賽程安排數(shù)學(xué)建模問題

1、題目 賽程安排 摘要賽程安排在體育活動(dòng)中舉足輕重，在很大程度上影響比賽的結(jié)果；本文主要針對(duì)最優(yōu)賽程安排方案建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，給出最優(yōu)賽程的安排方案。對(duì)于問題一，要給出一個(gè)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)的賽。因?yàn)閰①愱?duì)伍只有5個(gè)，容易操作，所以可以利用排除-假設(shè)法可以得到一種滿足條件的賽程安排，即。對(duì)于問題二，考慮到各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間至少相隔一場(chǎng)，我們用逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法對(duì)比賽隊(duì)伍進(jìn)行排序，并根據(jù)這種方法，用編出相應(yīng)編程得出不同隊(duì)伍比賽間隔的上限，再根據(jù)數(shù)據(jù)總結(jié)出規(guī)律，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為場(chǎng)，用軟件驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。用同樣的方法可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)

2、的上限為。對(duì)于問題三，在達(dá)到第二問上限的情況下，可通過輪換模型得到的賽程安排。時(shí)一種賽程安排如下：(1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)時(shí)一種賽程安排如下：(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5

3、,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3). 對(duì)于問題四，我們可以用每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和來衡量賽程的公平性。當(dāng)不同時(shí)，大的隊(duì)伍對(duì)其比賽結(jié)果越有利。當(dāng)相同時(shí)，用每次間隔場(chǎng)次的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量賽程的公平性，其中標(biāo)準(zhǔn)差越小的隊(duì)對(duì)其比賽的結(jié)果越有利。當(dāng)相同且每次間隔場(chǎng)次的標(biāo)準(zhǔn)差也相同時(shí)，兩個(gè)隊(duì)比賽時(shí)，我們用雙方已參加比賽的次數(shù)來衡量比賽賽程的優(yōu)劣，其中

4、在雙方比賽時(shí)，已參加比賽次數(shù)越少，其比賽的結(jié)果越有利。關(guān)鍵詞：排除-假設(shè)法 逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法 標(biāo)準(zhǔn)差一、 問題重述1.1背景分析當(dāng)今社會(huì)，隨著經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們的生活水平不斷的提高，體育競(jìng)賽也在日趨緊張的現(xiàn)代生活中被人們提到了越來越重要的位置。北京奧運(yùn)會(huì)的成功更加提升了體育在人們生活中的份量，體育活動(dòng)在生活中起著舉足輕重的作用。而這些體育運(yùn)動(dòng)中，公平性又顯得尤其重要。特別是在對(duì)抗性強(qiáng)的單循環(huán)比賽中，賽程安排的不同，對(duì)比賽結(jié)果響很大。本文主要著手于最優(yōu)賽程安排方案，盡量給出賽程安排使得對(duì)每支球隊(duì)來說都很公平。1.2問題重述假設(shè)你所在的年級(jí)有5個(gè)班，每班一支球隊(duì)在同一塊場(chǎng)地上進(jìn)行單循環(huán)賽

5、（所謂單循環(huán)賽是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，最后按各隊(duì)在全部比賽中的積分、得失分率排列名次）要進(jìn)行10場(chǎng)比賽。 如何安排賽程使對(duì)各隊(duì)來說都盡量公平呢？下面是隨便安排的一個(gè)賽程: 記5支球隊(duì)為，在下表左半部分的右上三角的10個(gè)空格中, 隨手填上就得到一個(gè)賽程, 即第場(chǎng)對(duì), 第場(chǎng)對(duì), , 第場(chǎng)對(duì). 為方便起見將這些數(shù)字沿對(duì)角線對(duì)稱地填入左下三角。 這個(gè)賽程的公平性如何呢, 不妨只看看各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間得到的休整時(shí)間是否均等。 表的右半部分是各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔的場(chǎng)次數(shù), 顯然這個(gè)賽程對(duì), 有利, 對(duì)則不公平。表一每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)數(shù)從上面的例子出發(fā)討論以下問題:問題一：對(duì)于支球隊(duì)的比賽, 給出一

