余弦定理教學設(shè)計方案3

1、人教A版必修五1.1.2余弦定理教學設(shè)計一、教學結(jié)構(gòu)體系1. 前后內(nèi)容聯(lián)系：本節(jié)內(nèi)容是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5（人教A版）第章余弦定理第一課時（余弦定理安排2課時），是在學生學習了三角函數(shù)、向量等知識之后，是對三 角知識的應(yīng)用，也是對解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，定理本身的應(yīng)用十分廣泛2. 本節(jié)課的結(jié)構(gòu)：、學生學情分析對普高高二的學生來說，已學的平面幾何、解直角三角形、三角函數(shù)、向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到 制約。根據(jù)以上特點，教師應(yīng)多加強引導，注重前后知識間的聯(lián)系。培養(yǎng)學生積極參與分析問題、 小組合作，探

2、究問題、運用知識解決問題。三、教學目標、重點與難點分析：1. 教學目標：（1）知識目標：掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運用余弦定理解解斜三角形的（2）能力目標：通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問 題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力2. 教學重點：三角形邊角關(guān)系的探索；余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；余弦定理的簡單應(yīng)用。3. 教學難點：余弦定理的證明，余弦定理的拓展。三、教學過程:（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題:情境2:如圖2所示,A、B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要在A、B之間修建的一條隧道，工程技術(shù)人員如何測量隧道的長度?（工具：

3、皮尺、水平測距儀、測角儀）問題1:上述兩問題區(qū)別在哪里，分別如何解決？學生：情境1中兩點間（無障礙）可直接到達，可直接用測量工具（水平測距儀）測量,情境2中兩點間（有障礙）不可到達，直接用測量工具（水平測距儀）測不出來。間的距離嗎？學生：不行，我們還可以用測角儀測出C的 大小，通過解三角形求 AB的長度。教師：若將情境2問題化歸為解三角形問題，則該問題是解三角形的什么問題？學生：已知三角形的兩邊及夾角，求第三邊問題。教師：本節(jié)課我們將要探究的問題是：在已知三角形兩條邊的長度前提下，其夾角與第三條邊的 長度之間關(guān)系，這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題設(shè)計意圖：通過實例創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學生對本節(jié)課

4、的興趣，同時抽象出數(shù)學問題引入新課.（二）問題化歸，構(gòu)建模型：問題2:如圖3在 ABC中，已知CA b, CB a,當 C 變大時,線段AB的長度的如何變化?教師：（用動畫演示）學生：當 C變大時，線段AB的長度變大。教師：剛才我們只是對 ABC中，已知CA b,CB a, C的變化與線段 AB的長度的變化趨勢作了定性分析；那么在ABC中 C的大小與線段 AB的長度是否有確定的關(guān)系，若有,如何尋找？學生：解三角形（三）解證模型，得出定理：問題3：如圖在 ABC中，已知CA b, CB a,當 Ca、b、 表示）（PPT展示三種類型三角形）方法一：（構(gòu)造直角三角形）解：當C為直角時，AB2 CB

5、2 CA2 a2 b2.當 C為銳角時，過點A作AD BC時,線段AB的長度為多少？（用2=ab22abcos .當C為鈍角時，過點A作ADBC交BC的延長線于D則AB2BD2 AD2 a bcos()2 bsi n()2(a bcos )2 (bsin )2 = a2 b22ab cos綜上所述,均有AB| /a2 b2 2abcos成立.教師：這種思路是構(gòu)造直角三角形 ，利用勾股定理來計算 AB的長, 但要注意這里要分三種情況討論 除了用構(gòu)造三角形的方法，通常我們求兩點間距離還有什么方法?學生：向量的模長、兩點間的距離公式。教師：（引導學生小組探究，用向量的方法證明結(jié)論） 方法二：（構(gòu)造向

6、量數(shù)量積）uunurnuuruuu 2uuu證明：如圖，因為ABCBCA,所以AB(CBuuu2urn 2|UUUuuuCB CA 2CBCAcosC,uur即 |AB| .|CA|2 |CB |2 2 |CA | | CB | cosC .即 AB|a2 b2 2abcos 成立.AB2 BD2 AD2 (a bcos )2 (bsin )2教師：這種方法的思路是構(gòu)造向量，借助向量的運算來證題將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手 段是作數(shù)量積方法三：(建立直角坐標系)證明：建立如圖所示的直角坐標系，則A(bcosC,bsinC)， B(a,O)，根據(jù)兩點間的距離公式，可得yiA| AB | J(b

7、cosC a)2 (bsi nC 0)2，/所以，| AB| Jb2 a2 2ab cosC .CB X教師：這種思路是建立平面直角坐標系 ，借助于坐標運算來證題.利用坐標法的優(yōu)點在于不必分 類討論了且運算簡單.設(shè)計意圖：通過對情境問題的探究，將實際問題生成數(shù)學問題，并運用多種方法予以證明，充分培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)問題、探究問題解決問題的能力，同時也培養(yǎng)了學生發(fā)散性思維能力問題4:以上結(jié)論為余弦定理，如何用文字語言與符號語言表示以上定理？你能說出來嗎？教師：大家觀察我們剛才證明的式子，如果把它們平方就可以得出結(jié)論？學生：ABa2 b2 2abcos ，即 c2 a2 b2 2ab cosC.教師：同

