(整理)二重積分計(jì)算.(20210430221142)

1、精品文檔 第二節(jié)二重積分的計(jì)算 這一節(jié)我們來討論如何進(jìn)行二重積分的計(jì)算，很顯然用其定義來計(jì)算是很復(fù)雜的. 一、矩形上的二重積分的計(jì)算 為了方便我們先給出矩形上的二重積分的計(jì)算的方法 定理12. 4 若函數(shù)f(x,y)是矩形D=a,b x c,d上的可積函數(shù).若對每一個x a,b積 分 d h(x)二 f (x,y)dy c 存在，則h(x)在a,b上可積，并有等式 bb d f (x, y)dxdy 二 h(x)dx = ( f (x, y)dy)dx, Daa c b d 它也記為.dx . f (x, y)dy.這個表達(dá)式稱為 二次積分或二次累次積分，也簡稱為累次積分. a c 證明在a,

2、b中插入若干個分點(diǎn)a =x0 :右：:：X? ： :=b,并記 Xi= xl Xi-i , (i=1,2，.,n),當(dāng)令入 x=max Xi | i=1,2，.,n ,要證： nb d lim h( J % 二(f (x, y)dy)dx. 0 i a c 再在c,d中插入若干個分點(diǎn)c = y0 ： y： y2 ： : ym = d , yj=yj - yj-1 , (j=1,2，.,m),那么，直線y= yj (j=0,1,2,.,m), x= Xi(i =0,1,2,.,n) 將 D 分成m n 個小矩形 Dij= Xi-1, Xi x比一丄,yj (i =1,2，.,n, j=1,2，.

3、,m).當(dāng)記 mj 二 inf f(x,y)|(x, y)Dj , M 0 二 sup f (x,y) |(x, y) D mm yjm mj yj _h( J 二 i f ( i,y)dy M j y n mnn m 因此，二 二 mijyjXjh( J二Xi M iyxi i m j Ti di=1 j zi 注意到，此式的左右兩端正是f(x,y)在矩形D上以此分劃的 Darboux小和及大和. 再令令入y =max yi | i=1,2，.m ,入=入x +入y,由可積性知, n m li叫二- m0 ：yP Xi 二 f(x,y)dxdy, 1 0 i 4 j 4d n m 1也遲遲

4、MjAyjAXj = f (x,y)dxdy. i 2 j 二D 又有兩邊夾易得 n 1叫丁(小打(5幼 n 即有 lim h( ) ：Xi! ! f (x, y)dxdy,那么 x 0 i 4D bb d h(x)在a,b上可積，并有等式f(x,y)dxdy 二 h(x)dx 二(f (x, y)dy)dx. Daa c 同樣我們可得 定理12. 5 若函數(shù)f(x,y)是矩形D =a,b x c,d上的可積函數(shù).若對每一個y c,d積分 b g(y)二.f (x,y)dx a 存在，則g(y)在c,d上可積，并有等式 dd b f (x,y)dxdy 二 g(y)dy 二(f (x, y)

5、dx) dy, Dcc a d b 這時它也記為dy f (x, y)dx(也是二次積分 或累次積分). c a 引理 若函數(shù)f(x,y)是矩形D=a,bx c,d上的連續(xù)函數(shù)，那么 bd g(y)二 f (x, y)dx 和 h(x) = f (x,y)dy ac 分別是c,d和a,b上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)然也是相應(yīng)區(qū)間上的可積函數(shù). 證明 只證g(y)是c,d上的連續(xù)函數(shù).由條件知，f(x,y)在a,b x c,d上一致連續(xù)，所以, 任意 圖 12-2-3 即D = x, y門込x込2,1込y込x. 所以 2 x xyd-.； - 1 dx 1 xydy D y =x dx y 4 3 x -1x

6、 dx = 9 2 8 也可以將D看成是y -型區(qū)域, D = x, y |1乞y乞2,y乞x乞2，于是 精品文檔 2 2 xyd； - 1 dy y xydx D 2 dy xm 13、9 =H22y 廬飛. 有上面的例子可以看到, 計(jì)算二重積分的關(guān)鍵是區(qū)域, 要注意的是區(qū)域的區(qū)別，同時還要 考慮被積函數(shù). 定理12.9 設(shè)D =( x, y) | c蘭y蘭d,u(y )蘭xVy為y 型區(qū)域，f(x,y)是D上的 連續(xù)函數(shù)，那么 d v(y) ! f (x,y)dxdy 二 dy f (x, y)dx Dc u( y) 如果D既不是x-型區(qū)域也不是 y-型區(qū)域,如圖12-2-4 x-型區(qū)域和