6、個(gè)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)的賽程。問題二：當(dāng)支球隊(duì)比賽時(shí), 各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限是多少。問題三：在達(dá)到) 的上限的條件下, 給出的賽程, 并說明它們的編制過程。問題四：除了每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)這一指標(biāo)外, 你還能給出哪些指標(biāo)來衡量一個(gè)賽程的優(yōu)劣, 并說明) 中給出的賽程達(dá)到這些指標(biāo)的程度。二、 模型假設(shè)結(jié)合本題實(shí)際，為確保模型求解的準(zhǔn)確性和合理性，我們排除了一些因素的干擾，提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：1、比賽期間，比賽不受任何外界因素影響。2、每天比賽的時(shí)間段固定并且每場(chǎng)比賽時(shí)間相同。3、任兩球隊(duì)在相同的休息時(shí)間里都能夠得到同等程度的休息。4、比賽在一天中指定的時(shí)間準(zhǔn)時(shí)開始和結(jié)

7、束并且嚴(yán)格按原賽程的規(guī)定執(zhí)行，不存在因?yàn)槠渌蛟斐傻耐Ｙ惖某霈F(xiàn)。5、所建模型僅考慮開始比賽期間相鄰兩場(chǎng)比賽之間的休息時(shí)間隊(duì)參賽隊(duì)的影響，不考慮第一場(chǎng)比賽之前和最后一場(chǎng)比賽之后的休息時(shí)間對(duì)參賽隊(duì)的影響。三、 符號(hào)說明3.1符號(hào)說明為了便于問題的求解，我們給出以下符號(hào)說明：表示參賽隊(duì)伍的數(shù)量表示各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間隔的場(chǎng)次數(shù)的上限表示參賽隊(duì)的輪數(shù)表示相鄰兩場(chǎng)比賽的間隔場(chǎng)數(shù)每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和各隊(duì)在全部賽程中間隔場(chǎng)次數(shù)在全部賽程中間隔場(chǎng)數(shù)的總次數(shù)3.2名詞解釋:1、 上限上限為每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的最小值。2、 單循環(huán)賽單循環(huán)賽是所有

8、參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，最后按各隊(duì)在全部比賽中的積分、得失分率排列名次。3、 排除假設(shè)法當(dāng)某一變因素的存在形式限定在有限種可能（如某命題成立或不成立，如與大小：有大于、小于和等于三種情況）時(shí)，假設(shè)該因素處于某種情況（如命題成立，如），并以此為條件進(jìn)行推理。四、 問題分析4.1對(duì)問題一的分析對(duì)于問題一，假設(shè)這五支球隊(duì)分別定義為隊(duì)，那么這五支球隊(duì)比賽的總場(chǎng)次數(shù)為10。第一場(chǎng)出場(chǎng)隊(duì)伍組合有種可能，要滿足各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)這個(gè)條件，所以第二場(chǎng)比賽共有種可能，以此類推共有種可能。其中一種可能如下表二：表二、五支隊(duì)伍參賽賽程安排表ABCDE每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)AX16931, 2, 2B

9、1X47102, 2 ,2C64X281, 1, 1D972X52, 1, 1E31085X1, 2, 1最后再用編程來驗(yàn)證此排除假設(shè)法的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)結(jié)果相同即證明針對(duì)參賽隊(duì)伍較少的情況此種方法簡(jiǎn)易可行。4.2對(duì)問題二的分析為了方便計(jì)算、便于表示，我們將參加比賽的球隊(duì)由編號(hào)分別為字母A、B、C、D分別用數(shù)字1、2、3、4、等代替表示，固定第1隊(duì), 按左邊由上而下、右邊由下而上(即逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))排成完整的兩列。再將比賽場(chǎng)地的順序按輪轉(zhuǎn)法排出，分別討論。根據(jù)這種逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法，用編出相應(yīng)軟件得出不同隊(duì)伍參賽時(shí)比賽間隔的上限，如當(dāng)時(shí)，算出各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限分別為1，2,3,4，分析以上

10、數(shù)據(jù)可以得到如下規(guī)律，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為場(chǎng)；最后再用軟件驗(yàn)證得到這種逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法的準(zhǔn)確性。用同樣的方法可知，當(dāng)為基數(shù)時(shí)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為。4.3對(duì)問題三的分析在達(dá)到第二問上限的情況下，可通過輪換模型得到的賽程安排。當(dāng)時(shí)，把1固定在左上角不動(dòng)，其余元素按逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法輪換，一共輪換了次。用編程得到一種賽程安排如下：(1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3

11、),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)其中每一個(gè)數(shù)代表一個(gè)隊(duì)，括號(hào)里表示每?jī)蓚€(gè)隊(duì)進(jìn)行比賽。同樣可以得到的一種賽程安排：(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4，5),(

