04-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3-卷積、相關(guān)、傅里葉級數(shù)

1、0-3 卷積卷積 convolution 二、定義二、定義 若f(x)與h(x)有界且可積, 定義 dxhf xhxfxg ) () ( )()()( *: 卷積符號 g(x)是f(x)與h(x)兩個(gè)函數(shù)共同作用的結(jié)果.對于給定的x,第 一個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是f(),則第二個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是h(x- ).需要對任 何可能的求和. ddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),( g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積. 二維函數(shù)的卷積: 0-3 卷積卷積 convolution 三、計(jì)算方法三、計(jì)算方法-幾何作圖法幾何作圖法 練習(xí): 計(jì)算 rect(x)*rect(x) -1 0 1 g

2、(x) x 1 1.用啞元t畫出 二個(gè) rect(t) 2.將rect(t)折疊后不變; 3.將一個(gè)rect(-t)移位至給定的x, rect-(t -x)= rect(t - x); 4.二者相乘;乘積曲線下 面積的值 即為g(x). rect(t) 1 t -1/20 1/2 |x| 1; g(x) = 0 -1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x 0 x 0 為實(shí)值 |rff (x)| rff (0) 證明: 利用施瓦茲不等式 （閱讀：呂乃光傅里葉光學(xué) P14-15） 作業(yè)作業(yè) 0-13. 證明實(shí)函數(shù)f(x，y)的自相關(guān)是實(shí)的偶函數(shù)，即： rff(x，y) = r

3、ff(-x，-y) 0-14. 已知函數(shù) f(x) = rect (x+2) + rect (x-2) 求函數(shù)f(x) 的自相關(guān)，并畫出圖形。 第一章第一章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析 Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 三角傅里葉級數(shù)三角傅里葉級數(shù) 滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展為 三角傅里葉級數(shù): 展開系數(shù) 零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念， 奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開 , )2sin2cos( 2 )( 1 00 0 n nn xnfbxnfa a xgpp t

4、 t 0 0 )( 2 dxxga t p t 0 0 )2cos()( 2 dxxnfxgan t p t 0 0 )2sin()( 2 dxxnfxgbn 1 ), .2 , 1 , 0( 0 t fn 三角傅里葉展開的例子三角傅里葉展開的例子 -1.2 0 1.2 012345 ) 2cos( 2 xp p ) 6cos( 3 2 xp p 2 1 前3項(xiàng)的和 周期為t =1的方波函數(shù) .)6cos( 3 2 )2cos( 2 2 1 )(xxxfp p p p an fn 0 13 頻譜圖 1/2 2/p -2/3p 三角傅里葉展開的例子 練習(xí)練習(xí) 0-15：求函數(shù)：求函數(shù) f(x)=

5、rect(2x)*comb(x) 的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù) 1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù) 滿足狄氏條件的函數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(- ,+ )展為展為 指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù): 1 ), .2, 1, 0( , )2exp()( 00 t p fnxnfjcxg n n 展開系數(shù)展開系數(shù) t p t 0 0 )2exp()( 1 dxxnfjxgcn 零頻分量零頻分量, 基頻基頻, 諧頻諧頻, 頻譜等概念頻譜等概念 指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表指數(shù)傅里葉級數(shù)和

6、三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表 示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導(dǎo)出。示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導(dǎo)出。 1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 函數(shù) (滿足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級數(shù): ) 1 2exp() 1 2exp()( 1 )( 2 2 xnjdxxnjxgxg n t p t p t t t 展開系數(shù)Cn頻率為n/t的分量 2 2 ) 1 2exp()( 1 ) 1 2exp()( t t t p t t p dxxnjxgC xnjCxg n n n n級諧波頻率:n/t 相鄰頻率間隔: 1/t 1-2

7、 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù)非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù): ) 1 2exp() 1 2exp()( 1 lim)( 2 2 xnjdxxnjxgxg n t p t p t t t t 由于由于t t 分立的分立的n級諧波頻率級諧波頻率 n/t t f, f: : 連續(xù)的頻率變量連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率間隔相鄰頻率間隔: : 1/t t 0, 0, 寫作寫作df, 求和求和積分積分 ) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxgpp 展開系數(shù)展開系數(shù),或頻率或頻率f分量的權(quán)重分量的權(quán)重, G(f), 相當(dāng)于分立情形的相當(dāng)于分立情形的Cn 1-2 二維傅里葉