統(tǒng)計.板塊三.莖葉圖.學(xué)生版

1、板塊三莖葉圖8 -知識內(nèi)容一. 隨機(jī)抽樣1隨機(jī)抽樣：滿足每個個體被抽到的機(jī)會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣.抽出辦法：抽簽法：用紙片或小球分另悔號后抽簽的方法. 隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計算器或計算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表表中每一 位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同.隨機(jī)數(shù)表法是對樣本進(jìn)行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的方法. 簡單隨機(jī)抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法.系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若

2、干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所 需要的樣本的抽樣方法.抽出辦法：從元素個數(shù)為 N的總體中抽取容量為 n的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設(shè)k ,n 先對總體進(jìn)行編號，號碼從 1到N，再從數(shù)字1到k中隨機(jī)抽取一個數(shù) s作為起始數(shù)，然后順次抽取第 s k ,s 2k丄，s (n 1)k個數(shù)，這樣就得到容量為 n的樣本如果總體容量不能被樣本容量整除，可 隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣.系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個個體

3、按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛.2簡單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的.簡單隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù) N .簡單隨機(jī)樣本是從總體中逐個抽取的.簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣.簡單隨機(jī)抽樣的每個個體入樣的可能性均為工.N3. 系統(tǒng)抽樣時，當(dāng)總體個數(shù)N恰好是樣本容量n的整數(shù)倍時，取k N;nn整除.因為Nn若N不是整數(shù)時，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體

4、數(shù)能被樣本容量n每個個體被剔除的機(jī)會相等，因而整個抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會仍然相等，為二. 頻率直方圖列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟： 計算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計算它們的差;極差 決定組距與組數(shù)：取組距，用極差 決定組數(shù);組距 決定分點：決定起點，進(jìn)行分組； 列頻率分布直方圖： 對落入各小組的數(shù)據(jù)累計， 繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以頻率 知小長方形的面積=組距 X.=頻率.組距算出各小數(shù)的頻數(shù)， 除以樣本容量，得到各小組的頻率. 頻率頻率的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖，組距頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分布

5、折線圖, 般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點沒有實際意義.總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用 一條光滑曲線y f(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.三. 莖葉圖制作莖葉圖的步驟： 將數(shù)據(jù)分為 莖”、葉”兩部分； 將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線; 將各個數(shù)據(jù)的葉”在分界線的一側(cè)對應(yīng)莖處同行列出.四. 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差. 數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差又叫全

6、距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度； 樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.般地，設(shè)樣本的元素為Xi , X2 , L , Xn樣本的平均數(shù)為X ,定義樣本方差為22(為X)(X22X) L2(XnX)定義/|十本丿J差為sn樣本標(biāo)準(zhǔn)差s(Xi X)2 (X2X)2L XX)2V n簡化公式：s21 2 2(XiX2 Ln2xJ_2 nx .五. 獨立性檢驗1 兩個變量之間的關(guān)系；常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定 性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的當(dāng)一個變量取值一定時，另一個變量

7、的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個 變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.2散點圖：將樣本中的 n個數(shù)據(jù)點(X , y )(i1,2丄，n)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點圖.散點圖形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個變量的關(guān)系.3 .如果當(dāng)一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時，散點圖中的 點在從左下角到右上角的區(qū)域.反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).此時，散點圖中的點在從 左上角到右下角的區(qū)域.散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系.4 .統(tǒng)計假設(shè)：如果事件A與B獨立，這時應(yīng)該有P(AB) P(A)

8、P(B),用字母H。表示此式，即 Ho: P(AB) P(A)P(B)，稱之為統(tǒng)計假設(shè).5. 2 (讀作 卡方”統(tǒng)計量：nt n2 n 小 2統(tǒng)計學(xué)中有一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達(dá)式為2 n(niin22旳)，用它的大小可以用來決定是否 拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè) Ho.如果2的值較大，就拒絕 Ho，即認(rèn)為A與B是有關(guān)的.2統(tǒng)計量的兩個臨界值：3.841、6.635 ;當(dāng)2 3.841時，有95%的把握說事件 A與B有關(guān)；當(dāng)2 6.635 時，有99%的把握說事件 A與B有關(guān)；當(dāng) 2 2.706) 0.10, P( 2 3.841) 0.05 , P( 2 6.635) 0.01 .2 2聯(lián)表的獨立

9、性檢驗：如果對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個情況，這樣排成一張2 2的表，如下：狀態(tài)B狀態(tài)B合計狀態(tài)Annn12n1狀態(tài)An21n22n2n 1n 2n如果有調(diào)查得來的四個數(shù)據(jù)nn ,門仁,n，1 , n?2，并希望根據(jù)這樣的4個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種狀態(tài)A與B是否有關(guān)，就稱之為2 2聯(lián)表的獨立性檢驗.六. 回歸分析1. 回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相 關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這 條直線叫做回歸直線.2. 最小二乘法：記回歸直

10、線方程為： ? a bx，稱為變量Y對變量x的回歸直線方程，其中 a ,b叫做回歸系數(shù).?是為了區(qū)分Y的實際值y，當(dāng)x取值Xi時，變量Y的相應(yīng)觀察值為 y，而直線上對應(yīng)于 Xi的縱坐標(biāo)是 ? a bx .設(shè)x，丫的一組觀察值為 * ,yj , i 1,2 ,L ,n，且回歸直線方程為 y? a bx ,當(dāng)x取值人時，丫的相應(yīng)觀察值為y，差yi ?(i 1 , 2 , L ,n)刻畫了實際觀察值 與回歸直線上相應(yīng)點的 縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差.我們希望這n個離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點.n記Q (yi a bxj2，回歸直線就是所有直線中 Q取最小值的那

