第26講赫茲接觸問題

1、10.5 赫茲接觸問題學習思路 :1881 年, 赫茲（ hertz,H.R ）首先研究了彈性球體的接觸問題。本節(jié)以彈 性球體的接觸介紹接觸問題的基本概念。由于球體的接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此，彈性球體的接觸問題 可以以半無限平面分布載荷解為基礎， 分析接觸區(qū)域的局部變形。 這里的問題是 球體接觸壓力是未知函數(shù)，因此必須首先根據(jù)球體的變形確定未知接觸壓力。赫茲認為接觸區(qū)域（半徑為 a 的圓）的壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標 成正比。根據(jù)這一假設和球體變形分析， 可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域。進一步的討論可以確定球體的接觸應力和變形。學習要點：1. 彈性球體變形分析 ；2. 球體接觸壓

2、力分析 。設彈性球體的半徑分別為 A1和 A2，變形前兩球體在 O 點接觸（相切）。兩 個球體在其中心均受集中力 F 的作用，變形后球體 在半徑為 a 的圓形區(qū)域接觸。 接觸區(qū)域內(nèi)任意一點與中心的距離為 ，并且球體在 的沉陷分別為 1， 2 ，則由于接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此 遠小球體的半徑 A1 和 A2, 因 此可以采用半無限平面解答分析接觸局部變形。對于兩球體距離接觸面足夠遠的任意兩點 A1 和 A2, 由于相互壓縮而相互 接近的距離為 ，相對位移分別為 w1 和 w2，則如果將球體接觸面看作彈性半無限體作用圓形區(qū)域分布載荷問題， A1和A2為球體接觸面上的點，則位移為其中, E1

3、， 1 和 E2， 2 分別為球體 R1，R2的彈性模量和泊松比。則應該注意的是 ,這里接觸壓力 q 是未知函數(shù)，因此，首先必須確定圓形區(qū)域的接觸分布載荷。 赫茲認為接觸區(qū)域的接觸壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標成正比。 根據(jù)這一假設和球體變形 分析，可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域，有sin 為接觸區(qū)域內(nèi)部任意一其中 qmax 為接觸區(qū)域中心的壓力， 點與接觸區(qū)域中心的距離。 如圖所示 ，因為 s長度 mn為。s長度 mn中點的壓力為 q( )，所以因此，回代可得因 此圓形接觸區(qū)域的半徑為最大接觸壓力為如果 E1=E2=E， 1= 2=0.3 ，圓形接觸區(qū)域的半徑為球體接觸為根據(jù)上述分析，也可

4、以進一步求解球體的接觸應力分布 10.6 彈性力學熱應力問題學習思路 :彈性體由于環(huán)境溫度的變化而導致膨脹和收縮，并且伴隨產(chǎn)生應力，這 種由于溫度改變出現(xiàn)的應力稱為溫度應力， 或者熱應力。 對于某些在溫度變化環(huán) 境下工作的工程結構，熱應力是不容忽視的。本節(jié)將通過簡例扼要說明熱應力的彈性力學分析方法。對于熱應力問題，平衡微分方程和幾何方程是相同的，不同的是物理方 程。通過受熱厚壁管道和壩體熱應力分析，介紹熱應力問題分析和求解的基 本方法。學習要點：1. 熱應力的彈性力學分析方法 ；2. 受熱厚壁管道 ；3. 熱彈性勢函數(shù)和管道熱應力 ；4. 楔形體壩體 ；5. 壩體熱應力 對于各向同性彈性體，

5、在均勻溫度下受熱將發(fā)生膨脹， 如果變形前的三個坐標方 向尺寸相同，均為 l，變形后各個方向的伸長均為 l， 稱為線膨脹系數(shù)。如果溫 度變化為 T，則各個坐標方向的線應變?yōu)槿绻麖椥泽w所處的環(huán)境溫度是隨著時間和空間變化的，稱為溫度場。在直角坐標系，溫度場是時間和坐標的函數(shù)，有 T= T （x，y，z，t）。如果溫度場不隨時間變化（ ），稱為定常溫度場，即熱源強度 W=0。否則均為非定 常溫度場。溫度場是一種數(shù)量場。熱量的傳遞引起溫度的變化，也就是溫度梯度的變化。如果單位時間、 單位面積上傳遞的熱量定義為熱流密度， 顯然熱流密度與溫度梯度成正比， 方向 相反。這一規(guī)律稱為傅立葉定律。以下給出平面熱應

