逆水行程=（船速-水速）X逆水時間 順水速度 =船速+水速 逆水速度 =船速-水速 靜水速度=（順水速度+逆水速度）寧2 水 速=（順水速度-逆水速度）* 2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式 主要方法：畫線段圖法 基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程 ）、時間 （相遇時間、追及時間 ）、 速度（速度和、速度差 ）中任意兩個量，求第三個量。 26. 工程問題 基本公式： 工作總量=工作效率X工作時間 工作效率=工作總量十工作時間 工作時間=工作總量十工作效率 基本思路： 假設(shè)工作總量為“ 1”（和總工作量無關(guān) ）; 假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量 （一般是它們完成工作總量所用時間的最小 公倍數(shù) ），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間. 關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系 經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合 27. 邏輯推理 基本方法簡介： 條件分析假設(shè)法： 假設(shè)可能情況中的一種成立， 然后按照這個假設(shè)去