2019-2020學(xué)年高中北師大版數(shù)學(xué)選修2-3學(xué)案：2.2超幾何分布 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 1 - / 9 2超幾何分布超幾何分布 qerror!error! 投擲一顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)記為，則可取哪些數(shù)字？取各個(gè)數(shù)字的概率分別是多少？可否用 列表法表示的取值與其概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系?投擲兩顆骰子，將其點(diǎn)數(shù)之和記為,則可能的取值有哪 些,你能列出表示取各值的概率與取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？ xerror!error! 1超幾何分布列 一般地,在含有m件次品的n件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有x件次品，則事件xk發(fā)生的 概率為p（xk)_error!error!_,k0，1，2,，m,其中mminm,n，且 nn，mn，n、m、nn n*，稱分布列 x01m perror!e

2、rror!error!error! 為_超幾何分布列_. 如果隨機(jī)變量x的分布列為超幾何分布列,則稱隨機(jī)變量x服從_超幾何分布_. 2公式p(xk)error!error!的推導(dǎo) 由于事件xk表示從含有m件次品的n件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有k件次品這一隨機(jī)事件， 因此它的基本事件為從n件產(chǎn)品中任取n件由于任一個(gè)基本事件是等可能出現(xiàn)的，并且它有_c _個(gè)基本事件，而其中恰有k件次品，則必有（nk)件正品，因此事件xk中含有 n n _ccerror!error!_個(gè)基本事件，由古典概型的概率公式可知p(xk）. yerror!error! 1在 15 個(gè)村莊中，有 7 個(gè)村莊交通不方便，若用隨

3、機(jī)變量x表示任選 10 個(gè)村莊中交通不方便 的村莊的個(gè)數(shù)，則x服從超幾何分布，其參數(shù)為（a） an15,m7，n10bn15,m10,n7 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 2 - / 9 cn22，m10，n7 dn22,m7,n10 解析根據(jù)超幾何分布概率模型知 2設(shè)袋中有 80 個(gè)紅球,20 個(gè)白球，若從袋中任取 10 個(gè)球，則其中恰有 6 個(gè)紅球的概率為（ d) aerror!error!b cerror!error!derror!error! 解析若隨機(jī)變量x表示任取 10 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則x服從參數(shù)為 n100，m80，n10 的超幾何分布取到 10 個(gè)球中恰有 6 個(gè)紅球，即x

4、6，p（x6) error!error!(注意袋中球的個(gè)數(shù)為 8020100） 3已知某批產(chǎn)品共 100 件，其中二等品有 20 件從中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件產(chǎn)品 中二等品的件數(shù),試填寫下列關(guān)于的分布列： k 012 p（k) _error!error!_error!error!_ _ 解析的可能取值為 0,1,2，服從參數(shù)為n100，m20，n2 的超幾何分布,則 p（0）error!error!，p(1）error!error!，p(2）error!error!. 19 495 4袋中有 6 個(gè)紅球、4 個(gè)白球，從袋中任取 4 個(gè)球，則至少有 2 個(gè)白球的概率是_error!

5、error!_. 解析設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為離散型隨機(jī)變量x，則x的所有可能取值為 0、1、2、3、4,則 p（x2）p(x2）p(x3）p（x4)error!error!error!error!。故至少有 2 23 42 個(gè)白球的概率為error!error!。 h 命題方向 1求超幾何分布的分布列 典例 1在一次購物活動(dòng)中，假設(shè)某 10 張券中有一等獎(jiǎng)券 1 張，可獲價(jià)值 50 元的獎(jiǎng) 品；有二等獎(jiǎng)券 3 張，每張可獲價(jià)值 10 元的獎(jiǎng)品；其余 6 張沒有獎(jiǎng)，某顧客從此 10 張中任取 2 張， 求： （1）該顧客中獎(jiǎng)的概率； 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 3 - / 9 (2）該顧客獲得的

6、獎(jiǎng)品總價(jià)值x（元)的概率分布列 思路分析解答本題可先利用對(duì)立事件求出顧客中獎(jiǎng)的概率,再分析x的所有可能取值，明確 x取各個(gè)值的事件，利用組合及公式p進(jìn)行計(jì)算求解 解析（1）p1error!error!1error!error!， 即顧客中獎(jiǎng)的概率為 . 2 3 （2）x的所有可能值為 0,10,20,50,60. p（x0) ， 1 3 p(x10)error!error! ， 2 5 p（x20）error!error!， p（x50）error!error!， p(x60)error!error!error!error!，故x的分布列為： x010205060 p errerr or!or