11、條.i 1這種使 離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法.用最小二乘法求回歸系數(shù) a, b有如下的公式：nXi yi nxyI?七,0? y bx，其中a , b上方加人”表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù).2 2Xi nxi 13. 線性回歸模型：將用于估計 y值的線性函數(shù)a bx作為確定性函數(shù)；y的實際值與估計值之間的誤差記 為，稱之為隨機(jī)誤差；將 y a bx稱為線性回歸模型.產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： 所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差； 忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較?。?由于測量工具等原因，存在觀測誤差.4. 線性回歸系數(shù)的最佳估計值：利用最小二乘法可以得

12、到的計算公式為n(Xix)(yiy)i 1n2(XiX)i 1x yi nxyyi孚,a? y bX，其中x2 - 2Xin( x)由此得到的直線y?a? bx就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中$分別為a , b的估i i計值，？稱為回歸截距，b稱為回歸系數(shù)，y?稱為回歸值.5 相關(guān)系數(shù):n(Xi x)(yiy)xyii 1nxyn2 2X)(yiy)i 1n2 2n(x) )(yii 1回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程：2Q(y a) bx 2y 2a y2na 2b x y 2ab xna 2a(bxiy)b2x2 2b2Xi yyi ,把上式看成a的二次函數(shù)，a2的系數(shù)n0 ,r , r2

13、(b X因此當(dāng)ayi)yibx，-時取最小值.2nn的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為 的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為回歸分析.同理，把Q的展開式按b的降幕排列，看成 b的二次函數(shù)，當(dāng)b回歸現(xiàn)象”.后來，人們把由一個變量b2X2xy a2Xi時取最小值.2n(y)6. 相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì): |r | 1 ;|r |越接近于1, X ,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng);|r |越接近于0, x , y的線性相關(guān)程度越弱.可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān).7. 轉(zhuǎn)化思想：根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性

14、方程轉(zhuǎn)化為線性回歸 方程，從而確定未知參數(shù).&一些備案回歸（regressio n） 詞的來歷： 回歸這個詞英國統(tǒng)計學(xué)家 Fran cils Galt on提出來的.1889年，他在研 究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并 沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母xyii 1nxyn22Xinxi 1解得：bny bx ,(Xi X)(yiy) c2 ， a(Xi X)其中y yi , x xi是樣本平均數(shù).nn9.對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行相關(guān)性檢驗的步驟： 提出統(tǒng)計假設(shè) H。：變量x , y不

15、具有線性相關(guān)關(guān)系； 如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1 0.95 0.05與n 2 （ n是樣本容量）在相關(guān)性檢驗的臨界值表中查出一個r的臨界值心05 （其中1 0.95 0.05稱為檢驗水平）; 計算樣本相關(guān)系數(shù)r; 作出統(tǒng)計推斷：若|r| r.05，則否定H。，表明有95%的把握認(rèn)為變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若 |r | Da ,則沒有理由拒絕 H。，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變量 y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系. 說明：對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗，一般取檢驗水平0.05，即可靠程度為95% .這里的r指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相

16、關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.這里的r是對抽樣數(shù)據(jù)而言的有時即使|r| 1，兩者也不一定是線性相關(guān)的故在統(tǒng)計分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實際情況進(jìn)行合理解釋.典例分析題型一莖葉圖【例1】（2010豐臺二模）甲、乙兩名運動員的 5次測試成績?nèi)缦聢D所示甲乙7 786 88 6 293 6 7X , X2分別表示甲、乙兩名運動員測試設(shè)si ,s2分別表示甲、乙兩名運動員測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差,成績的平均數(shù)，則有（A XX2 , s,S2x2 ,S2C XX，,SiS2D XX2 , sS2【例2】（2010宣武二模）隨機(jī)抽取某中學(xué)甲，乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：cm）,獲得身高數(shù)據(jù)的莖

17、葉圖如圖，則下列關(guān)于甲，乙兩班這10名同學(xué)身高的結(jié)論正確的是（）A 甲班同學(xué)身高的方差較大B 甲班同學(xué)身高的平均值較大C 甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較大D 甲班同學(xué)身高在175以上的人數(shù)較多甲班乙班2181? 9 1 0Y10 3 6 8 98 3 3 2162 5 8g159【例3】（2010天津高考）中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù),甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖,兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為甲女9 81971013202142411530 2 0【例4】 右圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,甲乙531

18、5368245479326781457則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（）A . 62B . 63C. 64D. 65【例5】 在某五場籃球比賽中，甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖如右下列說法正確的是甲乙21001122348930A 在這五場比賽中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙穩(wěn)定 B 在這五場比賽中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲穩(wěn)定 C 在這五場比賽中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲穩(wěn)定 D 在這五場比賽中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙穩(wěn)定【例6】（2009年福建12）作品A89923x214某校開展愛我海西、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委為參賽作 品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員在去掉一個最高分和一 個最低分后，算得平均分為 91,復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有一個 數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清.若記分員計算無誤， 則數(shù)字x應(yīng)該是【例7】（2010東城一模）在一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考后，某班隨