7、y-型區(qū)域的并 我們可以將D分劃成若干個 例2計(jì)算二重積分 m xyd二，其中D是有拋物線y2 =x及y=x-2所圍成的有界 閉區(qū)域. 所以積分可以寫為兩個二次積分的和即 1 qx4* x 口xydb = dxj _xydy +dx xydy U一 X2x _2 D x 型的，又是y型 最后可以算出同樣的結(jié)果，當(dāng)然這樣計(jì)算可能要麻煩一點(diǎn). 所以識別區(qū)域很重要，還有一點(diǎn)要注意的是，有的區(qū)域盡管既是 的，但是在計(jì)算時候，可能將它看成其某中一種時，計(jì)算不出來比如下面的例子. 例3 計(jì)算二次積分 dy 11 sin x , dx x 分析：直接按照這個順序是計(jì)算不出來的，盡管 空的原函數(shù)是存在的，但是

8、還是無 x 法求出其表達(dá)式.我們可以考慮將這個積分先化為二重積分，再換成另外一種二次積分來計(jì) 算. 1 i 解 dy J空 dx = 口耳旳，其中D是如圖12 -2-6所示的區(qū)域，將它看成是x- Xd x 型區(qū)域，有D = x, y |0豈x豈1,0豈y豈x，所以 sin x x 沁 ly fdx x 1 oSin xdx =1 -cos1 圖 12-2-6 上面例子的方法常稱為 交換積分次序可以看出，有時候計(jì)算時需要交換二次積分的積 分次序，而使得計(jì)算簡單，有時候如不交換次序，是難以計(jì)算出結(jié)果. 設(shè) D = x,y |a _ x _ b,c _ y _ d，如果 f(x)和 g(y)分別在a

9、,b和c,d上可積，則 f(x)g(y)在D上可積 拼有 bd f(xg(ydb = f(xjdx J g(y)dy. D 讀者可以自己驗(yàn)證上面的結(jié)論. 例4 計(jì)算！ ！ x2 y2d匚, D 其中 D = x,y |0 _x _1,-1 _ y _1. 解：由上面的討論，有 iix2y2d；= D 1 1 2 2 0dx y dy 121 =0 x dx dy dy 例5 求由曲面 2 2 z二x y與z =1所圍的體積 V . 解: 此立體如圖 1 2 -2-7所示，它的體積可以看 成是一個圓柱體體積減去一個曲頂柱體體積. 2 圓柱體的體積是 V1 =蔥1工蔥.曲頂柱體的頂是 2 2 2

10、2 Z 二 x y ,底為區(qū)域 D = x, y |x y 1.所 以其體積為 1 1 %2 = H(x2 +y2 M = LdxJ 口(x2 +y2 dy D 兀 n n 所以此立體體積為二-一= 2 2 1八 在這里積分x.亠2 x2 y2 dy的計(jì)算盡管可以計(jì)算出來，但是是比較復(fù)雜的，在 這里沒有寫出，我們將在后面用其它的方法來計(jì)算這個二次積分. 本節(jié)最后將給出前面積分運(yùn)算的幾何解釋. 當(dāng)f x, y是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)且f x, y 0時，二重積分.f x, y d二表示 的是以D為底，以f x,y為頂?shù)那斨w的體積如圖12 -2-8所示它的體積可以通過 計(jì)算這個二重積分得到.

11、 圖 12-2-8 我們下面通過另外的一種途徑來求其體積. 我們采用的方法是定積分的微元法. 1 以X為積分變量，其變化區(qū)間為a,b 1； 2 .求在a,b的一個小的子區(qū)間x,x - dx上所對應(yīng)的曲頂柱體的體積，這是一個小 的曲頂柱體, 于任意的 x0Ea,b】,用平面x=x0去截曲頂柱體得到截面 x = D 8) M(3x，2y)d二，其中D是x軸、y軸與直線x 2所圍成閉區(qū)域， D 9) 11(x2 3x2y y3)d二，其中 D 是矩形閉區(qū)域：0Wxw 1, 0Wyw 1 ； D n )的三角 10) JJxcos(x + y)db ,其中 D 是頂點(diǎn)分別為(0, 0), ( n ,0

12、 )和(n , 形閉區(qū)域. 4交換下列的積分順序 3 9 _x2 1) dx f(x,y)dy； 0_ 9 _x2 39 -y 2) dyf(x,y)dx； 00 JI 14 3) dx f(x,y)dy； 0 arctan x 1 2y 33-y 4) dy f(x,y)dx dy f(x,y)dx； 0 0 1 0 1 y 5) dy f (x,y)dx； 0 0 11 二y2 6) dy f (x,y)dx； 7) _y2 2 2ye In x dy f (x, y)dxdx f (x, y)dy 7) 0y28) 10 5求下列的積分 13 2 1) dx ex dy ； 0 3y 1 1 2) dy 、x3 1dx； 0 y 39 2 3) dy y cos(x )dx； Ji 12 2 4) dy cosx -1 cos xdx 0arcs