12、2,3)4.4對(duì)問題四的分析先用用每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和來衡量賽程的公平性。當(dāng)不同時(shí)，大的隊(duì)伍對(duì)其比賽結(jié)果越有利。當(dāng)相同時(shí)，用每次間隔場(chǎng)次的方差來衡量賽程的公平性，其中方差越小的隊(duì)對(duì)其比賽的結(jié)果越有利。當(dāng)相同且每次間隔場(chǎng)次的方差也相同時(shí)，兩個(gè)隊(duì)比賽時(shí)，我們用雙方已參加比賽的次數(shù)來衡量比賽賽程的優(yōu)劣，其中在雙方比賽時(shí)，已參加比賽次數(shù)越少的隊(duì)，對(duì)其比賽的結(jié)果就越有利。五、模型的建立與求解5.1問題一的模型建立與求解根據(jù)對(duì)實(shí)際問題的分析可知，進(jìn)行單循環(huán)賽時(shí)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間得到的休整時(shí)間是否均等，對(duì)于球賽的輸贏起著決定性的作用，問題一需要我們對(duì)于支球隊(duì)的比賽，給出一個(gè)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中

13、間都至少相隔一場(chǎng)的賽程，因?yàn)殛?duì)伍較少，所以利用排除-假設(shè)法可以得到一種理想的賽程安排。假設(shè)這五支球隊(duì)分別定義為隊(duì)，5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽比賽的總場(chǎng)次數(shù)，則五支球隊(duì)比賽的總場(chǎng)次數(shù)為。五支球隊(duì)進(jìn)行比賽，因?yàn)槲逯蜿?duì)沒有明顯的次序特征，所以第一場(chǎng)比賽出場(chǎng)隊(duì)伍組合有種可能。假設(shè)兩支球隊(duì)先進(jìn)行比賽，要滿足各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)這個(gè)條件，因此第二場(chǎng)比賽只能從這三個(gè)球隊(duì)中選擇兩支進(jìn)行比賽，共有種選擇，即。假設(shè)第二場(chǎng)比賽隊(duì)伍組合為，在之前條件約束下，僅有可以參加第三場(chǎng)比賽，即，可以設(shè)第三場(chǎng)比賽隊(duì)伍組合為 。因?yàn)榍蜿?duì)之間進(jìn)行的是單循環(huán)賽，所以在任何兩隊(duì)之間只能進(jìn)行一場(chǎng)比賽，對(duì)任何一隊(duì)而言，曾經(jīng)與其交戰(zhàn)過

14、的隊(duì)，在以后的比賽中當(dāng)不再相遇。以此類推，以后各場(chǎng)比賽賽程安排可以為。所以符合條件的比賽場(chǎng)數(shù)共有場(chǎng)。如圖一所示：圖一、五個(gè)隊(duì)伍參賽賽程安排圖因?yàn)槲鍌€(gè)隊(duì)伍比賽場(chǎng)次數(shù)較少可以將其轉(zhuǎn)化成如下形式的賽程表三，可以直觀清晰的看出每?jī)蓤?chǎng)比賽相隔場(chǎng)次數(shù)的特點(diǎn)。表三、五個(gè)隊(duì)伍比賽間隔場(chǎng)次表每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)下面我們利用編程驗(yàn)證這種假設(shè)-排除法的準(zhǔn)確性，編程能求出總的場(chǎng)次比賽情況，只要從中找出與上面對(duì)應(yīng)的賽程安排就能證明此種方法準(zhǔn)確。下表四為軟件求解出的相應(yīng)結(jié)果，五個(gè)隊(duì)伍參加五輪十場(chǎng)比賽滿足要求的賽程安排：表四、五個(gè)隊(duì)伍參賽賽程安排1-25-14-52-41-43-42-31-35-32-5從表格可以看出，

15、結(jié)果與假設(shè)-排除法得出的結(jié)果相同，證明針對(duì)參賽隊(duì)伍較少的情況此種方法簡(jiǎn)易可行。5.2問題二的模型建立與求解考慮到各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)時(shí)讓賽程盡可能公平的情況下，求每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限。題目要求我們安排支球隊(duì)的單循環(huán)賽程，并使賽程對(duì)各隊(duì)來說盡量做到公平。要想做到公平，其衡量的指標(biāo)之一是：考慮各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間得到的休整時(shí)間是否均等、或是差距不大為此采用“逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法”對(duì)此問題進(jìn)行處理，首先我們將參加比賽的球隊(duì)由編號(hào)分別為字母分別用數(shù)字等代替表示，然后固定第1隊(duì)， 按左邊由上而下、右邊由下而上(即逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))排成完整的兩列。為了確定比賽順序，要先將比賽場(chǎng)次的順序按輪轉(zhuǎn)法排出