7、! erroerro r!r! 規(guī)律總結(jié)本題以超幾何分布為背景，主要考查了概率的計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的分布列 的求法及解決實(shí)際問題的能力 跟蹤練習(xí) 1 某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有 6 名男生、4 名女生,從中選出 4 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考 試,用x表示其中的男生人數(shù)，求x的分布列 解析依題意隨機(jī)變量x服從超幾何分布， 所以p（xk）error!error!(k0、1、2、3、4) p(x0）error!error!error!error!, p(x1）error!error!error!error!， p(x2）error!error!error!error!， p(x3)， c3 6

8、c 4 c4，10） 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 4 - / 9 p（x4)error!error!, x的分布列為: x01234 p erroerro r!r! erroerro r!r! 命題方向 2超幾何分布的應(yīng)用 典例 2某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了該校 100 名學(xué)生在放假期間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)（簡稱活動(dòng))的情 況：有 20 人參加 1 次活動(dòng)，有 50 人參加 2 次活動(dòng)，有 30 人參加 3 次活動(dòng) （1）從這些學(xué)生中任選兩名，求恰好有一名參加 1 次活動(dòng)的概率； (2）從這些學(xué)生中任選兩名,用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布 列 解析(1)由題意知若設(shè)x為任選兩名學(xué)生中

9、參加 1 次活動(dòng)的人數(shù)，則x服從參數(shù)為 n100，m20，n2 的超幾何分布，故p(x1）error!error!。 (2）的可能取值為 0、1、2。 從這些學(xué)生中任選兩名,記“這兩人中一人參加 1 次活動(dòng)，另一人參加 2 次活動(dòng)”為事件a， “這 兩人中一人參加 2 次活動(dòng)，另一人參加 3 次活動(dòng)為事件b， “這兩人中一人參加 1 次活動(dòng)，另一人 參加 3 次活動(dòng)”為事件c,易知p( 1）p（a）p（b）error!error!，p（2） p（c)error!error!error!error!，p(0)1p(1）p（2）. 所以隨機(jī)變量的分布列為 k 012 p（k） 跟蹤練習(xí) 2 盒中共

10、有 9 個(gè)球，其中有 4 個(gè)紅球,3 個(gè)黃球和 2 個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同 (1)從盒中一次隨機(jī)取出 2 個(gè)球，求取出的 2 個(gè)球顏色相同的概率p; （2)從盒中一次隨機(jī)抽出 4 個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為x1、x2、x3,隨機(jī)變量x表 示x1、x2、x3的最大數(shù)，求x的概率分布 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 5 - / 9 解析(1）一次取 2 個(gè)球共有 c36 種可能情況，2 個(gè)球顏色相同共有 cerror!error!cerror!error!c10 種可能情況， 2，2 取出的 2 個(gè)球顏色相同的概率perror!error!。 10 36 （2)x的所有可能取值

11、為 4、3、2,則p(x4）error!error!,p(x3)error!error!, c 3）cc 于是p(x2)1p（x3)p（x4）， x的概率分布列為 x234 p errorerror ! ! x 離散型隨機(jī)變量的分布列的求法 學(xué)科核心素養(yǎng)）， 求離散型隨機(jī)變量的分布列，明確離散型隨機(jī)變量所取的每個(gè)值表示的意義是關(guān)鍵,其一般步驟 是： (1)明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義; （2）利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率； （3)按規(guī)范形式寫出其分布列 典例 3在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè) 10 張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券 1 張，可獲價(jià)值 50 元

12、的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券 3 張，每張可獲價(jià)值 10 元的獎(jiǎng)品，其余 6 張沒有獎(jiǎng)品 （1)顧客甲從 10 張獎(jiǎng)券中任意抽取 1 張，求中獎(jiǎng)次數(shù)x的分布列； (2）顧客乙從 10 張獎(jiǎng)券中任意抽取 2 張； 求顧客乙中獎(jiǎng)的概率； 設(shè)顧客乙獲得獎(jiǎng)品總價(jià)值為y元，求y的分布列 解析(1）抽取一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故x的取值只有 0 和 1 兩種情況 p（x1）error!error! ， 2 5 則p（x0)1p（x1)1error!error!error!error!. 因此x的分布列為： 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 6 - / 9 x01 p (2）顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類事件：所