6、力問題的基本方程。對于熱應力問題，平衡微分方程 和幾何方程是相同的，不同的是物理方程。平面應力問題，本構方程為平面應變問題，本構關系為面給出受熱管道和壩體的熱應力分析結果對于受熱厚壁管道，設管道的內(nèi)徑為 a，外徑為 b。管道內(nèi)溫度增量為 Ta，管道 外溫度增量為 0，管道內(nèi)無熱源時管道內(nèi)熱應力為 0。由于管道為定常溫度場， 根據(jù)熱傳導方程可以得到作為軸對稱溫度場，有 。積分可得根據(jù)邊界條件 ?？梢缘玫健t對于軸對稱問題，。有平衡微分方程為幾何方程本構方程將上述應力分量代入平衡微分方程，有引入熱彈性勢函數(shù) ( )，使得。注意到將 ( )代入平衡微分方程，可得求解可得其中注意到上述應力分量在邊界

7、= a 和 = b分別等于常數(shù) q1和 q2，這與 命題邊界條件不符。 對這一問題， 可以借助平面軸對稱問題的解， 疊加可以得到 管道熱應力對于頂角為 2 的楔形體壩體，壩體內(nèi)部的熱應力是一個重要的工程實際問題。 這個問題比較復雜， 引起溫度變化的原因也是多方面的。 這里僅討論楔形體壩體 中心線的溫度變化為 T0，壩體兩側面溫度變化為零的情況。 設壩體內(nèi)部的溫度變 化為壩體問題屬于平面應變問題，但是為了使得問題簡化，先按照平面應力問題分析。對于彈性力學平面應力問題的位移解法，熱彈性勢函數(shù) 滿足取熱彈性勢函數(shù)，代入上式，可得回代可得根據(jù)上述熱彈性勢函數(shù)，可以得到應力分量的特解上述應力分量特解在邊

8、界的值為為了消除與原命題不符的上述應力場，類似地疊加一個相反的應力場 為此考慮應力函數(shù)因為 為雙調(diào)和函數(shù)，所以根據(jù)平面問題的極坐標解，可以求解應力場 ，疊加可以 得到楔形體壩體的熱應力計算公式根據(jù)上述應力表達式，最大拉應力在壩體邊界，有 10.7 彈性波初等理論學習思路 :變形物體受突加載荷作用后，將產(chǎn)生變形。這種變形和與之伴隨而生的 應力并不能立即傳遞到物體的其它部分。 在開始時刻， 物體的變形僅僅在加載區(qū) 域的臨近區(qū)域產(chǎn)生， 而這個鄰域以外的部分則仍處于未擾動狀態(tài)。 其后，物體的 變形和應力便以波的形式向遠處傳播。由于載荷作用時間與波的傳播過程相比要短的多，因此，物體運動方式 主要表現(xiàn)為波

9、的傳播。根據(jù)介質(zhì)的物理性質(zhì)，邊界條件和載荷的作用方式，波的傳播過程將呈 現(xiàn)各種不同的特性。本節(jié)主要介紹彈性波的基本理論，主要介紹概念為：1. 討論彈性波和波動方程。 這個問題通過半無限長彈性桿件說明， 因此 不存在波的反射問題的；2. 根據(jù)波動方程分析質(zhì)點的運動速度與瞬時應力的關系；3. 討論彈性波的相向運動。 由于有限長桿件的彈性波問題必然存在波的 反射；4. 介紹部分常見彈性應力波。彈性波問題是一個相當復雜的問題。根據(jù)擾動源、介質(zhì)性質(zhì)和物體形態(tài) 的不同， 將使得問題出現(xiàn)各種復雜， 但是有趣的現(xiàn)象。 此外還有其它形式傳播的 彈性波，非彈性波。 這些彈性波問題對應一定的工程技術應用問題。 本節(jié)

10、介紹的 僅僅是彈性波理論的初等理論。學習要點：1. 彈性應力波及波動方程 ；2. 質(zhì)點的運動速度與瞬時應力 ；3. 應力波的相向運動 ；4. 膨脹波與畸變波 。首先以半無限長彈性細桿為例研究彈性應力波在桿內(nèi)向遠處傳播的規(guī)律。 設材料 的彈性模量為 E，密度為 。設桿件所受載荷比較小， 使得桿端應力 sd， sd 為材料的動屈服極限。 同時設載荷為壓力， 則桿件傳播的是彈性壓縮波。 因此設壓縮應力為正， 則運動 方程（波動方程）為是一個與應力大小無關的常數(shù)，為桿件中彈性縱波的波速。對 于金屬材料而言， 其數(shù)量級為每秒幾千米 （彈性橫波的波速一般是縱波的一半）般材料的 C0 值可以查表得到。應該指

