彈性力學(xué)基本概念和考點(diǎn)

1、第八早基本概念:(1) 面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負(fù)號規(guī)定(2) 切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的(大小相等，正負(fù)號也相同)。(3) 彈性力學(xué)的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。(4) 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時(shí)，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時(shí)，z 0, zx 0, zy 0，由切應(yīng)力互等，z 0, xz 0, yz 0，這樣只剩下平行于xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即x, y, xy yx，所以這種問題稱為平面應(yīng)力冋題。設(shè)有很長的柱形

2、體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長度變化，由對稱性可知，zx 0, zy 0，根據(jù)切應(yīng)力互等，xz 0, yz 0。由胡克定律，zx 0, zy 0，又由于Z方向的位移W處處為零，即z 0。因此, 只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)變分量，即x, y, xy，所以這種問題習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。(5) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；過一個(gè)點(diǎn)所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（6）圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相 同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改

3、變，但是遠(yuǎn)處所受到的影響可以忽略不計(jì)。（7）軸對稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通 過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。 這種問題稱為空間軸 對稱冋題。一、平衡微分方程：（1）平面問題的平衡微分方程；xxyx fx 0 y（記）xyxy fy 0y（2）平面問題的平衡微分方程（極坐標(biāo)）；f 011、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當(dāng)應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是平衡的2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。頁腳內(nèi)容8幾何方程;(1) 平面問題的幾何方程;（記）xy(2) 平面問題的幾

4、何方程(極坐標(biāo))u12u 1 V12v u V1 2 1、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。(剛體位移)2、當(dāng)位移完全確定時(shí)，應(yīng)變也確定；反之，當(dāng)應(yīng)變完全確定時(shí)，位移并不能確定。物理方程;（1）平面應(yīng)力的物理方程;丄xEx （記）1 yE2xyxy平面應(yīng)變的物理方程;xyxy（3）極坐標(biāo)的物理方程（平面應(yīng)力）)2(1 )E（4）極坐標(biāo)的物理方程（平面應(yīng)變）；2(1四、邊界條件;（1）幾何邊界條件；u s us亠平面問題：S _在 Su 上;V s V V（2）應(yīng)力邊界條件；平面問題：1 x m yx sf xs -(記)1 xym y sf y(3) 接觸條件;光滑接觸：n n n為接觸面的

5、法線方向非光滑接觸：nn n為接觸面的法線方向UnUn(4)位移單值條件；(5) 對稱性條件:在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸(通 過該軸的任一平面都是對稱面)，則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。 這種問題稱為空間軸 對稱冋題。、概念1彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。2固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力 學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)

6、和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為 廣泛5彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)法 .6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；7彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9.物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分 量卻不能完全確定。12邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式

7、。它可以分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13. 圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變， 而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì) 。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主失量和主矩都等于 零），那么，這個(gè)面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶?都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。第六章16彈性力

8、學(xué)的基本原理：解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。會推導(dǎo)兩種平衡微分方程17逆解法步驟：(1先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù)(2)由式(2-24),根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(3)在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15或次要邊界上的積分邊界條件，分析這些應(yīng)力 分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問 題。(或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)18半逆解法步驟：(1對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力 特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)

9、論，假設(shè)部分 或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式(2)按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式(含待定函數(shù)項(xiàng))；(3)將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形式；(4) 將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24),由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(5) 根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全(x1xym)s f x( S)5平面問題的應(yīng)力邊界條件為ym)s fy(S)填空頁腳內(nèi)容9第八早h/2h/2-計(jì)h/2 (x ) xidy 1h/2fx(y)dy 1算h/2h/2-7.圣維南原理的三個(gè)積分式/2 （x ) xi ydy 1h/2 fx(y)ydy 1理h/2h/2h

10、/2 (xy ) xidy 1fy(y)dy 1h/2 y h/2h/2( x)x idy 1FnMFsh/2h”（ x）x i ydy 1 如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個(gè)積分邊界條件變?yōu)閔/2h/2（ xy）x idy 1x8.艾里應(yīng)力函數(shù)2 (x，y) f x21 xfyy2(x，y) f y2yxyx2 (x, y)x y計(jì)算頁腳內(nèi)容14、單項(xiàng)選擇題（按題意將正確答案的編號填在括弧中，每小題2分，共10 分）1、彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（C ）求解這些微分方程，以求得具體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A相容方程B 近似方法C.邊界條件D.附加假定2、根據(jù)圣

11、維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（B ） 的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。A. 幾何上等效B.靜力上等效C.平衡D.任意3、彈性力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本 方程不完全相同，其比較關(guān)系為（B ）0A. 平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D. 平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體 V的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微 分體dV的平，結(jié)果比較精確。4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為4木4木4木c

12、422240，x x y y236、設(shè)有函數(shù)qx4y3 3y 14h3h23qyyy2匚35hh(1)判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？(3分)(2) 選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時(shí)，考察其在圖中所示的矩形板和坐標(biāo)系(見題九圖)中能解決什么問題(I h)。( 15分)解:4不4不o,顯然滿足。因此，該函數(shù)(1)將代入相容方程育2-x x y可以作為應(yīng)力函數(shù)。Oh/2h/2(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式:26qx2y如3qyxy2h3h33h2q4y33y1y2 x2h3h26qxh22yxyxyh34考察邊界條件：在主要邊界y= h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件34y3y4y3V3yy h226qx hxy在次要邊

