的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法種

1、最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較 難。而作為給出數(shù)列的一種形式一一通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列 通項(xiàng)公式的常用方法。 一、直接法 根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。 二. 公式法 利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng) 若已知數(shù)列的前項(xiàng)和S與綣的關(guān)系，求數(shù)列仏的通項(xiàng)5可用公式 n = 1 n2 求解. (注意：求完后定要考慮合并通項(xiàng)) 求數(shù)列“”的通項(xiàng)公式. 例2.已知數(shù)列“”的前項(xiàng)和S”滿足S=2+(-l)n,/zl. 已知數(shù)列an的前/I項(xiàng)和S”滿足S” =/72+/7-1,求數(shù)列an 的通

2、項(xiàng)公式. 已知等比數(shù)列&”的首項(xiàng)=1,公比0vgvl,設(shè)數(shù)列“的通項(xiàng)為 乞=行+%2,求數(shù)列 他的通項(xiàng)公式。 解析：由題意，g=%2+%3, 乂是等比數(shù)列，公比為q .竺,故數(shù)列仇是等比數(shù)列，b嚴(yán)心+為=吋+酗曲+ 1), 仇。”+1 + %2 ： bn =q(q+l)q =q(q+) 三、歸納猜想法 如果給出了數(shù)列的前兒項(xiàng)或能求出數(shù)列的前兒項(xiàng)，我們可以根據(jù)前兒項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想 出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。 四、累加(乘)法 對(duì)于形如勺心=山+ /(“)型或形如| = f(n)an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n 取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)

3、系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項(xiàng)公式。 例4.若在數(shù)列”中，=3, n+| =an+n ,求通項(xiàng)“”。 例5.在數(shù)列”中，5=1, an+l =2nan ( n e N ),求通項(xiàng)勺。 五、取倒(對(duì))數(shù)法 a. %=吒這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為al+l=pall+q,再利用待定系數(shù)法求解 b、數(shù)列有形如/(“”,衛(wèi),“_) = 0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以一，先求出丄，再求得心. C、如一八U.解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為嚴(yán)M+ gSM +h(n) 例6.設(shè)數(shù)列%滿足a】=2, an+1 =-(n丘N),求an. ” + 3 例7設(shè)正項(xiàng)數(shù)列仏滿足如=1

4、,冷=2二 22).求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式. 解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log?=l + 21og嚴(yán)，log? + l=2(log；z + l),設(shè)化=log? + l, 則 = 2bn_,血是以2為公比的等比數(shù)列，/?, = log*+l = l. bn=x2-* = 2-*, log? +1 = 2n_, log? = 2W-1, an= 22_，_, 變式： 1、已知數(shù)列%滿足：at=-,且%=3叫-1(淪2, n e N*) 22an-1+ n1 求數(shù)列%的通項(xiàng)公式； 2、若數(shù)列的遞推公式為=3,丄=丄-2(/?eN),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 % an 3、已知數(shù)列aj滿足a = Vn2時(shí)，-均

5、=，求通項(xiàng)公式。 4、已知數(shù)列仏滿足：%4=1,求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式。 3+1 5、若數(shù)列/中，a產(chǎn)1,込+產(chǎn)用N+，求通項(xiàng)監(jiān). S + 2 六. 迭代法 迭代法就是根據(jù)遞推式，釆用循環(huán)代入計(jì)算. 七、待定系數(shù)法： 1、通過(guò)分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列j+k的形式求解。一般地，形如J+廣p j+q (pH 1, pqHO)型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a”|+k二p (j+k)與原式比較 系數(shù)可得pk2q,即k二從而得等比數(shù)列a”+k。 卩-1 例9、數(shù)列j滿足引二1,勺二!勺+1 JM2),求數(shù)列勺的通項(xiàng)公式。 2 說(shuō)明：通過(guò)對(duì)常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列礙一2,從而

6、達(dá)到解決問(wèn) 題的目的。 練習(xí)、1數(shù)列%滿足a,=l, 3厲田+-7=0,求數(shù)列勺的通項(xiàng)公式。 2、已知數(shù)列”滿足=1,且a”+ = %” + 2,求 2、遞推式為如=/“+嚴(yán)(p、q為常數(shù)時(shí)，可同除嚴(yán)，得毎=上紹+ 1,令 q q q hn =紹從而化歸為如=m (p、q為常數(shù))型. 例10.已知數(shù)列%滿足a】=1 , an =3 +2% (n 2).求心 解：將=3+2%兩邊同除3”，得字=1+辛L今芽=1 +扌筍 設(shè)仇詩(shī)，則咕1+|幾令仇 = = 3.條件可化成仇3 = ?(虹廠3),數(shù)列bn -3是以,-3 = -3 = -為首項(xiàng)， ?為公比的等比數(shù)列.-3 = -x(-)-*.因億=工

7、， 3333 A a” = bn3” =3n(-|x(I)- + 3) = g = 3n+, - 2n+2 . 3、形如 an+l = pan + an + b (p 羊 1、O, a H 0) 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令 a“+i + xn +1) + y = p(an + xn + y),與已知遞推式比較，解出x, y,從而轉(zhuǎn)化為an + xn + 是 公比為p的等比數(shù)列。 例 11：設(shè)數(shù)列“： a =4,an = 3n_, + 2n-l,(n 2),求a”. 解：令 4+i + x(n +1) + y = 3(冷 + xn + y) 化簡(jiǎn)得：+2x/? + 2y-