16、。仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)會(huì)出現(xiàn)輪空的情況，而偶數(shù)則不會(huì)出現(xiàn)輪空的現(xiàn)象，所以要將參賽隊(duì)伍的數(shù)量根據(jù)奇偶性進(jìn)行討論(當(dāng)N=4時(shí)，各隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為0，在此不予討論。)：(1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限分析如下：當(dāng)時(shí)，根據(jù)附錄中的程序算出總共的比賽次數(shù)為15場(chǎng)，如下表所示：表五、6個(gè)參賽隊(duì)的單循環(huán)賽比賽場(chǎng)次順序輪轉(zhuǎn)表第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪1-65-11-41-31-22-54-63-52-43-64-62-32-65-64-5將其轉(zhuǎn)化成如下形式的賽程表六，可以直觀清晰的看出每?jī)蓤?chǎng)比賽相隔場(chǎng)次數(shù)的特點(diǎn)。表六、賽程與相隔場(chǎng)次數(shù)表123456每?jī)蓤?chǎng)比

17、賽間隔場(chǎng)次數(shù)113107412136112931063814431131555428151261914512由此表可得當(dāng)=6時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為1。由此我們通過編程得出當(dāng)=8，10，等偶數(shù)時(shí)重復(fù)當(dāng)=6時(shí)的算法并計(jì)算他們的上限。得出參賽對(duì)數(shù)與隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限的關(guān)系如下表七：表七、當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的參賽隊(duì)伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對(duì)數(shù)68101250上限123423因此，由上述圖表可推測(cè)得出規(guī)律：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為：場(chǎng)。當(dāng)時(shí)，經(jīng)過編程得出各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為48 ，經(jīng)由我們推導(dǎo)出來的公式計(jì)算得當(dāng)時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相

18、隔的場(chǎng)次數(shù)的上限也為48 ，由此便可驗(yàn)證公式的正確性。 （2）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限分析如下：當(dāng)N= 5時(shí),根據(jù)附錄中的程序算出總共的比賽次數(shù)為10場(chǎng)，如下表八所示：表八、五個(gè)隊(duì)伍參賽賽程安排表第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪1-21-54-52-41-43-43-21-35-32-5將其轉(zhuǎn)化成如下形式的賽程表九，可以直觀清晰的看出每?jī)蓤?chǎng)比賽相隔場(chǎng)次數(shù)的特點(diǎn)。表九、賽程與相隔場(chǎng)次數(shù)表12345每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)116931, 2, 22147102, 2 ,2364281, 1, 1497252, 1, 15310851, 2, 1由此表可得當(dāng)時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間

19、相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為1.由此我們通過編程得出當(dāng)?shù)绕鏀?shù)時(shí)重復(fù)當(dāng)時(shí)的算法并計(jì)算他們的上限。得出參賽對(duì)數(shù)與隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限的關(guān)系如下表十：表十、當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的參賽隊(duì)伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對(duì)數(shù)5791149上限123423因此，由上述圖表可推測(cè)得出規(guī)律：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為：。當(dāng)時(shí)，經(jīng)過編程得出各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限為48 ，經(jīng)由我們推導(dǎo)出來的公式計(jì)算得當(dāng)時(shí)，各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限也為48 ，由此便可驗(yàn)證公式的正確性。 5.3問題三的模型建立與求解在達(dá)到第二問上限的情況下，可通過輪換模型得到和的賽程安排。當(dāng)時(shí)，把1固定在左上角不

20、動(dòng)，其余元素按逆時(shí)針輪換法輪換，一共輪換了次。根據(jù)附錄中的的編程得到當(dāng)時(shí)的具體輪換過程可見下表十一： 表十一、八個(gè)隊(duì)伍參賽賽程表第一輪1-23-54-68-7第二輪1-34-28-57-6第三輪1-48-37-21-5第四輪1-87-46-35-2第五輪1-76-85-42-3第六輪1-65-72-83-4第七輪1-52-63-748由上表可知，具體賽程安排如下：(1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,