8、理這個式子也可以用來求另外兩邊，你能把其他兩邊也用式子表示出來嗎？2 2 2 2 2 2學生：能，a b c 2bc cos A ； b a c 2ac cos B.教師：很好，這三個式子就是余弦定理的符號語言表述形式，這個式子非常美觀，便于記憶，希望大家好好記憶，請問那位同學能用文字語言把它表述出來嗎？符號語言:2 2 2 2 2 2a b c 2bc cos A ； b a c 2ac cos B ；2 2 2c a b 2ab cos C.文字語言:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍設(shè)計意圖：讓學生用兩種數(shù)學語言表述已經(jīng)證明的定理，加深對定

9、理的理解，提高學生的語言表達能力及數(shù)學語言間的轉(zhuǎn)換能力，特別是符號語言表述結(jié)構(gòu)具有輪換對稱美，便于記憶(四) 合理變型，深化理解：問題5:余弦定理是關(guān)于三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系。應(yīng)用余弦定理，我們可 以由三角形的三邊來確定三角形的角嗎？怎么確定?學生：求角我們可以把上面的式子變形，使角和邊分離教師：很好，那大家動手寫一下，看看公式變成什么樣子？,2 2 2 2 2 2 2.2 2學生：cosA - c ； cosB a c； cosC ac2bc2ac2ab教師：看來大家都不錯，我們把剛才變形之后的公式叫做余弦定理的推論余弦定理推論:cosAb22bccosB2acb2cosCb

10、22ab設(shè)計意圖：對公式進行變形，學生很明確就能發(fā)現(xiàn)如何知道三角形的三邊求角問題6:勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三 邊的平方之間的關(guān)系，如何看待這兩個定理之間的關(guān)系？教師：你們?nèi)绾慰创陨系膯栴}？能得到什么結(jié)論？學生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣教師：能否根據(jù)余弦定理的推論來判定三角形的每個角是銳角、直角鈍角？如何判斷？學生：能，根據(jù)余弦定理推論來判定角的余弦的符號，若cos A 0 ,則A是銳角；若cos A 0，則A是直角；若cosA 0 ,則A是鈍角教師：（大家一起歸納）1.b2c2a2cosA0A90 ；2.b22

11、c2 acosA0A90 ；3.b22 c2 acosA0A900.教師：判定三角形形狀關(guān)鍵是判定哪個角？學生：判定最大角教師：很好，在知道三角形三邊的前提下，要判斷三角形形狀，只要判斷最大角的大小即可； 剛才我們對余弦定理及推論進行了探討，大家議一議，余弦定理可以解決一些什么問題？學生：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；2. 已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能運用定理判斷角的范圍，從而判定三 角形的形狀（五）運用定理，解決問題:例 1.在 ABC 中，AC 600m , BC 340m, ACB 41,求邊 AB 的長度（

12、精確到 1m ） ?解：根據(jù)余弦定理，c2 a2 b2 2ab cosC ,167682.42 2 2 0c 6003402 600 340 cos 41AB 409例 2.在 ABC 中，AB 5m，AC4m，BC 6m ,求該三角形的最大角與最小角的余弦值,并請判定該三角形的形狀解:AB 5m， AC 4m， BC 6m,B A C ,根據(jù)余弦定理,cos Ab2 c2 a22bc42 52 62 162 52 42;cosB -2458265cos A 0, A 900ABC為銳角三角形（六）隨堂訓練，鞏固反饋：1.已知在 ABC中，a 3，c 2，B 600，那么b等于（B ）A、 5

13、B、7C、2、2D、2、32. 已知在 ABC 中，si nA:s in B : si nC = 1:.3:2，則 A: B:C 等于（A ）3.若三條線段的長為5、6、8,則用這三條線段（C ）A、能組成直角三角形B、能組成銳角三角形C、能組成鈍角三角形D、不能組成三角形A、 1 : 2 : 3B . 2 : 3 : 1 C . 1 : 3 : 2D. 3 : 1 : 2七.課時小結(jié)：（一）.探究過程:1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題;2.問題化歸，構(gòu)建模型；3.解證模型，得出定理；4.合理變型，深化理解;5.運用定理，解決問題；6.隨堂訓練，鞏固反饋.（二）.知識體系:1. 余弦定理:文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍2.3.1.符號語言：a2余弦定理推論:余弦定理的應(yīng)用:b2 c2a2 b2cosA2bc2abb2cosA ； b2cosC .a2c22ac cos B ；2 2c a；cosB2bc已知三角形兩邊及夾角，求