11、出，波的傳播速度 u 和在波傳播中材料質(zhì)點的運動速度 v 是兩個 不同的物理量， 不能相互混淆。 材料的質(zhì)點受到擾動后， 只能在平衡位置附近運 動，其運動速度稱為質(zhì)點的速度 v。而質(zhì)點將所受到的干擾相繼傳播到相鄰質(zhì)點 的速度，稱為波的傳播速度 u。對于波動方程這個二階微分方程可以改寫作與之等價的一階偏微分方程組，如果令 ，則 ，所以 。波動方程可以寫作上述方程寫作矩陣形式，有進一步分析可以看到， 質(zhì)點的運動速度與瞬時應力 成正比，它比較波速要小的 多，并且可以根據(jù)波動方程直接求解得到。 實際上， 對于現(xiàn)在討論的半無限長彈 性細桿在端部受動力作用，而且沒有反向波，則波動方程的解可以簡化為因此，可

12、以得到上式根據(jù)本構方程和幾何方程得到的應力 是拉伸為正，而彈性波問題中 規(guī)定壓應力為正，所以應力相差一個符號， 考慮這一因素，比較 和 v的表達式， 可以得到或者 C0v=Z s。 上述分析中規(guī)定壓應力為正，常數(shù) Zs= C0。 上述公式表明：1. 質(zhì)點的運動速度 v 與瞬時應力 成正比，比例常數(shù) Zs= C0 稱為聲阻 抗率，其單位為 Pas/m。2. 如果桿件端部受到壓力， 則波的傳播方向 u 與質(zhì)點的運動速度 v 方向 和應力方向 一致。反之，如果桿件端部受到拉力作用，則波的傳播方向與質(zhì)點 的運動 v 速度方向和應力 方向相反。3. 可以解釋或者推導為： 在 t 時刻，假設桿件端部的應力

13、是不變的，因而桿件的受壓縮長度為 ，在 x 的桿件內(nèi)，沒有受到擾動。在擾動段內(nèi)，。因此，桿件端部的總位移為 。在這個時間內(nèi)，桿件端部的位移同時應該為 vt，令二者相等，則可以得到質(zhì)點的運動速度 v 與瞬時應力 的關系。對于有限長桿件， 干擾作用的彈性應力波將在桿件端部產(chǎn)生反射， 因此需要考慮 兩個相向運動的應力波的作用。假如兩個相向運動的應力波的應力分別為 1 和 2，符號相同。由于彈性 波的控制方程是線性的， 所以當兩個波相遇時， 其重疊部分的應力和速度可以使 用疊加法計算。但是應該注意，這里是代數(shù)值疊加，應該注意符號。對于相同符號的應力波相遇之后，在波形重合部分的應力為兩應力波應 力之和，

14、符號不變，而速度則為二者之差，符號與二者中絕對值最大的相同。兩 彈性波分離后，則各自按照原來的波形傳播。如果兩個相向運動的應力波應力符號相反，則兩波相遇之后，其波形重 合部分的應力為兩應力波應力之差， 符號與二者中絕對值最大的相同， 而速度則 為二者之和。兩彈性波分離后，仍然各自按照原來的波形傳播。顯然，如果兩個應力值相等，波的長度相同，但應力符號相同的波相遇之后，應力加倍，而質(zhì)點速度相互抵消。即波重疊部分的應力加倍，而質(zhì)點速度 變?yōu)榱恪６鴥蓚€應力值相等，波的長度相同，但應力符號相反的波相遇之后，應 力相互抵消，即其重疊部分的應力變?yōu)榱?，而質(zhì)點速度加倍。對于有限長桿件的任意 B 截面， 如果同

15、號應力波在截面相遇， 則應力加 倍，而速度為零， 這個現(xiàn)象相當于有限長桿件的固定端。 而對于異號應力波在截 面相遇，則 B 截面應力為零，而速度加倍為零，這相當于有限長桿件的自由端。因此，對于有限長桿件，當波由擾動端向遠端傳播時，必然發(fā)生波的反 射，生成反射波。這個反射波相當于從遠端傳來的相向運動的波。根據(jù)上述分析可以得到：1. 波由固定端反射后，應力增加至入射波的兩倍，質(zhì)點速度減小為零， 波的性質(zhì)不變（即拉伸波仍為拉伸波，壓縮波仍為壓縮波）。2. 波由自由端反射后，應力減少為零，質(zhì)點速度增加至入射波質(zhì)點速度 的兩倍，波的性質(zhì)改變（即拉伸波變?yōu)閴嚎s波，壓縮波變?yōu)槔觳ǎ?。在彈性介質(zhì)中傳播的應力波的研究無疑屬于空間問題， 根據(jù)介質(zhì)的性