21、3),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)時(shí)每?jī)蓤?chǎng)比賽間隔相隔場(chǎng)次數(shù)如下表十二： 表十二、各隊(duì)伍比賽相隔場(chǎng)次數(shù)表隊(duì)相隔的場(chǎng)次數(shù)相隔場(chǎng)次總數(shù)13，3，3，3，3，31824，4，4，3，2，21932，4，4，4，3，21942，2，4，4，4，31954，4，3，2，2，21764，3，2，2，2，41773，2，2，2，4，41782，2，2，4，4，418當(dāng)時(shí),采用逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法.將隊(duì)號(hào)數(shù)為1的隊(duì)伍位子固定不變且遇到偶數(shù)輪時(shí)在該輪中輪空,因要和上一輪輪空的隊(duì)配成比賽,奇數(shù)輪中1則不能輪空.從奇數(shù)輪到偶數(shù)輪逆時(shí)針輪換。由偶數(shù)輪到奇數(shù)輪時(shí)

22、第一列不變,第二列向上移一個(gè)位置,使得第一組最后一組輪空.一共輪轉(zhuǎn)次.時(shí)的具體輪換過程可見下表十三(輪空位用0替代)表十三、八個(gè)隊(duì)伍參賽賽程表第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪第七輪第八輪1-21-01-41-01-61-01-81-03-42-42-64-64-86-86-98-95-63-63-82-82-94-94-76-77-85-85-93-93-72-72-54-59-07-97-05-75-03-53-02-3根據(jù)逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法，表中奇數(shù)輪末尾遇0輪空與相鄰的偶數(shù)輪首位遇0輪空的兩支隊(duì)搭配比賽。例如第三輪末尾第五場(chǎng)第七隊(duì)輪空，第四輪首位第一場(chǎng)第一隊(duì)輪空，則十四場(chǎng)比賽隊(duì)伍組合為第七

23、隊(duì)和第一隊(duì)。由上表可知，具體賽程安排如下：(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3).隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽間隔相隔場(chǎng)次數(shù)如下表十四：表十四、各隊(duì)伍比賽相隔場(chǎng)次數(shù)表隊(duì)相隔的場(chǎng)次數(shù)相隔場(chǎng)次總數(shù)13 4 3 4 3 4 324

24、24 4 4 4 4 4 42834 4 4 4 4 4 32743 3 4 4 4 4 42654 4 4 4 3 3 32563 3 3 3 4 4 42474 4 3 3 3 3 32383 3 3 3 3 3 42293 3 3 3 3 3 321通過驗(yàn)證這兩種模型都是滿足條件的. 并且這兩種模型都可以擴(kuò)充到N為任偶數(shù)或是奇數(shù)的情況. 5.4問題四的模型的建立與求解前面三問都是在只考慮每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)這一指標(biāo)下討論賽程的公平性，即賽程安排都是以各隊(duì)休整時(shí)間是否均等作為最優(yōu)目標(biāo)。在這種情況下，只能做到盡可能的均衡，而不可能使各隊(duì)的總的間隔時(shí)間場(chǎng)次數(shù)完全相等。由此，我們想到可以用每個(gè)

25、隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和來衡量賽程的公平性。很顯然，對(duì)于越大的隊(duì)，他們休整時(shí)間比其他的隊(duì)就長(zhǎng)，對(duì)于他們的比賽結(jié)果就越有利。當(dāng)每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和相等時(shí)，我們可以根據(jù)每次間隔場(chǎng)次的波動(dòng)程度來衡量賽程的優(yōu)劣，在此我們引入另一個(gè)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差來衡量賽程的優(yōu)劣。由下面圖二中的疲勞指數(shù)可知在休整時(shí)間相同的兩個(gè)隊(duì)參賽隊(duì)比賽時(shí)，一個(gè)隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差越大時(shí)對(duì)此對(duì)越不利。圖二、運(yùn)動(dòng)員疲勞指數(shù)圖在實(shí)際比賽過程中還有一些客觀的人為對(duì)已參加比賽隊(duì)伍的比賽情況的分析，這一因素也會(huì)對(duì)比賽的結(jié)果產(chǎn)生影響。所以當(dāng)每個(gè)隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽中間間隔的場(chǎng)次數(shù)之和和每次間隔場(chǎng)次的標(biāo)準(zhǔn)差相等時(shí)，我們可以比較兩隊(duì)在進(jìn)行比賽時(shí)