13、抽取的 2 張獎(jiǎng)券中有 1 張中獎(jiǎng)或 2 張都中獎(jiǎng) 故所求概率perror!error!. 30 45 y的所有可能取值為：0，10，20，50,60,且 p(y0) ； 1 3 p(y10)error!error!； c1 3c 6 c2，10） p(y20）； c2 3c0，6，c 10 ） 3 45 p（y50)error!error!error!error!error!error!； p（y60）error!error!。 因此隨機(jī)變量y的分布列為： y010205060 p 1 3 2 5 erroerro r!r! erroerro r!r! 規(guī)律總結(jié)求超幾何分布的分布列的步驟 (

14、1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)n,m，n的值； (2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率; (3)用表格的形式列出分布列 跟蹤練習(xí) 3 從 4 名男生和 2 名女生中任選 3 人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量x表示所選 3 人中女生的人數(shù) (1)求x的分布列； (2）求“所選 3 人中女生人數(shù)x1的概率 解析（1）x可能取的值為 0,1，2，服從超幾何分布， p（xk）error!error!，k0,1,2。 所以x的分布列為： 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 7 - / 9 x012 p errerr or!or! errerr or!or! (2)由(1）知

15、“所選 3 人中女生人數(shù)x1”的概率為 p（x1)p(x0)p(x1)error!error!。 y ） 典例 4在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有 10 個(gè)紅球和 20 個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出 5 個(gè)球，至少摸到 3 個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概 率 誤解摸到的紅球個(gè)數(shù)x服從參數(shù)為n30,m5，n10 的超幾何分布，p(xk) error!error!（k0，1，2,3,4,5)，至少摸到 3 個(gè)紅球的概率為p(x3)error!error!error!error!。 正解摸到的紅球個(gè)數(shù)x服從參數(shù)為n30，m10,n5 的超幾何分布，它的可能取值為 0，

16、1，2，3,4,5.則至少摸到 3 個(gè)紅球概率為p（x3）p（x3)p(x4）p（x5) error!error!error!error!error!error!0.191. 規(guī)律總結(jié)錯(cuò)解中混淆了m與n的取值，在本題中m指紅球個(gè)數(shù)，應(yīng)為 10,n指任意取出 的球的個(gè)數(shù),應(yīng)為 5. 跟蹤練習(xí) 4 盒中裝有一打（12 個(gè))乒乓球，其中 9 個(gè)新的，3 個(gè)舊的，從盒中任取 3 個(gè)來用，用完后裝回盒 中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)變量，求x的概率分布 解析由題意，盒中共有 12 個(gè)球，9 個(gè)新球，3 個(gè)舊球，任取 3 個(gè)用后放回盒中，此時(shí)盒 中舊球的個(gè)數(shù)x的可能取值為 3、4、5、6. p(x3）e

17、rror!error!; p（x4）error!error!; p(x5）error!error!； p（x6)error!error!error!error!. 所以x的概率分布表如下： x3456 祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績 - 8 - / 9 p errorerror ! ! kerror!error! 1一個(gè)袋中有 6 個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為 1，2，3,4,5，6，還有 4 個(gè)同樣大小的白球，編號(hào) 為 7,8,9，10.現(xiàn)從中任取 4 個(gè)球，有如下幾種變量： x表示取出的球的最大號(hào)碼；y表示取出的球的最小號(hào)碼;取出一個(gè)黑球記 2 分，取出一 個(gè)白球記 1 分,表示取出的 4 個(gè)球的

18、總得分；表示取出的黑球個(gè)數(shù) 這四種變量中服從超幾何分布的是（b） ab c d 解析依據(jù)超幾何分布的數(shù)學(xué)模型及計(jì)算公式，或用排除法 2一個(gè)盒子里裝有大小相同的紅球、白球共 30 個(gè)，其中白球 4 個(gè)從中任取兩個(gè),則概率為 的事件是(b) c 26c1，4c2 4，c2，30） a沒有白球 b至少有一個(gè)白球 c至少有一個(gè)紅球 d至多有一個(gè)白球 解析error!error!error!error!表示任取的兩個(gè)球中只有一個(gè)白球和兩個(gè)都是白球的概率， c 4 ，c 230） 即至少有一個(gè)白球的概率 3袋中有 10 個(gè)球，其中 7 個(gè)是紅球，3 個(gè)是白球，任意取出 3 個(gè),這 3 個(gè)都是紅球的概率是（ b) aerro