8、x 2x = 2(x = 1 所以b-x = T 解得b = 0,所以an+I + (n +1) = 3(a + n) 乂因?yàn)?l = 5,所以數(shù)列+切是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。 從而可得山+心5 x嚴(yán),所以 = 5 x 3f 4、形如 an = pan + an2 + Z?z? + c (/? h 10 a H 0) 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令 an+l +x(n + l)2 + y(n +1) + c = p(an +xn2 + yn + c),與已知遞推式比較,解出x,y, z. 從而轉(zhuǎn)化為an + xn2 + yn + c是公比為p的等比數(shù)列。 例 12

9、:設(shè)數(shù)歹ij%： Oj = 4,an = 3an_x + 2n2 -l,(n 2),求a”. A：不動(dòng)點(diǎn)法，形如% 叫+ q 解法：如果數(shù)列心滿足下列條件：已知q的值且對(duì)于/7EN,都有嚴(yán)竺匸乞(其中小 + h q、工、方均為常數(shù)，且必工,心0,“嚴(yán)丄)，那么，可作特征方程x = !L,當(dāng)特征方程 rrx + h 、 有且僅有一根心時(shí)，貝嘰一1,是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根州、無(wú)時(shí)，則 M-兀 J 竺二4是等比數(shù)列。 例15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于N,%= )二,且絢=3,求陽(yáng)的通項(xiàng)公式. 2。” + 3 九：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，LI的是代換后出現(xiàn)的整

10、體數(shù) 列具有規(guī)律性。 例6已知數(shù)列”滿足嚴(yán)丄(1 + 4陽(yáng)+J1 + 2%),糾=1,求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。 16 解：令五，則 = 一 1) 故科=右(切：+1 -1)，代入曲=+丿+ 24%)得 石+i -l)= U【l + 4可一 1)+如 即 4為=($+3)2 因?yàn)閮|頁(yè)；20,故/=/ + 24厲+|0 I3 則2+3,即化*產(chǎn)許+亍 1可化為乞+1 - 3 =牙(仇一 3), 所以化-3是以也-3 = J1 + 24 -3 = (1 + 24x1-3 = 2為首項(xiàng)，以*為公比的等比數(shù)列, 因此化亠2(小嚴(yán),則T嚴(yán)+3,即嚴(yán)頁(yè)(擴(kuò)+3,得 1 H o 3 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將J

11、iT頁(yè)；的換元為化，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化 勺屮=丄乞+。形式，從而可知數(shù)列-3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列仇-3的通項(xiàng)公 2 2 式，最后再求出數(shù)列”的通項(xiàng)公式。 例18. 已知數(shù)列心滿足 解析：站寺噸, ,=cos： ”2心3 .n兀 = cos , 5 = cos 622-3 總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(或等比)數(shù)列，從而利用 等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。 十.雙數(shù)列 解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用鬆加、躍乘、化歸等方法求解。 例19.已知數(shù)列仏中，5=1；數(shù)列血中，勺=0。當(dāng)心2時(shí)， an - -+ bn_), bn = - (_! + 2仇

12、_),求 an, bn. 解：因+嘰=扌(2“心+殆)+ | a_x + 2/治)=+勺I 所以+bn =勺.+ 仇-=-2+勺一2=。2 +4 =a +A =1 (1) 又因?yàn)閍” -bn = |(2n_, +m |g/,1_i+2Z?_1)=|(_i-/9h_1) 所以-嘰=|(an_i -bn_) =(l)2an_2 -b_2)=() =($叫即5-化= =($“(2) 由、(2)得：“,冷1 + (擴(kuò),/7n=ll-(|)n-,J 十一、周期型解法：由遞推式計(jì)算岀前兒項(xiàng)，尋找周期。 例20：若數(shù)列仏滿足如 則0的值為 2”,(0an ) 2dn - an V 1) 變式：(2005,湖

13、南，文,5) 已知數(shù)列心滿足0 =0,匕+=(n v TV J，則仏二() +1 A. 0B. -V3C. V3D. 2 十二、分解因式法 當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡(jiǎn)形式，再用其它方法求得務(wù) 例 21.已知 f(x) = (x-1)4,(x) = r (x-1)3,(r OJ),數(shù)列%滿足=2,陽(yáng)=1 (用 N ), 且有條件(” 一%) g(-1) + /(_!)= 0,求a”(n M2). 解：111得： (為 一an_!)r-(% -1)3 + (n_i -1)4 = 0.即(_)-l)3r(on -%) + (% -1) = 0 對(duì)門丘 N , an Hl,故心-1) = 0.合并同類項(xiàng)得:勺=- + -_再由待定系數(shù)法得： r r an 一1 =(n-1 _1). r r i 心=1 + (嚴(yán). 十三、循環(huán)法 數(shù)列有形如f(%2, %2”)= 0的關(guān)系，如果