26、雙方已參加比賽的次數(shù)來衡量這次比賽的優(yōu)劣。我們知道在這兩個(gè)隊(duì)進(jìn)行比賽時(shí)，哪一方已經(jīng)參加的次數(shù)越多，被對(duì)方所掌握的信息就越多，就越易被對(duì)方看出本隊(duì)的優(yōu)勢(shì)與不足從而制定針對(duì)本隊(duì)的方案。這樣便會(huì)對(duì)參賽多的一方產(chǎn)生不利的影響。綜合上述可得：我們可以先利用SUM來衡量賽程安排的公平性，當(dāng)各隊(duì)的SUM不同時(shí)，大的隊(duì)，對(duì)其比賽的結(jié)果就越有利。當(dāng)相同時(shí)，我們用每次間隔場(chǎng)次的方差來衡量賽程的公平性，其中標(biāo)準(zhǔn)差越小的隊(duì)，對(duì)其比賽的結(jié)果就越有利。當(dāng)相同且每次間隔場(chǎng)次的標(biāo)準(zhǔn)差也相同時(shí)，兩個(gè)隊(duì)比賽時(shí)，我們用雙方已參加比賽的次數(shù)來衡量比賽程的優(yōu)劣，其中在雙方比賽時(shí)，已參加比賽次數(shù)越少的隊(duì)，對(duì)其比賽的結(jié)果就越有利。當(dāng)時(shí)，1

27、到8隊(duì)比賽時(shí)的相隔場(chǎng)次總數(shù)分別18,19,19,19,17,17,17,18根據(jù)我們定義的賽程標(biāo)準(zhǔn)，我們首先可以看出這場(chǎng)比賽對(duì)第二、第三、第四隊(duì)的比賽結(jié)果比較有利。在根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差可知這三隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，所以不存在不公平因素。最后我們看他們互相比賽時(shí)各隊(duì)已參加比賽次數(shù)。當(dāng)?shù)诙?duì)與第三隊(duì)比賽時(shí)，雙方均已參加四場(chǎng)比賽，所以不存在不公平因素；當(dāng)?shù)诙?duì)與第四隊(duì)比賽時(shí)雙方均已參加一場(chǎng)比賽，所以不存在不公平因素；當(dāng)?shù)谌?duì)與第四隊(duì)比賽時(shí)雙方均已參加五場(chǎng)比賽，所以不存在不公平因素。由此可見此場(chǎng)比賽對(duì)第二、第三、第四隊(duì)的比賽結(jié)果比較有利。當(dāng)時(shí)，1到9隊(duì)比賽時(shí)的相隔場(chǎng)次總數(shù)分別24， 28，27，26，25，24，2

28、3，22，21。由此可知本次比賽對(duì)第二隊(duì)有利。六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)1、賽程的編制能夠推廣到任意數(shù)的情況。2、合理恰當(dāng)?shù)氖褂昧吮砀窈蛨D形，使數(shù)據(jù)的體現(xiàn)和意思的表達(dá)更加清晰。3、用排除-假設(shè)法可以得到一種理想的賽程安排。4、用來檢驗(yàn)結(jié)果是否準(zhǔn)確，便于對(duì)結(jié)果的肯定。5、逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法可以使各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間有至少相隔一場(chǎng)的情況下使賽程盡可能公平。6、逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法所建立的模型實(shí)際操作性強(qiáng) ,方法簡(jiǎn)便 ,當(dāng)參賽隊(duì)數(shù)較多時(shí)，可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)賽程的編制。7、逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法使各輪比賽搭配合適，每輪比賽都有勢(shì)均力敵的比賽，使各輪比賽都保持緊張氛圍。6.2模型的缺點(diǎn)1、排除-假設(shè)法只適用于參賽隊(duì)伍較少的情況下，不具有普遍性。2、由于是單循環(huán)賽, 所以在安排時(shí)不必考慮真實(shí)實(shí)力的差異, 但在實(shí)際中往往不是單循環(huán)賽, 這還有待進(jìn)一步改進(jìn).3、當(dāng)N（7）為級(jí)數(shù)支球隊(duì)時(shí), 未能證明所建立的賽程優(yōu)劣指標(biāo)下由“輪轉(zhuǎn)法”所到的賽程是最優(yōu)的七、模型的推廣在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比賽賽程安排的問題，而且比賽賽程安排的是否公平在一定程度上決定了雙方兩隊(duì)的勝負(fù)。為了解決此類問題，我們采用逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)法來安排賽程。逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法最精彩的、對(duì)決定競(jìng)賽最重要的一場(chǎng)比賽被安排在比賽秩序的最后一輪，而且各輪比賽搭配合適，每輪比賽都