13、界X= 0上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/20dy：警幫dy。（奇函數(shù)）h/2h/2ydyh/2h/24qy3h3型ydy3hh/2h/2xy0dy在次要邊界X= l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2xxldyh/2h/26ql2y奇4qy3肓3qy dy 0（奇函數(shù)）3hh/2xxiydyh/26ql2y4qy33qyqlh/2h/2h3ydy3h2h/2h/2xyxidyh/2h/26ql hl h3 42yql對于如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板 內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知， 左

14、邊、下邊無面 力；而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為 一力偶和鉛直面力。所以，能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。第六章2009 2010學(xué)年第 二 學(xué)期期末考試試卷（A ）卷一. 名詞解釋（共10分，每小題5分）1.彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的 應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2.圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但 靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。應(yīng)力符號的規(guī)定為： 正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。4.彈性力

15、學(xué)中，正面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸正向 的面，負(fù)面是指 外法向方向 沿坐標(biāo)軸負(fù)向 的面。1. （8分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體?兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量 存在，且僅為x,y的函數(shù)平面應(yīng)變問題：所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量x, y, xy存第六早在，且僅為x,y的函數(shù)。2.

16、 （ 8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡化為按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：40（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，s s）:1 x m yx s fx一 在s s上m y 1 xy s f y（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。二. 問答題（36）1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚 1）頁腳內(nèi)容16圖5-1解：在主要邊界y h 2上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:qx l， yx y h2 0 ；y y h2 0， yx y h2第八早在次要邊界x 0上，應(yīng)用圣維南

17、原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚 1時(shí),x xodyx x o ydyh2M， h 2 xy x ody在次要邊界x l上，有位移邊界條件:u x I 0， v x I 0。這兩個(gè)位移邊頁腳內(nèi)容20界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替:x x odyF nqilx x o ydyFslql 2 qlh62h 2h 2 xy x 0dyqi22. （ 10分）試考察應(yīng)力函數(shù)cxy3，c 0,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次 要邊界上表示出面力的主矢和主矩。解：（1）相容條件：將44cxy3代入相容方程 一222x x y然滿足(

18、2)應(yīng)力分量表達(dá)式:22 6cxy, y 0 , xy 3cy y(3)邊界條件：在主要邊界y上，即上下邊，面力為 yyh2 3chx ,xy y h 2在次要邊界X 0,x l上，面力的主失和主矩為h 2h 2h 2h2h 2h 2odyoydyxydy3cy2dy-h3h24h2 h 2h 2h 2h 2h 2idyi ydyxyodyh 26clydy 0 h 2h 22h26cly dyh 223cy dyh 2clh32ch34彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界x 0,xl上面力的主失量和主矩如解圖所示。3.( 14分)設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5-

19、3所示，試求應(yīng)力分量。(提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧?力學(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面 豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量x 0)圖5-3解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量x 0，(1) 假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。x 0(2) 推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為fx 0, fy g。將22x 0代入應(yīng)力公式 x 有x 0對x積分，得 f x，yyy(a)(b)yf x x o其中f x ， f1 x都是x的待定函數(shù)。(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式(b)代

20、入相容方程4 0，得d4f xdx4d4 fi xdx4這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根(全部豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足)，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。心二0，dxd4 f1 xdx0，兩個(gè)方程要求(c)f x Ax3 Bx2 Cx， f1 x Dx3 Ex2f x中的常數(shù)項(xiàng)，fl x中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)(d)A 3232y Ax Bx Cx Dx Ex(4) 由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。2x2yxfx0，(e)2y2yfy 6Axyx2By6Dx2Egy，23Ax2xyx y2BxC .(g)(5) 考察邊界

21、條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊x b2的主要邊界條件:xy x b 20， xyxb2 q。A-A- 第八早將應(yīng)力分量式（e）和（g）代入，這些邊界條件要求:b2 0，自然滿足;xy x b2 4卅 Bb C(h)xy x b 23 Ab2 Bb4(i)由（h） （i） 得(j)考察次要邊界y0的邊界條件，應(yīng)用圣維南原理,三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為y dxy 0b 26Dxb 22Edx 2Eb 0 ；y xdxy 0b 26Dxb 22E xdxDb32b2b 2xy dxy 03 Ax2C dxAb34bC(k)由（h）（j）（ k）將所得AB、CD、E代入式(e)（f） （

22、 g）得應(yīng)力分量為:y6brxy ”b bgy，xy填空題（每個(gè)1 分，共 10X 1= 10 分）。1彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部,考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理頁腳內(nèi)容24第六章學(xué)方面建立三套方程，即方程、方程以及方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即邊界條件和邊界條件。2. 彈性力學(xué)基本假定包括假定、假定、假定、假定和假定。1平衡微分 幾何物理應(yīng)力位移2 連續(xù) 均勻 各向同性 完全彈性 小變形一、單項(xiàng)選擇題（每個(gè)2分，共5X2=10分）。1. 關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識是 A_。A. 彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的作用日益重要。B. 彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，

23、 不需要對問題作假設(shè)。C. 任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對象。D. 彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu) 分析。2. 所謂 完全彈性體”是指B。A. 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無關(guān)。C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系第八早D. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。3. 所謂應(yīng)力狀態(tài)”是指_B。A. 斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。B. 一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。C. 3個(gè)主應(yīng)力作用平面相互垂直。D. 不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的4. 彈性力學(xué)的基本未知量沒有 C。A. 應(yīng)變分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 應(yīng)力分量。5. 下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是 DA. 邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。B. 等效力系替換將不影響彈性體的變形C. 圣維